等比数列试题及答案

1、一、等比数列选择题1.十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础.著名的康托三分集”是数学理 性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间QU均分为三段， _、一2 ._、s 12 去掉中间的区间段（3,3），记为第一次操作；再将剩下的两个区间0,=，3,1分别均分 为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作；，如此这样，每次在上一次操作 的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段操作过程不断 地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是康托三分集”.若使去掉的各区间长度之和9不小于10，则需要操作的次数n的最小值为（）（参考数据：12 = .3

2、010，1g3 = 0.4771） TOC o 1-5 h z A. 4B. 5C. 6D. 72.已知各项不为0的等差数列。满足a - a 2 + a = 0，数列b 是等比数列，且 n678nb =a ，则bbb =() 77、3 8 10A. 1B. 8C. 4D. 2且a1，a3，a4成等比数列，则3.已知公差不为0的等差数列an且a1，a3，a4成等比数列，则Sn取最大值时Sn取最大值时n的值为（）4B.54.等比数列 a 中 a = 1，且 4。，2 a，C. 4 或 5D. 5 或 6a3成等差数列，则土 0 N*）的最小值为(A.)(A.)1625B.C. D. 125.已知等

3、比数列a 满足a + a = 4,a + a =12，则S等于（）n12235A. A. 40B. 816.已知等比数列aj的前n项和为Sn，C. 121D. 242若a; = a3，且数列Sn - 3a也为等比数列，an的表达式为（）（1an的表达式为（）（1）nA. a =- 2 J(1、n+1 B. Ji 2 JC.a=nD.BB. 203D.205且 a + a + a + a =(a + a + a)2，若 a 1，123412317.等比数列a 的前n项积为T，且满足a 1， a a -1 0，021成立的最大自然数n的值为（）102C.2048.已知a1，a2，a3，a4成等比数

4、列，则（）A a a , a a , a a TOC o 1-5 h z 13241324C a ad a a , a a13241324数列J是等比数列，a5 = 4 , % = 16，则 =（）A. 8B. 8C. -8D. 1已知数列为等比数列，a1 = 2，且a5 = a3，则a的值为（）A. 1 或-1B. 1C. 2 或-2D. 211.题目文件丢失！设等差数列a 的公差d主0,a = 4d，若。是a与a的等比中项，则k =（） TOC o 1-5 h z 1k 12 kA. 3 或 6B. 3 或-1C. 6D. 3设等比数列aJ的前n项和为Sn，若S2 = 3 , S4 =15

5、，则S6=（）A.31B. 32C.63D.64已知等比数列aJ的前n项和为Sn,a2 = 2，公比q2，则S5等于（）A.32B. 31C.16D.15已知1, a，x, b, 16这五个实数成等比数列，则x的值为（）A.4B.-4C.4D.不确定16.正项等比数列an ）的公比是3，且a2a4 =1,则其前3项的和S3 =（）A.14B.A.14B.13设b e R,数列a的前n项和SA. a 是等比数列 nC.当b芝-1时，a 是等比数列n已知正项等比数列an）满足a7=aD.1112=3n + b，则（）B. a 是等差数列 n当b = -1时，a 是等比数列n若存在两项am, an使

6、得a a = 4匕,1 4则一+的最小值为（）m n11A.B.A.B.C.D.已知数列an）是等比数列，Sn为其前n项和，若S3= 4, S6 = 12，则S12 =A. 50B. 60C. 70D. 80已知a 是各项均为正数的等比数列， a + a = 1，a + a = 4，贝gn1234A. 80BA. 80B. 20C. 32255D.3二、多选题21 .题目文件丢失!已知a , a , a a依次成等比数列，且公比q不为1.将此数列删去一个数后得到 1234的数列（按原来的顺序）是等差数列，则正数的值是（）A.B.C.1 +君2D.若数列的前n项和是S”，且气 选项正确的为（）A

7、.数列a 是等差数列n TOC o 1-5 h z C.数列a2 的前n项和为_- HYPERLINK l bookmark126 o Current Document n3=2an - 2，数列J满足、=log2 a”，则下列B. a 2nc、1一 一.D数列及bj的前项和为，则n n+1已知数列a是等比数列，则下列结论中正确的是（）A.数列a2是等比数列 nB 若。耳=3, a? = 27，则 ig = 9若G a2 a3,则数列an是递增数列若数列a的前n和Sn = 3n-1 + r，则r=-1数列a 对任意的正整数n均有a2 = a a ，若a勺=2，a = 8，则S的可能值nn+1n

8、 n+22410为（）A. 1023B. 341C. 1024D. 342在增减算法统宗中有这样一则故事：三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关.则下列说法正确的是（）此人第三天走了二十四里路此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里1c.此人第二天走的路程占全程的云D .此人走的前三天路程之和是后三天路程之和的8倍已知数列a 是等比数列，有下列四个命题，其中正确的命题有（）nC.数列ga2是等比数列nA.数列an|）是等比数列B.数列C.数列ga2是等比数列n.1 D.数列 1, aa Lt 0，则下列结论正确的是（）i 6 7 a 17A. 0 q 1C. Sn的最大

9、值为S7D.孔的最大值为T6在增减算法统宗中有这样一则故事：三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚 痛减一半，如此六日过其关”.则下列说法正确的是（）此人第六天只走了 5里路此人第一天走的路程比后五天走的路程多6里1此人第二天走的路程比全程的4还多1.5里此人走的前三天路程之和是后三天路程之和的8倍设等比数列匕的公比为q，其前n项和为Sn，前n项积为T，并且满足条件a 1a% 1，二1 0，则下列结论正确的是（）7A. 0 q 1B. 0 a a 1A. 0 q ，则n的最小值为6a a 25=1 i i+11 1625d.若am+ana2+a10，则m+的最小值为12【参考答案】*试卷处理标

10、记，请不要删除一、等比数列选择题1.C【分析】依次求出第次去掉的区间长度之和，这个和构成一个等比数列，再求其前项和，列出不 等式解之可得.【详解】 TOC o 1-5 h z 112第一次操作去掉的区间长度为 ；第二次操作去掉两个长度为的区间，长度和为2 ；第141三次操作去掉四个长度为喝的区间，长度和为由；第n次操作去掉2 -1个长度为厂27273n2n-1的区间，长度和为丁，3于是进行了 n次操作后，, , , ,122n-于是进行了 n次操作后，所有去掉的区间长度之和为S =4 + K + = 1 -n393n(2V 9- 21 一由题意，1- N ，即n lg V lg 拓=-1，即

11、n Ug3 lg2 )1，解得: 13)10310n =机 5.679lg3 -lg2 0.4771 -0.3010， 又n为整数，所以n的最小值为6.故选：C.【点睛】本题以数学文化为背景，考查等比数列通项、前n项和等知识及估算能力，属于中档题. TOC o 1-5 h z B【分析】根据等差数列的性质，由题中条件，求出。7= 2，再由等比数列的性质，即可求出结果.【详解】因为各项不为0的等差数列。满足a a 2 + a = 0， n678所以 2 a7 a; = 0，解得 a7 = 2 或 a7 = 0 （舍）；又数列bj是等比数列，且b7 = a7 = 2，所以bbb = bb b =

12、b 3 = 8 . 3 8 103 7 117故选：B.C【分析】1由等比数列的性质及等差数列的通项公式可得公差d = -5，再由等差数列的前n项和公式即可得解.【详解】设等差数列的公差为d，d主0 na , a , a 成等比数列，二 a 2 = aa 即(2 + 2d )2 = 2(2 + 3d)，则 d =-13431 422 81+ -，16，a3成等差数列，列出等量关系.n (n 1)n (n 12 81+ -，16，a3成等差数列，列出等量关系S = a n +d = 2n -所以当n = 4或5时，S取得最大值.故选：C.4. D【分析】首先设等比数列的公比为q（q丰。），根据4

13、a n1式，求得q2，比较土 （n e N* ）相邻两项的大小，求得其最小值.n【详解】在等比数列易中，设公比q（q丰0），n当a1 = 1时，有4a1，2a2，a3成等差数列，所以 4a2 = 4a1 + a3，即 4q = 4 + q2，解得q 2，a2n-1所以a 2 n 1，所以=，an1n +12n导= 1,当且仅当n = 1时取等号，an +1nn所以当n = 1或n = 2时，a(n e N*)取得最小值1,n故选：D.【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有等比数列的通项公式，三个数成等差数列的条件，求数列的最小项，属于简单题目.5. C【分析】根据已知条件先计算出

14、等比数列的首项和公比，然后根据等比数列的前n项和公式求解出S5的结果.【详解】因为a 因为a + a = 4,a + a = 12，1223所以q =所以 a1 + 3a1 = 4，所以 a1 =1，121,a G-q5) 1 一35121,所以S =51 - q 1 - 3故选：C.6. D【分析】设等比数列。的公比为q，当q = 1时，Sn - 3a1 = na1 - 3a1 = (n - 3)a1，该式可以为0，不是等比数列，当q二1时，S 3a =一-qn + 土3a，若是等比数列，则n 11 一 q1 一 q 1卜3a = ，可得q = 2，利用a 2 = a，可以求得a的值，进而可

15、得a的表达式1 一 q13131n【详解】设等比数列a 的公比为qn当q = 1 时，S = na，所以S 一3a = na 一3a = (n一3)a，n 1n 1111当n = 3时，上式为0，所以s -3aJ不是等比数列.当 q 丰 1 时，S =气 J) =一 qn +M， n 1 一 q1 一 q1 一 q所以 S 一 3a = 一 1 qn + 1 一 3a， n 11 一 q 1 一 q 】要使数列Sn - 3aJ为等比数列，则需金-3七=，解得q = 3 .(2 *2 =aqn一1 = 3 J 3故选：D.【点睛】关键点点睛：本题的关键点是熟记等比数列的前n项和公式，等比数列通项

16、公式的一般形式，由此若S - 3a = - qn + - 3a是等比数列，则- 3a = ，即可求得q n 11 - q 1 - q 11 - q 1的值，通项即可求出.7. C【分析】由题意可得2a1031，aI,% 1，利用等比数列的性质即可求解.【详解】由 a a -10，即 a a 1，则有 a 2 x qL 即 q。 TOC o 1-5 h z 12 103102 103102所以等比数列a各项为正数，由 0，即(a- 1)(a -1) 0，a -1102103103可得：a1021,a103 1，所以T = a -a - a -a = (a-a )1021，204122032041

17、02103T = a - a - a - a - a = a 103 1，20512203204205103故使得Tn1成立的最大自然数n的值为204，故选：C【点睛】 关键T = a -a - a -a = (a-a)1021点点睛：在分析出a a 1，20412203204102103102 103a顷如1的前提下，由等比数列的性质可得T = (aw ag)1021， 102103204102103T205 = a103103 0可得出q -1，进而得出q-1，再由a1得出q 0，可得 q -1，、123411当q = 1 时，a + a + a + a = 0 , (a + a + a

18、)2 主 0 , q 1,a a + a + a + a = (a + a + a)2，艮口 1+q+q2+q3 = a G+q+q2)，123412311+q+q2 +q3:;a1 =一丫 1，整理得q4+q3+2q2+q 0，显然q 0，艮口 a a，3113a - a = a (q - q3 )= a q G - q2 ) 0，艮口 a ，再结合等比中项的性质可求得a7的值.【详解】设等比数列ia的公比为q， 则 a = a q 2 0，由等比中项的性质可得气=a5a9 = 64，因此，气=8 .故选：A.C【分析】根据等比数列的通项公式，由题中条件，求出公比，进而可得出结果【详解】设等

19、比数列。的公比为q，因为a1 = 2，且a5 = a3，所以q2 = 1，解得q = 1，所以 a10 = ay 9 = 2 .故选：C.11 .无12. D【分析】由ak是a1与a2k的等比中项及a1 = 4d建立方程可解得k .【详解】ak是a1与a2k的等比中项a +(a +(k - 1)d 2a1 +(2k - 1)d :.(k + 3)2d2 = 4dx(2k + 3)d , /.k = 3.故选:D【点睛】本题考查等差数列与等比数列的基础知识，属于基础题. TOC o 1-5 h z C【分析】根据等比数列前n项和的性质列方程，解方程求得S6 .【详解】因为S为等比数列a 的前n项

20、和，所以, S -S S -S成等比数列， nn24264所以(S4 -S2)2 = S2 (S6 -S4)，即(15-3)2 = 3(S6 -15)，解得S6 = 63.故选：CB【分析】先求得首项，根据等比数列的求和公式，代入首项和公比的值，即可计算出S5的值.【详解】因为等比数列a 的前n项和为S ,a = 2，公比q 2，所以气=% = 1，又因为 nn 21 qa 1 qnn1(1 - 25)a 1 qnn1 q 老 1，所以 S = 12- = 31 -故选：B.A【分析】根据等比中项的性质有工2 = 16，而由等比通项公式知工=q2，即可求得x的值.【详解】由题意知：工2 = 1

21、6,且若令公比为q时有x = q 2 0，x = 4，故选：AB【分析】根据等比中项的性质求出a3，从而求出a1，最后根据公式求出S3 ； 【详解】解：因为正项等比数列a 满足a a = 1，由于a a = a2，所以a2 = 1.n2 42 433所以a3 =1，. aq2 = 1，因为q = |，所以a.】=9 .因此s因此s =3a (1 q3)1 - q i故选：B17. D【分析】根据S.与a”的关系求出a”，然后判断各选项.【详解】a由题意 n 2 时，a = S - S 广(3” + b) -(3-1 + b) = 2 x3-1，- - 3 (n 2),na1 - S - 3 +

22、 b，若2 = W = 3,即b = -1，则a 是等比数列，否则不是等比数列，也不是等差数 a 3 + bn列，故选：D.【点睛】关键点点睛：本题考查等比数列的定义.在由a广sn -七求通项时，n 2必须牢记， a1 = S1它与a. (n 2)的求法不相同，因此会影响aj的性质.对等比数列来讲，不仅要求 = ，还必须满足T =T .a2 a3a1 a218. B【分析】设正项等比数列an的公比为q 。，由a7 - a6 + 2a5，可得q 2 - q + 2，解得q 2 , 类讨论即可得出.根据存在两项a 、根据存在两项a 、ma使得义a a = 4匕，可得a；qm+n - 2 -4a，m

23、 + n - 6 .对 m，n 分【详解】解：设正项等比数列aj的公比为q 0，、满足：a7 - a6 + 2a5，q2 - q + 2，解得q 2，、存在两项am、an使得JO = 4a1，.(a2qm+n-2 - 4a ，m + n 6，m，n 的取值分别为(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，,14,1 4 3则一+ 一的最小值为二+ = m n2 4 2故选：B.19. B【分析】由等比数列前n项和的性质即可求得S12.【详解】解：、数列。是等比数列， TOC o 1-5 h z S , s - S , S - S , S S也成等比数列， 36396129即4

24、, 8 , S S , S - S也成等比数列， 96129易知公比q 2,S9 - S6 = 16 , S12 - S9 = 32 ,S = S - S + S - S + S - S + S = 32 +16 + 8 + 4 = 601212 -996633故选：B.20. A【分析】由条件求出公比q，再利用前4项和和公比求a + a + a +气的值.5678【详解】根据题意，由于是各项均为正数的等比数列，na + a = 1, a + a = 4 = q 2 (a + a 123412则 a + a + a a + a = 1, a + a = 4 = q 2 (a + a 12341

25、2则 a + a + a + a = q4 (a + a + a + a5678123,故选：A二、多选题、)=16 (1 + 4 )= 80.22.AB【分析】因为公比q不为1,所以不能删去a1, a4，设等差数列的公差为d，分类讨论，即可得到 答案【详解】解：因为公比q不为1,所以不能删去a1, a4，设等差数列的公差为d ,若删去。，则有 2 a = a + a，得 2a q 2 = a + aq 3，即 2q 2 = 1 + q3, 2314111整理得q2 (q- 1)=(q- 1)(q +1)，因为q丰L所以q2 = q +1 ,因为q 0，所以解得q =若删去 av 则 2a =

26、 a + a，得 2a q = a + aq 3，即 2q = 1 + q 3， 3214111整理得 q(q1)(q + 1) = q 一L 因为 q 二 L 所以 q (q+1) =1，因为q 0，所以解得q = -1?5，七 _1 + 5-1+ 5综上q i或q ，22故选：AB23. BD【分析】根据S = 2a -2，利用数列通项与前n项和的关系得an后再根据选项求解逐项验证.【详解】当n = 1时，两式相减得:a = 2，由 S = 2a - 2，得 S 1 = 2a 1 - 2，a = 2a ，nn-1又 a = 2a , 所以数列。n是以2为首项，以2为公比的等比数列S1，n

27、=1，求得通项a，然S , n 2nn所以an = 2n，数列，2的前n项和为s=nn 1 - 44 (1 - 4n) 4n+1 4=，则 b = log a1所以=log2 21_n (n +1) n n +1，.111111.1所以 T = + +. + = 1 1 2 3 4n n +1n +1 1，故选：BD【点睛】方法点睛：求数列的前n项和的方法(1)公式法：等差数列的前n项和公式n (a + a ) 一上 n = na1n (n -1)-d等比数列2的前n项和公式S = 0,所以a 0，即B错误； n 481248若a a a ,则a a q a q2二1。或J “ 小 I o v

28、 q V1，n，若数列a 的前 n 和 S = 3n-1 + 尸,则 a = S = 31-1 + r = 1 + r,a = S - S = 2,a = S - S = 6 nn11221332所以 q = a = 3 = a:.2 = 3(1+r),r = 一；，即 d 错误a2a13故选：AC【点睛】等比数列的判定方法a定义法：若丁 = q(q为非零常数)，则。是等比数列；n等比中项法：在数列a 中，a。0且a2 = a a ，则数列a 是等比数列；nnn+1n a+2n通项公式法：若数列通项公式可写成an=cqn (c, q均是不为0的常数)，则。是等比 数列；前n项和公式法：若数列风

29、的前n项和S广kqn - k (q。0, q。1, k为非零常数)，则 a是等比数列.AB【分析】首先可得数列(an等比数列，从而求出公比q、a1，再根据等比数列求和公式计算可得；【详解】解：因为数列何对任意的正整数n均有气=aan22，所以数列何为等比数列，因为a = 8，所以q2 =氏=4，所以q = 2， TOC o 1-5 h z 4a22时ai =1，所以S1 2时ai =1，所以S=1023当 q =2 时 a1 =-1，1x1 (当 q =2 时 a1 =-1，所以 S =r= 341101 (2 )故选：AB【点睛】本题考查等比数列的通项公式及求和公式的应用，属于基础题.BD【

30、分析】 根据题意得到此人每天所走路程构成以2为公比的等比数列记该等比数列为小， TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark116 o Current Document 公比为q =，前n项和为S，根据题意求出首项，再由等比数列的求和公式和通项公 HYPERLINK l bookmark34 o Current Document n式，逐项判断，即可得出结果.【详解】 由题意，此人每天所走路程构成以2为公比的等比数列，记该等比数列为 ，公比为q =；，前n项和为S， n2n厂1 厂1 bd112=32 a = 378，解得 a1 = 192，所以此人第三天走的路程为=

31、aq2 = 48，故A错；此人第一天走的路程比后五天走的路程多a (S a )= 2a S = 384 378 = 6里，故B正16116确；此人第二天走的路程为a = a - q = 96，378 = 94.5，故C错；214此人前三天走的路程为S3 = a1 + a2 + a3 = 192 + 96 + 48 = 336，后三天走的路程为S6 S3 = 378 336 = 42，336 = 42x8，即前三天路程之和是后三天路程之和的8倍，D正 确； 故选：BD.【点睛】本题主要考查等比数列的应用，熟记等比数列的通项公式与求和公式即可，属于常考题型ABD【分析】分别按定义计算每个数列的后项

32、与前项的比值，即可判断.【详解】根据题意，数列a是等比数列，设其公比为q，则 * = q， an对于A,，则有一、1 q对于A,，则有一、1 q1，anan n对于数列为等比数列，A正确;对于B,对于C,对于数列anan+1 对于数列iga 2 y n,有 anan l1 = q2，a a若 an -1，(a a 为等比数列，B正确; n n+1数列a 是等比数列，但数列ga2不是等比数 n列，C错误;1对于D1对于D，对于数列 La 1,与题设 1,a7 1,符合题意.a 1,a 1,与题设夕1 矛盾.67a 17a6 1,与题设a1 1矛盾.得a6 I,% 1,0 q 1，则Tn的最大值为

33、T .- B，C，错误.故选：AD.考查等比数列的性质及概念.考查等比数列的性质及概念.补充：等比数列的通项公式：。广aqn- (n e N *)BCD【分析】设此人第天走七里路，则an是首项为a1，公比为q = 2的等比数列，由S6=318求得首项，然后逐一分析四个选项得答案.【详解】解:根据题意此人每天行走的路程成等比数列，1设此人第n天走气里路，则an是首项为ai，公比为q = 的等比数列.八 、a ri-(!6)所以 S = ai( -q6)= 378，解得a = 192.61 - q1 111 21 V 一选项 A: a6 = a#5 = 192 x = 6,故 A 错误，选项 B：

34、由 a1 =192，则 S6 a1 = 378 192 =186，又 192186 = 6，故 B 正确.选项 C: a2 = aq = 192x2 = 96,而4S6 = 94.5，9694.5 = 1.5，故 C 正确.选项 D： a + a + a = a (1+ q + q2) = 192x (1+ + ) = 336:123124， 则后3天走的路程为378 一 336=42,而且336- 42 = 8，故D正确.故选：BCD【点睛】本题考查等比数列的性质，考查等比数列的前n项和，是基础题.ABD【分析】先分析公比取值范围，即可判断A，再根据等比数列性质判断B,最后根据项的性质判断

35、C,D.【详解】若 q V 0，则 a 0. a a 1 矛盾. TOC o 1-5 h z 676 76 7若 q 1，贝| a 1. a 1,a 1. 0 与 0 矛盾；167 a 1a 1因此0 q 1，所以A正确；a 一 16 1 a 0，因此 a a = a2 e (0,1)，即 b 正确；a 1676 87因为。.。，所以%单调递增，即%的最大值不为S 7，C错误;因为当n 7时，气e (0,1)，当1 n 8，所以B不正确；对于C，由于378 -192 =186,192 -186 = 6，所以此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里，所以C正确；对于D，由于气+气+气=192Xf

36、1 + t1 + = 42，所以D正确， 45618 16 32)故选：ACD【点睛】此题考查等比数的性质，等比数数的前项n的和，属于基础题.BD【分析】由S和七的关系求出数列气为等比数列，所以选项A错误，选项B正确；利用等比数 列前n项和公式，求出a2 + a2 + + a2 = 4/，故选项C错误，由等比数列的通项公式得到2m+n = 64 = 26，所以选项D正确.【详解】由题意，当n = 1时，S= 2a1 - 2，解得a1 = 2，当 n 2 时，S 1 = 2 a 2，所以 S S = a = 2a 2 （2a 2 ）= 2a 2a ，nn1nnn1nn1=2,数列an是以首项=2

37、,数列an是以首项a1= 2，公比q 2的等比数列，。广2，所以/ a n1故选项A错误，选项B正确；数列an2 是以首项a12 = 4，公比q1= 4的等比数列，所以 a 2 + a 2 + + a 2 =1112n 1 q1所以 a 2 + a 2 + + a 2 =1112n 1 q12m2n = 2m+n = 64 = 26，所以m + n = 6为定值，故选项D正确.a a =故选：BD【点睛】本题主要考查由5和an的关系求数列的通项公式，等比数列通项公式和前n项和公式的 应用，考查学生转化能力和计算能力，属于中档题.ABD【分析】根据题意，结合等差、等比数列的性质依次分析选项，综合即可得的答案【详解】根据题意，依次分析选项：对于A，若数列a 的前n 项和 S = an2 + bn + c，nn若C = 0，由