圆锥曲线的综合问题突破策略

1、圆锥曲线综合问题之重点突破类型1：关于弦的中点以及弦的垂直平分线问题的策略这种问题主要是需要用到弦AB的垂直平分线L的方程，往往是利用点差法或者韦达定理产生弦AB的中点坐标M， 结合弦AB与它的垂直平分线L的斜率互为负倒数，写出弦的垂直平分线L的方程，然后解决相关问题。有时候题目的条件比较隐蔽，要分析后才能判定是有关弦AB的中点问题，比如：弦与某定点D构成以D为顶点的等腰三角形（即|DA|=|DB|）、曲线上存在两点AB关于直线m对称等等.【题1】 椭圆C：的两个个焦点为为、，点在椭椭圆C上，且且，.(1) 求求椭圆CC的方程程；(2) 若若直线过过圆的圆圆心，交交椭圆CC于、两点，且且、 关

2、于点点对称，求求直线的的方程.【题1】 解：(11) 11分又 33分 故 44分 椭圆C的方程程为 5分(2) 圆圆的方程程可化为为：，故故圆心 所求直线方方程为 7 分分联立椭圆方方程，消消去，得得 9分、关于对对称 122分 144分点评点点关于点点对称的的问题，实实质是“中点弦弦”问题，还还可以用用“点差法法”，请同同学们尝尝试体会会，并且且比较两两种解法法的特点点.【题2】知知椭圆的的左焦点点为F，O为坐标标原点.设过点点F且不与与坐标轴轴垂直的的直线交交椭圆于于A、B两点，线线段ABB的垂直直平分线线与轴交交于点GG，求点点G横坐标标的取值值范围.【题2】解解：设直直线ABB的方程

3、程为代入入整理得直线AB过过椭圆的的左焦点点F，方程有有两个不不等实根根.记中点则则的垂直平分分线NG的方程程为令得点G横坐标标的取值值范围为为点评 注意AAB中点点M以及及两直线线的垂直直关系求求出“线段ABB的垂直直平分线线”.【题3】设设、分别是是椭圆的的左、右右焦点. （1）若PP是该椭椭圆上的的一个动动点，求求的最大大值和最最小值； （2）是否否存在过过点A（5，0）的直直线l与椭圆圆交于不不同的两两点C、D，使得得|F2C|=|F2D|？若若存在，求求直线ll的方程程；若不不存在，请请说明理理由. 【题3】解解：（11）易知知，设P（x，y），则= ，即点P为为椭圆短短轴端点点时，

4、有有最小值值3；当，即点PP为椭圆圆长轴端端点时，有最大值4 点评本本小题体体现“消元”的思想想和“函数”的思想想，注意意定义域域.（2）假设设存在满满足条件件的直线线l ，易知知点A（5，0）在椭椭圆的外外部，当直线l的的斜率不不存在时时，直线线l与椭圆圆无交点点，所在在直线ll斜率存存在，设设为k，直线l的方方程为 由方程组依题意 设交点C，CD的中中点为RR，则又|F2CC|=|F2D| 20k22=200k24，而200k2=200k24不成立立， 综上所述，不不存在直直线l，使得得|F2C|=|F22D| 点评要要注意从从判别式式得到kk的范围围，对于于条件“|F2C|=|F2D|”

5、不不要轻易易将点FF2和C、DD的坐标标用两点点间距离离公式表表示，否否则陷入入计算繁繁杂的圈圈套.类型2：关关于定点点和定值值问题策策略【题4】已已知点PP与点FF（2，00）的距距离比它它到直线线40的距离离小2，若若记点PP的轨迹迹为曲线线C. 直线LL与曲线线C相交交于A、BB两点，且且OAOB.（1）求曲曲线C的的方程。（2）求证证：直线线L过定定点，并并求出该该定点的的坐标.【题4】（11）解法法1：点PP与点FF（2，00）的距距离比它它到直线线40的距离离小2，所所以点PP与点FF（2，00）的距距离与它它到直线线20的距离离相等. 由抛物线定定义得：点在以以为焦点点直线20为

6、准线线的抛物物线上， 抛物线方程程为. 解法2：设设动点，则则当时，化化简得：，显然，而，此此时曲线线不存在在.当时，化化简得：.点评解解法1巧巧妙地利利用圆锥锥曲线的的定义判判断曲线线轨迹，解解法2直直接利用用题目的的条件建建立等量量关系，体体现了“分类讨讨论”的思想想方法.（2）设直直线L：y=kkx+bb与抛物物线交于于点，若直线的的斜率存存在设为为k， ，即， 直线为，所所以 若直线LL的斜率率不存在在，则直直线OAA（或OOB）的的斜率为为1 综上所所述，直线恒恒过定点点. 点评直直线过定定点问题题，要将将直线方方程求出出来利用用直线方方程的点点斜式或或者直线线系方程程判断是是否经过

7、过定点.【题5】已已知、分别为为椭圆:的上、下下焦点,其中也也是抛物物线的焦焦点,点点是与在第二二象限的的交点,且.（1）求椭椭圆的方方程.（2）已知知点和圆圆:,过点点的动直直线与圆圆相交于于不同的的两点,在线段段上取一一点,满满足:,(且).求证: 点点总在某某定直线线上.xxyOF1F2M【题5】（11）方法法一：由知,设, 1分因在抛物线线上,故故又,则, 由由解得得,.44分椭圆的两个个焦点,点椭圆圆上,由由椭圆定定义得 6分分,又, 椭圆的方方程为. 8分方法二：由由知,设,因在抛物线线上,故故又,则, 由解得得,.4分而点椭圆上上,故有有即, 又,则由可解解得,椭圆的方方程为.8

8、分（2）设,由可得:,即110分由可得:,即 故得: 12分两式相加得得14分又点在圆上上，且,所以,即, 点点总在定定直线 点评 关键键是向量量,的条件件“坐标化化”，要证证点总在在某定直直线上，则则点的坐坐标满足足一个固固定的二二元一次次方程.【题6】已已知椭圆圆C以过点点A（1，），两两个焦点点为（1，0）（1，0）。求椭圆C的的方程；E,F是椭椭圆C上的两两个动点点，如果果直线AAE的斜斜率与AAF的斜斜率互为为相反数数，证明明直线EEF的斜斜率为定定值，并并求出这这个定值值.【题6】解解：（11）由题题意，cc1,可设设椭圆方方程为因为A在椭椭圆上，所所以，解解得3，（舍去去）所以椭

9、圆方方程为 4分（2）设直直线方程：得，代代入得设（，），（，）因因为点（1，）在椭椭圆上，所所以，8分又直线AFF的斜率率与AEE的斜率率互为相相反数，在在上式中中以代，可得得，。所以直线EEF的斜斜率即直线EFF的斜率率为定值值，其值值为 122分点评圆圆锥曲线线中有关关定值的的问题，关关键要利利用相关关参数将将式子的的表达式式求出，再再利用“整体”的思想想，消去去参数得得到定值值.【题7】已已知抛物物线C:上横坐坐标为44的点到到焦点的的距离为为5. 设直线线与抛物物线C交于两两点，且（，且为常常数）.过弦ABB的中点点M作平行行于轴的的直线交交抛物线线于点DD，连结结AD、BD得到到.

10、求证： ； 的面积积为定值值.【题7】依依题意得得：，解解得. 所以抛抛物线方方程为 .由方程组消消去得：.（）依题意可知知：.由已知得，. 由，得，即，整理得得.所以 . 可以求出中中点， 所以点点，依题意知.又因为方程程（）中判判别式，得得.所以 ，由由（）可知知，所以. 又为常数，故故的面积积为定值值. 类型3：关关于不等等式证明明、求参参数的取取值范围围问题.【题8】 已知点点P到（0，），（00，）的距距离之和和为4，设P的轨迹迹是C，并交交直线 于A、B两点.（1）求CC的方程程;（2）若以以AB为直直径的圆圆过O点,求此时时的值;（3）若AA在第一一象限，证证明：.【题8】（11

11、）得PP的轨迹迹是椭圆圆，故,故方程程为：（2）依题题意设AA，B，以ABB为直径径的圆过过O点，则则 4分联立：消元元得 （4+ 7分 88分 = 9分分 100分 11分分点评将将“AB为直直径的圆圆过点OO”巧妙地地转化为为，体现现“以数数论形”的的思想.(3) =, =-=-()=112分133分A点在第第一象限限， 又又-= 14分分点评圆圆锥曲线线与不等等式证明明的综合合，注意意作差比比较法证证明不等等式的思思路和步步骤，利利用曲线线上点的的坐标的的范围讨讨论.【题9】椭椭圆C:=1(ab0)的离离心率为为,短轴一一个端点点到右焦焦点的距距离为.设直线l与与椭圆CC交于A、B两点，

12、坐坐标原点点O到直线线l的距离离为，求求AOOB面积积的最大大值.【题9】设设椭圆的的半焦距距为，依依题意，椭圆方方程为设，（11）当轴轴时，（2）当当与轴不垂垂直时，设直线的方方程为由已知知，得把代入椭圆圆方程，整整理得，当且仅当，即即时等号号成立当时，综综上所述述当最大时，面积取最大值点评关关于面积积的最值值问题，先先用“弦长公公式”求出AAB的长长，根据据面积的的表达式式的形式式和特点点，巧妙妙地利用用基本不不等式求求出最值值.【题10】已知一条曲线C在y轴右边，C上没一点到点F（1,0）的距离减去它到y轴距离的差都是1.是否存在正数m，对于过点M（m，0）且与曲线C有两个交点A,B的任

13、一直线，都有？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由.【题10】设设P(xx,y)是曲线线上任意意一点，那那么，满满足化简可得到到点评本本题对于于过点M（m，0）直线方方程的设设为x=ty+m 是简化化计算的的一个技技巧，对对不等式式恒成立立问题一一般利用用最值的的方法处处理.类型4：关关于直线线与圆锥锥曲线的的综合问问题中涉涉及线段段分比的策略这类问题主主要是研研究过一一个定点点P作直直线与曲曲线产生生两个交交点ABB，进而而研究PP分两个个交点AAB所成成的比例例关系. 往往往是两种种形式出出现，一一种是以以比例：，一种种是向量量：，有有时候是是求直线线方程，有有时候是是求分比比的

14、值或或取值范范围等等等，这种种问题主主要是抓抓住分比比与坐标标的关系系，判断断在联立立方程时时应该消消去，以以减少运运算量，然然后把问问题转化化到韦达达定理的的应用上上.【题11】如图所所示，已已知圆为为圆上一一动点，点点P在AAM上，点点N在CCM上，且且满足的的轨迹为为曲线EE.（1）求曲曲线E的的方程；（2）若过过定点FF（0，22）的直直线交曲曲线E于于不同的的两点GG、H（点点G在点点F、HH之间），且且满足，求求的取值值范围.【题11】（1）NP为AM的垂垂直平分分线，|NAA|=|NM|又动点N的的轨迹是是以点CC（1，0），A（1，0）为焦焦点的椭椭圆.且椭圆长轴轴长为焦焦距2cc=2. 曲线E的的方程为为 （2）当直直线GHH斜率存存在时，设设直线GGH方程程为得设 ，又当直线GGH斜率率不存在在，方程程为 【题12】已知椭椭圆C的的中心在在坐标原原点，焦焦