平面与平面垂直的判定定理

1、关于平面与平面垂直的判定定理第1页，共41页，2022年，5月20日，13点43分，星期三1.在立体几何中，“异面直线所成的角”是怎样定义的？ 直线a、b是异面直线，经过空间任意一点O，分别引直线a /a， b/ b，我们把相交直线a 和 b所成的锐角 （或直角）叫做异面直线所成的角. 2.在立体几何中,直线和平面所成的角是怎样定义的？ 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角. 范围：( 0o, 90o 范围： 0o, 90o 复习引入第2页，共41页，2022年，5月20日，13点43分，星期三空间两个平面有平行、相交两种位置关系.对于两个平面平行，我们已

2、作了全面的研究，对于两个平面相交，我们应从理论上有进一步的认识.在异面直线所成的角、直线与平面所成的角的学习过程中，我们将三维空间的角转化为二维空间的角，即平面角来刻画.接下来，我们同样来研究平面与平面的角度问题. 两个相交平面的相对位置是由这两个平面所成的“角”来确定的第3页，共41页，2022年，5月20日，13点43分，星期三在生产实践中，有许多问题也涉及到两个平面所成的角如：修筑水坝时，为了使水坝坚固耐久，必须使水坝面和水平面成适当的角度；发射人造地球卫星时，也要根据需要，使卫星的轨道平面和地球的赤道平面成一定的角度.洪坝水平面第4页，共41页，2022年，5月20日，13点43分，星

3、期三(1) 半平面的定义1.二面角的概念平面内的一条直线把平面分为两部分，其中的每一部分都叫做半平面半平面半平面(2) 二面角的定义从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面棱面面第5页，共41页，2022年，5月20日，13点43分，星期三平卧式：直立式：llAB(3) 二面角的画法和记法：1.二面角的概念面1棱面2点1棱点2二面角 l 二面角AB二面角CAB DABCD第6页，共41页，2022年，5月20日，13点43分，星期三AOlB(4) 二面角的平面角ABO1.二面角的概念以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱

4、的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.如图， ，则AOB成为二面角 的平面角. 它的大小与点O的选取无关.二面角的平面角必须满足：角的边都要垂直于二面角的棱角的顶点在棱上角的两边分别在两个面内第7页，共41页，2022年，5月20日，13点43分，星期三lOAB0。，180。(4) 二面角的平面角1.二面角的概念二面角的范围为：注1：当二面角的两个面合成一个平面时，规定二面角的大小为180；平面角是直角的二面角叫做直二面角，此时称两半平面所在的两个平面互相垂直.OAB第8页，共41页，2022年，5月20日，13点43分，星期三定义法垂线法作棱的垂面法一个平面垂直于二面角 -l-

5、的棱 l，且与两半平面的交线分别是射线 OA、OB，O 为垂足，则AOB 为二面角 -l- 的平面角(5) 二面角的平面角的作法：1.二面角的概念OABlOABoAB补充第9页，共41页，2022年，5月20日，13点43分，星期三例 正方体ABCDA1B1C1D1中，二面角B1-AA1-C1的大小为_，二面角B-AA1-D的大小为_，二面角C1-BD-C的正切值是_.4590练习第10页，共41页，2022年，5月20日，13点43分，星期三练 如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB = 2，BC = BB1 =1 ，E为D1C1的中点，求二面角EBDC的大小AA1BB1CC1DD1

6、E思路分析：找基面平面BCD作基面的垂线过E作EFCD于FF作平面角作FGBD于G，连结EGG解：过E作EFCD于F，于是，EGF为二面角EBDC的平面角BC = 1，CD = 2，而EF = 1，在EFG中 ABCDA1B1C1D1是长方体， EF平面BCD，且F为CD中点，过F作FGBD于G，连结EG，则EGBD（三垂线定理）M练习第11页，共41页，2022年，5月20日，13点43分，星期三ABCD求证:例 如图，将等腰直角三角形纸片沿斜线BC上的高AD折成直二面角. 第12页，共41页，2022年，5月20日，13点43分，星期三CDHG600300例 如图，山坡倾斜度是60度，山坡

7、上一条路CD和坡底线AB成30度角.沿这条路向上走100米，升高了多少? AB练习第13页，共41页，2022年，5月20日，13点43分，星期三如何检测所砌的墙面和地面是否垂直？思考第14页，共41页，2022年，5月20日，13点43分，星期三2.平面与平面垂直的判定(1) 定义法：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.记作(2) 面面垂直的判定定理：若一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直 该定理作用：“线面垂直面面垂直”注2：应用该定理，关键是找出两个平面中的其中任一个的垂线.aa第15页，共41页，2022年，5月20日，13点43分，

8、星期三练 在正方体ABCDA1B1C1D1中, (1)求证：平面A1C平面B1D ACDA1C1D1E FB1(2)E、F分别是AB、BC的中点， 求证：平面A1C1FE平面B1D(3)G是BB1的中点， 求证：平面A1C1G平面B1D GGGG总结:直线A1C1 平面B1D，则过直线A1C1 的平面都垂直于平面B1D练习第16页，共41页，2022年，5月20日，13点43分，星期三ABCPO证明：由AB是圆O的直径，可得ACBC平面PAC平面PBC例 如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面于A，C是圆O上不同于A、B的任意一点.求证：平面PAC平面PBC练习第17页，共41页，2

9、022年，5月20日，13点43分，星期三PABC外垂中练习：P79 B组2(2)第18页，共41页，2022年，5月20日，13点43分，星期三第19页，共41页，2022年，5月20日，13点43分，星期三第20页，共41页，2022年，5月20日，13点43分，星期三EF分析第21页，共41页，2022年，5月20日，13点43分，星期三EF或者考虑二面角定义法第22页，共41页，2022年，5月20日，13点43分，星期三GE第23页，共41页，2022年，5月20日，13点43分，星期三GE练习第24页，共41页，2022年，5月20日，13点43分，星期三二、平面与平面垂直(1)定

10、义：两平面所成二面角为直二面角(2)判定定理：(3)性质定理：一、直线与平面垂直(1)定义：(2)判定定理：(3)线线垂直的常用证明方法：a.平面内的两直线b.空间内的两直线(4)两条平行线垂直于同一个平面，垂直于同一一个面的两直线平行.第25页，共41页，2022年，5月20日，13点43分，星期三三、角度问题名称定义图形两条异面直线 所成的角直线与平面所成的角二面角及它的平面角直线a、b是异面直线，经过空间任意一点o，作直线a、b，并使a/a，b/b，我们把直线a和b所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角.从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。以二面角的棱上任意一点为端

11、点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。LoBAALBO平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角，特别地，若L则L与所成的角是直角，若L/或 L ，则L与所成的角是的角。第26页，共41页，2022年，5月20日，13点43分，星期三 解决空间角的问题涉及的数学思想主要是化归与转化，即把空间的角转化为平面的角，进而转化为三角形的内角，然后通过解三角形求得.2.方法：3.步骤：b.求直线与平面所成的角：a.求异面直线所成的角：c.求二面角的大小：作（找） 证 点 算1.数学思想：平移 构造可解三角形找（或作）射影 构造可

12、解三角形找（或作）其平面角 构造可解三角形定义法或者垂线法即找面的垂线，找出垂足找平行线方法：中位线，平行四边形，线段成比例，线面平行的性质定理等第27页，共41页，2022年，5月20日，13点43分，星期三OLLABOPABback练习：二面角 的平面角为 , PA 于A点，PB 于B点，PA=a，PB=b，求点P到棱 的距离.第28页，共41页，2022年，5月20日，13点43分，星期三back练 如图，在三棱锥P-ABC中，ACBC=2，PA=PB=AB，ACB90o，PCAC.(1)求证：PC AB；(2)求二面角BAPC的大小.第29页，共41页，2022年，5月20日，13点4

13、3分，星期三练2 在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2， BC=BB1=1， E为C1D1的中点，求二面角 E-BD-C的大小.AA1BB1CC1DD1EMFback第30页，共41页，2022年，5月20日，13点43分，星期三在正方体AC1中，E，F分别是中点，求截面A1ECF和底面ABCD所成的锐二面角的大小.EFGABDCA1B1D1C1FGBCDAFEA1CHHback第31页，共41页，2022年，5月20日，13点43分，星期三练1 如图，M是正方体ABCDA1B1C1D1的棱AB的中点，求二面角A1MCA的正切值ABCDMA1B1C1D1NH思路分析：找基面找基面的垂

14、线AA1作平面角作AHCM交CM的延长线于H，连结A1H平面ABCD解：作AHCM交CM的延长线于H，连 结A1HA1A平面AC，AH是A1H 在平面AC内的射影，A1HCM，A1HA为二面角A1CMA的平面角设正方体的棱长为1M是AB的中点，且AMCD，则在直角AMN中，AM = 0.5，AN= 1，MN = back第32页，共41页，2022年，5月20日，13点43分，星期三如图，在底面是直角梯形的四棱锥S-ABCD中，ABC=90，SA面ABCD，SA=AB=BC=2，AD=1.(1)求四棱锥S-ABCD的体积；(2)求面SCD与面SBA所成的二面角的正切值.(2)提示：因所求二面角

15、无“棱”，故先延长BA、CD以确定棱SE，然后证明BSC为平面角.back第33页，共41页，2022年，5月20日，13点43分，星期三A .O解：则AD l .sinADO= ADO=60.即二面角 l 的大小为60 .在RtADO中，AOAD练 已知二面角 l ，A为面内一点，A到 的距离为 ，到l的距离为 4. 求二面角 l 的大小.lD过 A作 AO于O，过 O作 OD l 于D，连AD， 就是二面角 l 的平面角.back练 在二面角-l-的一个平面内有一条直线AB，它与棱 l 所成的角为45，与平面所成的角为30，则这个二面角的大小是_.45或135第34页，共41页，2022年

16、，5月20日，13点43分，星期三 证明：CDABE在平面内过B点作直线BECD，则ABE就是二面角-CD-的平面角，设=CD，则BCD.AB，CD ，ABCD.AB，BE ， ABBE. 二面角-CD-是直二面角，.aback第35页，共41页，2022年，5月20日，13点43分，星期三练习1.过平面的一条垂线可作_个平面与平面垂直.2.过一点可作_个平面与已知平面垂直.3.过平面的一条斜线，可作_个平面与平面垂直.4.过平面的一条平行线可作_个平面与垂直.一无数无数一back第36页，共41页，2022年，5月20日，13点43分，星期三ABCDA1B1C1D1练 正方体ABCDA1B1

17、C1D1中， 求证： backABCDE第37页，共41页，2022年，5月20日，13点43分，星期三EFback第38页，共41页，2022年，5月20日，13点43分，星期三PABC思路分析：找基面找基面的垂线作平面角平面ABC取AB的中点M，连结PMM由己知AB2 = AC2 + BC2，ACB是直角N取AC的中点N，连结MN、PNMNBC，ACBC，MNAC，由三垂线定理知PNACMNP就是二面角PACB的平面角PA = PB = PC，PAMPCMPMAM，PMCM，PM平面ABC连结CM，AM = BM = CM，已知ABC, AB = 10, BC = 6, P是平面ABC 外一点,且P