常系数线性常微分方程

1、关于常系数线性常微分方程第1页，共49页，2022年，5月20日，0点11分，星期四常系数 齐次线性微分方程 基本思路: 求解常系数线性齐次微分方程 求特征方程(代数方程)之根转化 第六章 第2页，共49页，2022年，5月20日，0点11分，星期四二阶常系数齐次线性微分方程:和它的导数只差常数因子,代入得称为微分方程的特征方程,1. 当时, 有两个相异实根方程有两个线性无关的特解:因此方程的通解为( r 为待定常数 ),所以令的解为 则微分其根称为特征根.第3页，共49页，2022年，5月20日，0点11分，星期四2. 当时, 特征方程有两个相等实根则微分方程有一个特解设另一特解( u (x

2、) 待定)代入方程得:是特征方程的重根取 u = x , 则得因此原方程的通解为第4页，共49页，2022年，5月20日，0点11分，星期四3. 当时, 特征方程有一对共轭复根这时原方程有两个复数解: 利用解的叠加原理 , 得原方程的线性无关特解:因此原方程的通解为第5页，共49页，2022年，5月20日，0点11分，星期四小结:特征方程:实根 特 征 根通 解以上结论可推广到高阶常系数线性微分方程 .第6页，共49页，2022年，5月20日，0点11分，星期四若特征方程含 k 重复根若特征方程含 k 重实根 r , 则其通解中必含对应项则其通解中必含对应项特征方程: 第7页，共49页，202

3、2年，5月20日，0点11分，星期四例1.的通解.解: 特征方程特征根:因此原方程的通解为例2. 求解初值问题解: 特征方程有重根因此原方程的通解为利用初始条件得于是所求初值问题的解为第8页，共49页，2022年，5月20日，0点11分，星期四例3.的通解. 解: 特征方程特征根:因此原方程通解为例4.解: 特征方程:特征根 :原方程通解:(不难看出, 原方程有特解第9页，共49页，2022年，5月20日，0点11分，星期四例5. 解: 特征方程:即其根为方程通解 :第10页，共49页，2022年，5月20日，0点11分，星期四例6.解: 特征方程:特征根为则方程通解 :第11页，共49页，2

4、022年，5月20日，0点11分，星期四内容小结特征根:(1) 当时, 通解为(2) 当时, 通解为(3) 当时, 通解为可推广到高阶常系数线性齐次方程求通解 .第12页，共49页，2022年，5月20日，0点11分，星期四思考与练习 求方程的通解 .答案:通解为通解为通解为第13页，共49页，2022年，5月20日，0点11分，星期四思考题为特解的 4 阶常系数线性齐次微分方程,并求其通解 .解: 根据给定的特解知特征方程有根 :因此特征方程为即故所求方程为其通解为第14页，共49页，2022年，5月20日，0点11分，星期四常系数非齐次线性微分方程 一、二、 第六章 第15页，共49页，2

5、022年，5月20日，0点11分，星期四二阶常系数线性非齐次微分方程 :根据解的结构定理 , 其通解为非齐次方程特解齐次方程通解求特解的方法根据 f (x) 的特殊形式 ,的待定形式,代入原方程比较两端表达式以确定待定系数 . 待定系数法第16页，共49页，2022年，5月20日，0点11分，星期四一、 为实数 ,设特解为其中 为待定多项式 , 代入原方程 , 得 (1) 若 不是特征方程的根, 则取从而得到特解形式为为 m 次多项式 .Q (x) 为 m 次待定系数多项式第17页，共49页，2022年，5月20日，0点11分，星期四(2) 若 是特征方程的单根 , 为m 次多项式,故特解形式

6、为(3) 若 是特征方程的重根 , 是 m 次多项式,故特解形式为小结对方程,此结论可推广到高阶常系数线性微分方程 .即即当 是特征方程的 k 重根 时,可设特解第18页，共49页，2022年，5月20日，0点11分，星期四例1.的一个特解.解: 本题而特征方程为不是特征方程的根 .设所求特解为代入方程 :比较系数, 得于是所求特解为第19页，共49页，2022年，5月20日，0点11分，星期四例2. 的通解. 解: 本题特征方程为其根为对应齐次方程的通解为设非齐次方程特解为比较系数, 得因此特解为代入方程得所求通解为第20页，共49页，2022年，5月20日，0点11分，星期四例3. 求解定

7、解问题解: 本题特征方程为其根为设非齐次方程特解为代入方程得故故对应齐次方程通解为原方程通解为由初始条件得第21页，共49页，2022年，5月20日，0点11分，星期四于是所求解为解得第22页，共49页，2022年，5月20日，0点11分，星期四二、第二步 求出如下两个方程的特解分析思路:第一步 将 f (x) 转化为第三步 利用叠加原理求出原方程的特解第四步 分析原方程特解的特点第23页，共49页，2022年，5月20日，0点11分，星期四第一步利用欧拉公式将 f (x) 变形第24页，共49页，2022年，5月20日，0点11分，星期四 第二步 求如下两方程的特解 是特征方程的 k 重根

8、( k = 0, 1), 故等式两边取共轭 :为方程 的特解 .设则 有特解:第25页，共49页，2022年，5月20日，0点11分，星期四第三步 求原方程的特解 利用第二步的结果, 根据叠加原理, 原方程有特解 :原方程 均为 m 次多项式 .第26页，共49页，2022年，5月20日，0点11分，星期四第四步 分析因均为 m 次实多项式 .本质上为实函数 ,第27页，共49页，2022年，5月20日，0点11分，星期四小 结对非齐次方程则可设特解:其中 为特征方程的 k 重根 ( k = 0, 1), 上述结论也可推广到高阶方程的情形.第28页，共49页，2022年，5月20日，0点11分

9、，星期四例4. 的一个特解 .解: 本题 特征方程故设特解为不是特征方程的根,代入方程得比较系数 , 得于是求得一个特解第29页，共49页，2022年，5月20日，0点11分，星期四例5. 的通解. 解: 特征方程为其根为对应齐次方程的通解为比较系数, 得因此特解为代入方程:所求通解为为特征方程的单根 ,因此设非齐次方程特解为第30页，共49页，2022年，5月20日，0点11分，星期四例6.解: (1) 特征方程有二重根所以设非齐次方程特解为(2) 特征方程有根利用叠加原理 , 可设非齐次方程特解为设下列高阶常系数线性非齐次方程的特解形式:第31页，共49页，2022年，5月20日，0点11

10、分，星期四思考与练习时可设特解为 时可设特解为 提示:1 . (填空) 设第32页，共49页，2022年，5月20日，0点11分，星期四2. 求微分方程的通解 (其中为实数 ) .解: 特征方程特征根:对应齐次方程通解:时,代入原方程得故原方程通解为时,代入原方程得故原方程通解为第33页，共49页，2022年，5月20日，0点11分，星期四3. 已知二阶常微分方程有特解求微分方程的通解 .解: 将特解代入方程得恒等式比较系数得故原方程为对应齐次方程通解:原方程通解为第34页，共49页，2022年，5月20日，0点11分，星期四振动问题当重力与弹性力抵消时, 物体处于 平衡状态, 例1. 质量为

11、m的物体自由悬挂在一端固定的弹簧上,力作用下作往复运动,解:阻力的大小与运动速度下拉物体使它离开平衡位置后放开,若用手向物体在弹性力与阻取平衡时物体的位置为坐标原点,建立坐标系如图.设时刻 t 物位移为 x(t).(1) 自由振动情况.弹性恢复力物体所受的力有:(虎克定律)成正比, 方向相反.建立位移满足的微分方程.第35页，共49页，2022年，5月20日，0点11分，星期四据牛顿第二定律得则得有阻尼自由振动方程:阻力(2) 强迫振动情况.若物体在运动过程中还受铅直外力则得强迫振动方程:第36页，共49页，2022年，5月20日，0点11分，星期四例2.解:由例1 知, 位移满足质量为m的物

12、体自由悬挂在一端固定的弹簧上,在无外力作用下做自由运动,初始求物体的运动规律 立坐标系如图, 设 t = 0 时物体的位置为取其平衡位置为原点建 因此定解问题为自由振动方程 , 第37页，共49页，2022年，5月20日，0点11分，星期四方程:特征方程:特征根:利用初始条件得:故所求特解:方程通解:1) 无阻尼自由振动情况 ( n = 0 )第38页，共49页，2022年，5月20日，0点11分，星期四解的特征:简谐振动 A: 振幅, : 初相,周期: 固有频率 (仅由系统特性确定)第39页，共49页，2022年，5月20日，0点11分，星期四方程:特征方程:特征根:小阻尼: n k临界阻尼

13、: n = k 解的特征解的特征解的特征第40页，共49页，2022年，5月20日，0点11分，星期四( n k ) 大阻尼解的特征: 1) 无振荡现象; 此图参数: 2) 对任何初始条件即随时间 t 的增大物体总趋于平衡位置.第42页，共49页，2022年，5月20日，0点11分，星期四( n = k ) 临界阻尼解的特征 : 任意常数由初始条件定, 最多只与 t 轴交于一点; 即随时间 t 的增大物体总趋于平衡位置.2) 无振荡现象 ;第43页，共49页，2022年，5月20日，0点11分，星期四例3.求物体的运动规律. 解: 问题归结为求解无阻尼强迫振动方程 当p k 时, 齐次通解:

14、非齐次特解形式:因此原方程之解为例1 中若设物体只受弹性恢复力 f和铅直干扰力代入可得: 第44页，共49页，2022年，5月20日，0点11分，星期四当干扰力的角频率 p 固有频率 k 时,自由振动强迫振动 当 p = k 时, 非齐次特解形式:代入可得: 方程的解为 第45页，共49页，2022年，5月20日，0点11分，星期四若要利用共振现象, 应使 p 与 k 尽量靠近, 或使 随着 t 的增大 , 强迫振动的振幅这时产生共振现象 .可无限增大,若要避免共振现象, 应使 p 远离固有频率 k ;p = k .自由振动强迫振动对机械来说, 共振可能引起破坏作用, 如桥梁被破坏,电机机座被破坏等,但对电磁振荡来说, 共振可能起有利作用,如收音机的调频放大即是利用共振原理. 第46页，共49页，2022年，5月20日，0点11分，星期四求电容器两两极板间电压 例4. 联组成的电路, 其中R , L , C 为常数 ,所满足的微分方程 .提示: 设电路中电流为 i(t),上的电量为 q(t