第六部分三角函数-反三角函数(教案)

1、第六部分：三角函数反三角函数(教课方案)第六部分：三角函数反三角函数(教课方案)第六部分：三角函数反三角函数(教课方案)精选文档课课型复习课课时3反三角函数简单三角方程题1、同学们能够利用已有的三角函数和反函数知识理解反正弦函数；从函数的角度去理解反正弦函数的定义域、值域，利用反函数的性质获得反正弦函数的图像进而进一步研究反正弦函数的性质；理解符号arcsin的含义，并能正确地表示角；教2、经过提出问题、分析问题、解决问题、深入问题学生能够培育察看、概括、深入的能力；学3、学生能够提高类比的数学思想，培育学生思想的谨慎性，经过层层设问的方式激发学生的学习兴目趣。标A(保底)B（标准）C(培优)

2、解决相应反三角函数综掌握反三角函数图像，及性质掌握反三角函数恒等式合问题讲课要点反三角函数与三角函数之间的联系与差别讲课难点教材分析教材分析学反三角函数的性质及恒等式反三角函数的要点是见解，要点是反三角函数与三角函数之间的联系与差别。内容上，自然是定义和函数性质、图象；讲课方法上，重视重申类比和比较。其他，函数与反函数之间的关系，是本节内容中的一个难点，同时波及三角函数的内容，是高中学习不能够或缺的部分。情同学们在学习完三角函数的图像及性质后，会有一些固有思想。很难一下接受反三角函数的局分部性。这样就必然复习一下反函数的意义及图像。析考点1、用反三角表示角度；2、反三角函数图像及性质的直策应用

3、分析教学设计可能出现讲课内容设计意的问题与图对策.精选文档【知识回首】见后附表一【典型例题】例1求以下反三角函数的值（1）arcsin3（2）arccos2（3）arctan3223【分析】解：（1）.（2）3.（3）.346例2用反三角函数表示以下各式中得x（1）3（2）22452教（3）tanx3,x,（4）sinx1x,3222232学（5）cosx1,x,23过【分析】解：（1）xarccos3arccos3.（2）xarcsin2.445（3）xarctan3arctan3.（4）xarcsin1.程223（5）xarccos1.3例3化简以下各式（1）arcsin(sin10)（2

4、）arctan(tan10)【分析】解：（1）Qsin10sin(310)，且有3102,.2arcsin(sin10)arcsinsin(310)310.（2）Qtan10tan(103)，且有103,.22arctan(tan10)arctantan(103)103.例4求函数f(x)lgarccosx2x的定义域与值域84第一我们回首一下，什么样的函数才有反函数？我们学习过反正弦函数，知道，对于函数y=sinx，xR，不存在反函数；但在,2存在反函数.对于特别值的反正弦函数值的办理，利用恒等式理解是一种自己认为较为机械的方法；但不知能否适合于初学者，有待讨论。可能直接让他们感觉概会来得更

5、简单些吧.精选文档【分析】解：Qarccosx2x0.1x2x1.解上述不等式，8484得4x2.f(x)lgarccosx2x的定义域为(4,2).84x2x1(x22x11(x211Q481)81)88880arccosx2xarccos1.848所以函数f(x)lgarccosx2x的值域为(,lgarccos1.848例5判断以下函数的奇偶性（1）ysin(arctanx),xR（2）yarccosx,x1,12（3）yarccos(cosx),xR【分析】解：（1）sinarctan(x)sin(arctanx)sin(arctanx).所以ysin(arctanx)是奇函数。（2）

6、arccos(x)arccosxarccosx(arccosx).2222所以yarccosx是奇函数。2（3）arccoscos(x)arccos(cosx).所以yarccos(cosx)是偶函数。例6已知arcsinxarcsin(1x).求x的取值范围【分析】解：由于反正弦函数是增函数，由反三角函数的定义域可得不等式组1x1,11x1,解不等式组，得1x1.x12x,例7计算：cos2arctan63.精选文档【分析】设arctan6.则tan6且0.2cos7,sin42.77则cos22cos215,sin226.77原式cos2cossin2sin351263562.372721

7、4例8作出函数ycos(2arcsinx)图像解：ycos(2arcsinx)12sin2(arcsinx)12x2,x1,1.图像以以以下图所示：例9对于t的方程2t2(2x3)t5x23x170有两个不一样样的实数根，848求函数ysinx的反函数。【分析】(2x3)2425x23x170即，x26x80，848解得2x4.Qx,2，sin(x)sinxy.2ysinx(2x4)的反函数为yarcsinx,x(sin4,sin2).例10设方程x233x40的2个实根为x1、x2，若arctanx1，arctanx2，求的值。【分析】由x1x233,x1x24，知x10,x20.所以20,

8、0.2所以tan(tantanx1x23.)tan1x1x21tanQ0,2.3.精选文档例11画出函数yarcsin(sinx),x0,2的图像。【分析】例12已知a、b是RtVABC的2条直角边，c为斜边，且arctan1arcsin1.求证：lgclgalgb.ab2【分析】解：由已知得arcsin12arcsin1.absin11arcsincosarcsin.ab111111a2b21.ab2，b2，即a2a2b2Qa,b是RtVABC得两条边，c为斜边a2b2c2，所以c21，cab.a2b2lgclgalgb.例13求证：当x1,1时，arccos(x)arccosx.【分析】解

9、：由0arccosx，得0arccosx,0arccos(x).Qcos(arccosx)cos(arccosx)xcosarccos(x)xarccos(x)arccosx.例14求函数yarccos(xa)arcsin(xa)的定义域，此中a0.【分析】解：由题意x应知足1xa1，且1xa1，即1ax1a,（a0）1ax1a,当a1时，不等式组的解集为，所以此时函数的定义域为.精选文档当a1时，不等式组的解集为0，所以此时函数的定义域为0.当a1时，不等式组的解集为1a,1a，所以此时函数的定义域为1a,1a.例15函数f(x)arctanxarctan1x在定义域内能否能为常数？并说明1

10、x原因。【分析】解：由函数得表示式可知x1，所以f(x)的定义域为(,1)(1,).设arctanx，arctan1x，则有tanx，tan1x.1x1x1xtantanx于是有tan()1x1.1tantan1x1x1x（）当x(,1)时，2,.424则有，依据得3.24（）当x(1,1时，4,0,.42则有3，依据得.444（）当(1,)时，4,2,2,0.则有42，依据得.4综合可知，f(x)在定义域内不是常数，而是定义域内的分段函数，即1x3,x(,1)f(x)arctanx4.arctanx1,x(1,)4【课后练习】1、函数ysinx，x2，3的反函数为（）2.精选文档A.yarc

11、sinx，x1，1B.yarcsinx，x1，1C.yarcsinx，x1，1D.yarcsinx，x1，1【分析】x32，需把角x转变至主值区间。22x，又sin(x)sinxy22由反正弦函数定义，得xarcsinyxarcsiny，又由已知得1y1所求反函数为yarcsinx，x1，12、若一个直角三角形的三内角的正弦值成等比数列，则其最小内角为（）A.arccos51B.arcsin51221515C.arccos2D.arcsin2【分析】ABC中，设C90，设A为最小内角，则依已知，得sinA，sin(90A)，sin90成等比数列。sin2(90A)sinAsin90即cos2A

12、sinA即sin2AsinA10，解得sinA152注意到|sinA|151sinA2A（0，）由反正弦函数定义，得Aarcsin51.22应选（B）。3、函数yarccos(cosx)，x，2的图象为（）22211-22-OO-O2O22222-1-2（C）（D）（A）（B）.精选文档，x0，x2【分析】分析式可化简为yarccos(cosx)，0 xx2，x，即y2图像明显为A，24、函数yarccos(sinx)，x(，2)的值域为（）33A.，5B.0，5C.3，2D.6，266633【分析】欲求函数值域，需先求usinx，x(，2)的值域。333x2，3sinx1，即3u1322而y

13、arccosu在1，1上为减函数arccos(3)arccosuarccos12即0y5，应选（B）65、使arcsinxarccosx建立的x的取值范围为（）A.0，2B.2，1C.1，2D.1，0222【分析】该题研究不等关系，故需利用函数的单一性进行转变，又由于求x的取值范围，故需把x从反三角函数式中分别出来，为此只要对arcsinx，arccosx同时取某一三角函数即可，不如采用正弦函数。若x0，则arcsinx，0，而arccosx，22此时arcsinxarccosx不建立，故x0若x0，则arcsinx0，arccosx0，22.精选文档而ysinx在区间0，上为增函数2又arc

14、sinxarccosxsin(arcsinx)sin(arccosx)即x1x2，解不等式，得|x|22又0 x12x1，应选（B）26、若0，则arcsincos()arccossin()（）22A.B.C.2D.22222【分析】这是三角函数的反三角运算，其方法是把角化到相应的反三角函数的值域内。arcsincos()arcsin(sin)arcsin(sin)2arccossin()arccos(sin)arccos(sin)arccoscos()(),222原式()()，应选（A）22（）3（）11arccos)523分析：arcsin(3)表示，上的角，若设arcsin(3)，则易得

15、sin52253，原题即是求sin2的值，这就转变为早已熟习的三角求值问题，解决此类5问题的要点是能认清三角式的含义及运算序次，利用换元思想转变为三角求值。【分析】（1）设arcsin(3)，则sin355.精选文档2，cos1sin2425sin22sincos2(3424)()2555即sin2arcsin(3)245251，则cos1（2）设arccos330，sin1cos22231cos1121arccos12tan23即tan2sin2223238、解方程4sin2x2sinxcosx1【分析】原方程化为3sin2x2sinxcosxcos2x0cosx0，方程两边同除以2，得32

16、x2tgx10cosxtgtgx1或tgx13xk或xkarctg1，（kZ）43例10.设x1，x2是方程x2xsin5cos40的二根，且arctanx1，5arctanx2，求的值。最简单的三角方程.精选文档方程方程的解集a1x|x2karcsina,kZsinxaa1x|xk1karcsina,kZa1x|x2karccosa,kZcosxaa1x|x2karccosa,kZtanxax|xkarctana,kZcotxax|xkarccota,kZ.精选文档本课小结课后作业课后反思附表一：反三角函数的图象与性质简单的三角方程.精选文档反三角函数图像与性质定义域值域单一性奇偶性图象公式1公式2公式3公式4yarcsinxyarccosxyarctanx-1,1-1,1R2,20，,22在1,1上单一递加在1,1上单一递减在R上单一递加奇函数非奇非偶函数奇函数2121-121O-2-2-2-1O1arcsin(x)arcsinxarccos(x)arccosxarctan(x)arctanxx1,1x