高等数学 第二章 极限与连续 2.5 极限的运算法则

1、业精于勤荒于嬉,行成于思毁于随！精品文档，欢迎你阅读并下载！高等数学 第二章 极限与连续 2.5 极限的运算法则高等数学第二章极限与连续基础课教学部数学教研室第五节极限的运算法则一、极限四则运算法则二、求极限的方法三、四则运算法则的应用一、极限的四则运算法则定理设变量x、y在同一变化过程中均有极限，即limxuf03dA,limyuf03dB,则(1)lim(xuf02by)uf03dlimxuf0b1limyuf03dAuf0b1B;（定理2.8）(2)limxyuf03dlimxuf0d7limyuf03dAuf0d7B;（定理2.9）xlimxA(3)limuf03duf03d,(Buf

2、0b90).（定理2.10）ylimyB推论limcuf0d7yuf03dcuf0d7limyuf03dcuf0d7Blimxuf03duf028limxuf029nnlimxuf03duf028limxuf0291n1nnuf0ceuf0a5uf02b以上定理均可推广到有限个变量的情形，现注意：仅以加法运算给出证明。(1)lim(xuf02by)uf03dlimxuf0b1limyuf03dAuf0b1B;（定理2.8）证明：因limf(x)uf03dA,limg(x)uf03dB,则有f(x)uf03dAuf02buf061,g(x)uf03dBuf02buf062（其中uf061,uf0

3、62为无穷小）于是f(x)uf0b1g(x)uf03d(Auf02buf061)uf0b1(Buf02buf062)uf03d(Auf0b1B)uf02b(uf061uf0b1uf062)由定理2.5可知uf061uf0b1uf062也是无穷小，再利用极限与无穷小的关系定理，可知定理结论成立。二、求极限的方法1.代入法例1求lim(3xuf02d2xuf02b1)2xuf0ae1xuf0ae1解：lim(3x2uf02d2xuf02b1)多项式函数在某一点处的极限用代入法uf03d3limxuf02d2limxuf02blim12xuf0ae1xuf0ae1xuf0ae1uf03d3uf0d7

4、12uf02d2uf02b1uf03d2.uf03d3limxuf02d2uf02b1xuf0ae1uf028uf0292例2求分母极限不为零的分式函数解:因uf03d1uf02d5uf02b3uf03duf02d1uf0b90则uf02d1uf03duf03duf03d1.2lim(xuf02d5xuf02b3)uf02d1xuf0ae1xuf0ae1lim(2xuf02d3)2.利用无穷小量性质求极限例3求A型1022解:x=1时，分母=0，分子0，xuf02d5xuf02b41uf02d5uf0d71uf02b4uf03duf03d0但因lim2uf0d71uf02d3xuf0ae12x

5、uf02d3无穷小量的倒数为无穷大量。例4求解：为有界变量，sinxyuf03dx1且limuf03d0 xuf0aeuf0a5x由定理2.6可知，无穷小量与有界变量的乘积仍为无穷小量。uf0a5型3.化无穷大为无穷小uf0a5例5求“抓大头”x2,则解：分子分母同除以原式uf03dlimxuf0aeuf0a54uf02d3uf02bx92x5uf02b2uf02dx12x同理，uf0a5小结：型的多项式函数相除uf0a5a0 xuf02ba1xuf02buf04cuf02bamlimxuf0aeuf0a5bxnuf02bbxnuf02d1uf02buf04cuf02bb01nmmuf02d1

6、为非负常数）(如P69例4)uf03d(如P69例5)(如P69例6)04.分解因式法10型的多项式函数相除例6求0型10解：例7解：求1xuf02d31uf03dlimuf03dlimuf03d.xuf0ae3xuf02b3xuf0ae3(xuf02d3)(xuf02b3)60型10练习uf03dn.5.分子分母有理化例8求0型的无理函数相除10（分子有理化）2xuf02b3uf02d1例9求lim3xuf0aeuf02d1xuf02b1解：原式uf03dlimxuf0aeuf02d1330型103(2xuf02b3uf02d1)(2xuf02b3uf02b1)(xuf02dxuf02b1)

7、23(xuf02b1)(xuf02dxuf02b1)(2xuf02b3uf02b1)232(xuf02b1)(xuf02dxuf02b1)uf03dlimxuf0aeuf02d1(xuf02b1)(2xuf02b3uf02b1)3232(xuf02dxuf02b1)6uf03duf03d3.uf03dlimxuf0aeuf02d122xuf02b3uf02b132312uf0f6uf0e61例10求limuf0e7uf02d3uf0f7xuf0aeuf02d2xuf02b2xuf02b8uf0f8uf0e826.-型通分化简x2uf02d2xuf02d8(xuf02d2xuf02b4)uf02

8、d12uf03dlim解：原式uf03dlim3xuf0aeuf02d2xuf0aeuf02d2x3uf02b8xuf02b8(xuf02b2)(xuf02d4)uf03dlimxuf0aeuf02d2(xuf02b2)(x2uf02d2xuf02b4)uf02d61xuf02d4uf03dlim2uf03duf03duf02d.xuf0aeuf02d2xuf02d2xuf02b4122分子有理化例11求lim(1uf02bxuf02dx)xuf0aeuf02buf0a5-型(1uf02bx）xuf02d1解：原式uf03dlimuf03dlimxuf0aeuf02buf0a51uf02bxu

9、f02bxxuf0aeuf02buf0a51uf02bxuf02bxuf03d0.练习lm(n1n4inuf02buf02duf02b)nuf0a5uf0aenn1n4(n1n4(uf02buf02duf02b)uf02buf02buf02b)解原uf03di：式lmnuf0a5uf0ae(n1n4uf02buf02buf02b)n(3uf0d7uf02d)13uf03dilmuf03d3lmuf02duf0d7iuf03d.uf02dnuf0a5n1uf0ae(uf02buf02bn4nuf0a5uf0aeuf02b)142(1uf02b1)uf02buf02bnn三、四则运算法则的应用例1

10、2xuf03c0uf0ecxuf02d1,uf0ef2已知f(x)uf03duf0edxuf02b3xuf02d1,xuf0b30uf0ef3uf0eexuf02b12limf(x)xuf0ae0求xlimf(x)uf0ae+uf0a5xuf0aeuf02duf0a5limf(x)xuf02b3xuf02d1解：limf(x)uf03dlimuf03duf02d1.3uf02bxuf0ae0 xuf02b1xuf0ae0uf02bxuf0ae0 xuf0ae0limf(x)uf03dlim(xuf02d1)uf03duf02d1.因此，limf(x)uf03duf02d1.uf02duf02d

11、xuf0ae02xuf02b3xuf02d1limf(x)uf03dlimuf03d0.3xuf0aeuf02buf0a5xuf0ae+uf0a5xuf02b1limf(x)uf03dlim(xuf02d1)uf03duf02duf0a5.xuf0aeuf02duf0a5xuf0aeuf02duf0a5x2uf02bauf02bbxuf03d3求常数a，b。例13已知lim2xuf0ae1xuf02d1解：因分式函数极限存在，且limx2uf02d)uf03d0(1x1uf0aei(xauf02b)0必有lm2uf02bxbuf03d因此，代入得x1uf0ael(2a)1ab0.即，buf02

12、duf02dixxbuf02buf02buf03dmuf02buf02buf03duf03da1x1uf0ae2xx1(1uf02bx12uf02buf02dxx1uf02bauf02dauf02da)()uf02baauf02buf02b原2式uf03dlimuf03dlimuf03dlimuf03duf03d3,xuf0aeuf02dx(1)xx1x1xx1uf0ae)uf02b(1uf0ae12uf02d1uf02b即，a4buf02duf03d,uf03d5练习(1)x2uf02d5xuf02b6lim2xuf0ae3xuf02d8xuf02b153(2)(4)(6)lim(xuf02

13、b8)(2uf02bsinx)xuf0aeuf0a5x2uf02dxuf02b10(3)limnuf0aeuf0a5n3uf02b1uf02d2n24nuf02b1uf02b9nuf02b52limn(nuf02b1uf02dnuf02b4)nuf0aeuf0a5t2uf02dtlimtuf0ae1tuf02d1xuf0aeuf02buf0a5limxuf02bxuf02bxxuf02b1(7)证明：当xuf0ae0时，(2xuf02b1uf02d1)uf0a54(4uf02bxuf02d2)1xuf0d7sinuf03do(x)x43(8)3x2uf02bkxuf02bkuf02b3若常数k

14、使得极限xlim2x2uf02bxuf02d2存在，求k值。uf0aeuf02d答案(1)(2)x2uf02d5xuf02b6(xuf02d2)(xuf02d3)(xuf02d2)1lim2uf03dlimuf03dlimuf03duf02d.xuf0ae3xuf02d8xuf02b15xuf0ae3(xuf02d3)(xuf02d5)xuf0ae3(xuf02d5)2lim(xuf02b8)(2uf02bsinx)uf03d0.2xuf0aeuf0a5xuf02dxuf02b103(3)limnuf0aeuf0a5nuf02b1uf02d2n334n2uf02b1uf02b9n2uf02b5

15、uf03dlimnuf0aeuf0a51uf02b1uf02d23n4uf02b15uf02b9uf02b2n2nuf03d1uf02d21uf03duf02d2uf02b35(4)limn(nuf02b1uf02dnuf02b4)uf03dlimnuf0aeuf0a5nuf0aeuf0a5n(nuf02b1uf02dnuf02b4)(nuf02b1uf02bnuf02b4)(nuf02b1uf02bnuf02b4)3uf03duf02d.214(1uf02buf02b1uf02b)nn1uf03dlimnuf0d7(uf02d3)uf03duf02d3uf0d7limnuf0aeuf0a5(nuf02b1uf02bnuf0aeuf0a5nuf02b4)t2uf02dtt(t)3uf02d1)t(tuf02d1)(tuf02btuf02b1)limuf03dlimuf03dlimtuf0ae1tuf0ae1tuf02