理论力学导论复习课件

1、五、六章五、六章简答题1.写出在惯量主轴坐标系中，刚体对定点的惯量张量、 动量矩以及动能的表达式。2.写出刚体对定点O的转动惯量的一般表达式，以及 各元素的名称。写出在惯量主轴坐标系中的转动惯 量表达式，并说明各元素的物理意义。3.作平面平行运动的刚体对瞬心轴的角动量定理是否 成立？为什么？4.在求解刚体的定点转动问题时, 为什么常采用固联于刚体的惯量主轴坐标系? 简答题1.写出在惯量主轴坐标系中，刚体对定点的惯量张量、2.1、写出在惯量主轴坐标系中，刚体对定点的惯量张量、动量矩以及动能的表达式。 答：惯量主轴坐标系中，刚体对定点的惯量张量为 1、写出在惯量主轴坐标系中，刚体对定点的答：惯量主

2、轴坐标系惯量主轴坐标系中，刚体对定点的动量矩为 惯量主轴坐标系中，刚体对定点的动能表达式为惯量主轴坐标系中，刚体对定点的动量矩为 2、写出刚体对定点O的转动惯量的一般表达式，以及各元素的名称。写出在惯量主轴坐标系中的转动惯量表达式，并说明各元素的物理意义。答：Jxx、Jyy、Jzz表示在以O点为原点的直角坐标系中，刚体对x轴、y轴和z轴的转动惯量；Jxy、Jyz、Jzx表示在以O点为原点的直角坐标系中，刚体对x轴、y轴和z轴的惯量积；2、写出刚体对定点O的转动惯量的一般表达式，答：Jxx、Jy、和分别表示瞬时轴对x轴、y轴和z轴的方向余弦； 如果x轴、y轴和z轴为惯量主轴，则JxyJyzJzx

3、0，1 ， ， Jxx、Jyy、Jzz表示在以O点为原点的直角坐标系中，刚体对x轴、y轴和z轴的转动惯量。 、和分别表示瞬时轴对x轴、y轴和z轴的方向 3.作平面平行运动的刚体对瞬心轴的角动量定理是否 成立？为什么？答：不成立。 因为：建立瞬心坐标系 等式右边第2项为零，即（内力与相对位矢在同一直线上） 但第3项（惯性力矩）不为零，故对瞬心来说， O123.作平面平行运动的刚体对瞬心轴的角动量定理是否 4.在求解刚体的定点转动问题时, 为什么常采用固联于刚体的惯量主轴坐标系? 答：这样选取的坐标系，必然是与刚体关联着转动的活动坐标系，在此坐标系中刚体的惯量矩阵是对角化的，且不随时间变化：角动量

4、为：4.在求解刚体的定点转动问题时, 为什么常采用固联于刚体的惯请推导分量表达式请推导分量惯量张量转动惯量惯量张量转动惯量惯量积惯量积惯量矩阵惯量矩阵二、刚体的转动动能三、转动惯量 物理意义：转动惯性的量度 . 转动惯量的大小取决于刚体的质量、形状及转轴的位置.注意二、刚体的转动动能三、转动惯量 物理意义：转动惯性的量度四、刚体对通过空间一点O的任意轴的转动惯量 设瞬轴的方向余弦为(,)四、刚体对通过空间一点O的任意轴的转动惯量 设瞬轴的方向余弦可见：要计算对某轴的转动惯量J，算出惯量系数，把该轴的方向余弦代入公式即可。注意：选刚体坐标系，惯量系数为常数，是对x, y, z的方向余弦可见：要计

5、算对某轴的转动惯量J，算出惯量系数，把注意：选刚体五、 刚体的转动动能重新表示质点组动能柯尼希定理1、刚体绕固定点转动时动能表示：XYZOC当刚体绕固定点O转动时，任意位置r处质点的速度为：五、 刚体的转动动能重新表示质点组动能柯尼希定理1、刚体则故刚体绕固定点O转动的动能为刚体对通过质心的瞬时转轴的转动惯量则故刚体绕固定点O转动的动能为刚体对通过质心的瞬时转轴的转动注意若转轴方向不变，就是刚体绕轴的转动惯量若所选的坐标轴是对于O点的惯量主轴，则转动动 能为：注意若转轴方向不变，就是刚体绕轴的转动惯量若所选的坐标轴2、刚体作一般运动时的动能表示：讨 论（1）平动（2）定轴转动其中2、刚体作一般

6、运动时的动能表示：讨 论（1）平动（2）定轴转（3）平面平行运动（3）平面平行运动4. 惯量主轴及其求法据解析几何理论，适当选取坐标轴方向（旋转）可使方程中的交叉项消失，该旋转后的坐标轴为惯量主轴，对该惯量主轴的转动惯量Jxx，Jyy，Jzz称为主转动惯量。选惯量主轴为坐标轴：4. 惯量主轴及其求法据解析几何理论，适当选取坐标轴方向（旋惯量主轴：刚体绕过定点的特殊方向的轴转动，在这个方向上，L与方向一致。确定惯量主轴的方法：1) 解析法：椭球与主轴交点位矢与该点法线方向一致2) 几何法：适用于几何对称，分布均匀刚体惯量主轴：刚体绕过定点的特殊方向的轴转动，在这个方向上，L与（1）若刚体有一对称

7、轴，如oz轴，则该轴为惯量主轴（2） 如刚体有一对称面，则此面的法线为惯量主轴若必有则如xoy平面，若必有（1）若刚体有一对称轴，如oz轴，则该轴为惯量主轴（2） 如AvA 速度瞬心可在平面图形内,也可在平面图形外.且它的位置不是固定不变,而是随着时间变化的.(2)速度瞬心的确定C(a)当平面图形沿某一固定面作无滑动的滚动时, 图形上与固定面的接触点C即为该图形的瞬心.vAACAvA 速度瞬心可在平面图形内,也可在平面图形外.且(b) 已知在某瞬时图形上任意两点A和B速度的方位且它们互不平行.则通过两点A和B分别作速度vA 和 vB 的垂线其交点C即为瞬心.COAB(b) 已知在某瞬时图形上任

8、意两点A和B速度的方位且它(c)已知在某瞬时图形上A和B两点的速度互相平行,且垂直于A B的连线 ,但速度大小不等.则此时AB直线与两速度矢量 vA和 vB 的终端连线的交点C 即为瞬心.ABvAvBCvBvAABC(c)已知在某瞬时图形上A和B两点的速度互相平行,且垂直于A(d)已知在某瞬时图形上A 和 B两点的速度的方位互相平行,但不垂直于A B的连线.此时瞬心在无穷远处.OBA这种情况称为瞬时平动.(d)已知在某瞬时图形上A 和 B两点的速度的方位互相平行,例3 如图, 一半径为R的乒乓球与水平面摩擦系数为. 开始时, 用手按球的上左侧, 使球质心以vC0向右运动, 并具有逆时针方向的初

9、始角速度0, 设vC00, 乒乓球一边滑动, 一边倒着转动. 它在水平面方向受滑动摩擦力-mg的作用, 按照质心运动定理, 有利用(a)和(b)来分析乒乓球的运动vC00t=0fPPvCt=t1对质心的摩擦擦力矩-mgR, 对质心的转动方程为(1) 当t=t1=vC0/(g), vC=0, =0 3vC0/(2R), 据条件vC0 0, 质心停止运动,绕质心的旋转方向没有变.例3 如图, 一半径为R的乒乓球与水平面摩擦系数为. 开 当t t1, vC 0, 质心开始倒退, 但接触点P的速度vP=vC+ R 0, 滑动摩擦力方向向左, 驱使质心加速倒退, 力矩继续减缓转动, 直到接触点P的速度为

10、零.(2) vP为零的时刻t2满足自时刻t2以后, 乒乓球向后作无滑动滚动, 如不考虑滚动摩擦, 质心速度和角速度恒定 当t t1, vC 0, 质心例1 当飞机在空中以定值速度V沿半径为R的水平圆形轨道C转弯时, 当螺旋浆尖端B与中心A的联线和铅垂线成角时, 求B点的速度及加速度. 已知螺旋桨的长度AB=l, 螺旋桨自身旋转的角速度为1.解：取螺旋桨的中心A为动坐标系原点, 其单位矢量如图, 则当飞机转弯时, 整个飞机绕 k 转动的角速度为0=V/R, 故螺旋浆的合成角速度为例1 当飞机在空中以定值速度V沿半径为R的水平圆形轨道C转又当飞机转弯时，A描绘一半径为R的水平圆周, 故A的速度为V

11、, 方向沿圆周的切线, 即j的方向. 取A为基点, 则螺旋桨尖端B的速度为又当飞机转弯时，A描绘一半径为R的水平圆周, 故A的速度为V现在求B点的加速度. 因A点加速度为-V2/Ri. 而因k为恒矢量, 故但故现在求B点的加速度. 因A点加速度为-V2/Ri. 而因k所以, B点的加速度为所以, B点的加速度为6-3.虚位移与虚功(1)虚位移 质点或质点系在给定瞬间,为约束所容许的任何微小的位移,称为质点或质点系的虚位移.记为r. 虚位移只是一个几何概念,它完全由约束的性质及其限制的条件所决定.它只是约束所容许的可能发生而实际不一定发生的位移,它与作用力无关,与时间无关.它可以有多种不同的方向

12、,它必须是微小量. 实位移是质点或质点系在力的作用下,在一定时间间隔内实际发生的位移.它有确定的方向,它可以是微小量,也可以是有限量.6-3.虚位移与虚功(1)虚位移 质点或质点系在给定瞬6-4.理想约束和虚功原理 以Ni表示质点系中质点Mi的约束力的合力 , ri表示该质点的虚位移 , 则质点系的理想约束条件可表示为 Ni ri = 0一、理想约束的定义 如果约束反力在质点系的任何虚位移中所作元功之和等于零 , 则这种约束称为理想约束.6-4.理想约束和虚功原理 以Ni表示质点系中质(1)光滑接触面Nr 光滑接触面的约束反力恒垂直于接触面的切面 , 而被约束质点的虚位移总是沿着切面的 , 即

13、N rNN r(2)连接两刚体的光滑铰链 设AB杆与BC杆在B点用光滑铰链连接.由N = N 得 Nr + Nr = Nr - Nr = 0 Nr = 0ABC(1)光滑接触面Nr 光滑接触面的约束反力恒垂直N(3)连接两质点的无重刚杆 连接两质点的刚杆由于不计自重为二力杆.设质点M1和M2的虚位移分别为 r1 与 r2 则有:r1cos 1 = r2cos 2 N1r1 + N2r2 = N1r1 cos 1 - N2r2 cos 2 = 0M1M2 r1 r2N1N212(3)连接两质点的无重刚杆 连接两质点的刚杆由于不四 循环积分举例说明请说明质点在有心力场中的循环坐标和循环积分情况广义

14、动量：四 循环积分举例说明请说明质点在有心力场中的循环坐标广义动量xyAMO例题5.铰接于光滑水平面上的直杆OA受力如图所示.画出点A的实位移和虚位移.drdr112r2 在定常的几何约束的情形下 , 约束的性质与时间无关 , 微小的实位移是虚位移之一.xyAMOxyAMO例题5.铰接于光滑水平面上的直杆OA受力如图所示 具有双面,定常,理想约束的质点系,其平衡的必要和充分条件可表示为: 在某一给定的平衡位置上, 对应于各个广义坐标的广义力都等于零.(3)求广义力的两种方法1)解析法2)几何法(3)(4) 具有双面,定常,理想约束的质点系,其平衡的必要和充分例题6.如图所示,无重杆OA和AB以

15、光滑铰链相连,O端为固定铰链,杆长OA = a , AB=b今在A点作用一铅垂向下的力P,在自由端作用一水平力F, 在AB 杆上作用一矩为 M 的力偶.当系统在铅垂平面内处于平衡时 , 求对应于广义坐标的广义力.OAB21PFMyx例题6.如图所示,无重杆OA和AB以光滑铰链相连,O端为固定解: 系统有两个自由度.取1和2为广义坐标,且以逆时针转向为正.(1)解析法P = P jF = F iyA = acos1xB = asin1+bsin2 OAB21PFMyx解: 系统有两个自由度.取1和2为广义坐标,且以逆时针转求与广义虚位移1和 2相应的广义力Q1和Q2OAB21PFMyx求与广义虚

16、位移1和 2相应的广义力Q1和Q2OAB(2)先令画虚位移图rA1rBAB杆作平动.rA = rBOAB21PFMyx(2)几何法(2)先令画虚位移图rA1rBAB杆作平动.rA 再令2rB画虚位移图AB杆绕A转动.OAB21PFMyx再令2rB画虚位移图AB杆绕A转动.OAB21PF例题7.图示小车以匀加速度a 沿水平直线运动. 小车上有一质量为 m, 长为l 的单摆,其转角在任一瞬时为,当 = 0时, = 0.求在任一瞬时杆OM的拉力.xyoxyoMa例题7.图示小车以匀加速度a 沿水平直线运动. 小车上有一质xyoxyoMa解: 取M为研究对象进行运动分析. 把静系oxy固结在地面上,动

17、系oxy固结在小车上.a质点 M的相对运动是以o 为圆心 l 为半径的圆弧运动.小车的平动为牵连运动.xyoxyoMa解: 取M为研究对象进行运动分析.xyoxyoMaa进行受力分析并画受力图.mgmaT(1)(2)(3)xyoxyoMaa进行受力分析并画受力图.mgmaT(4)把(4)式代入(1)式得:把(3)式代入(2)式得:积分并化简得:(4)把(4)式代入(1)式得:把(3)式代入(2)式得:积例题8.滑轮组如图所示.已知物块A, B和C的质量分别为m, 2m和4m, 滑轮和细绳的质量不计.应用动力学普遍方程求各物块的加速度.ABCx例题8.滑轮组如图所示.已知物块A, B和C的质量分

18、别为m,ABCx解: (1)运动分析系统有2个自由度,取xA= x1 ,xB= x2为广义坐标.且xC= x3 ,xD = x4 .(x1 - x4) + (x2 - x4) = c1 (1)x3 + x4 = c2 (2)由(1)(2)式得:(3)(4)(2)进行受力分析并画受力图Dmg2mg4mgABCx解: (1)运动分析系统有2个自由度,取xA= x1(3) 应用动力学普遍方程把(3)(4)式代入上式并化简得:(5)联立(4)(5)式得:ABCxDmg2mg4mg(3) 应用动力学普遍方程把(3)(4)式代入上式并化简得:应用另一种解法.由上面解法得(1)(2)(3)应用动力学普遍方程得:代入(3)式得:(4)ABCxDmg2mg4mg应用另一种解法.由上面解法得(1)(2)(3)应用动力学普遍应用动力学普遍方程得: (5)代入(5)式得:(6)联立(4)(6)式得:ABCxDmg2mg4mg应用动力学普