《高等数学》练习题库

1、华中师范大学网络教育学院高等数学练习测试题库一选择题1函数y=是()X2+1D无界函数偶函数B.奇函数CD无界函数设f(sin)=cosx+1,则f(x)%()2A2x22B22x2BB3下列数列为单调递增数列的有(A0.9，0.99，0.999，0.9999C.f(n),其中f(n)=n、1-nD.,n为偶数数列有界是数列收敛的()充分条件C.充要条件下列命题正确的是()发散数列必无界C.两发散数列之和必发散B.必要条件D既非充分也非必要两无界数列之和必无界D.两收敛数列之和必收敛10、当10、当|x|0,b0B、a0,bV0C、C、aV0,b0D、aV0,bV015、若函数f(x)在点x连

2、续，则下列复合函数在x也连续的有(15、若函数f(x)在点x连续，则下列复合函数在x也连续的有(00A、B、16、C、tanf(x)D、ff(x)函数f(x)二tanx能取最小最大值的区间是下列区间中的(A、0,nB、(0,n)C、C、-n/4,n/4D、(-n/4,n/4)17、A、充分条件17、A、充分条件B、必要条件C、充要条件D、无关条件在闭区间a,b上连续是函数f(x)有界的()18、f(a)f(b)V0是在a,b上连续的函f(x)数在(a,b)内取零值的(18、19、2021222324252627282930、C、充要条件D、无关条件下列函数中能在区间(0,1)内取零值的有()A

3、、f(x)=x+1B、f(x)=x-1C、f(x)=x2-1D、f(x)=5x4-4x+1曲线y=x2在x=1处的切线斜率为()A、k=0B、k=1C、k=2D、-1/2若直线y=x与对数曲线y=logx相切，则()aA、eB、1/eC、exD、e1/eTOC o 1-5 h z曲线y=lnx平行于直线x-y+1=0的法线方程是()A、x-y-1=0B、x-y+3e-2=0C、x-y-3e-2=0D、-x-y+3e-2=0设直线y=x+a与曲线y=2arctanx相切，则a=()A、1B、n/2C、(n/2+1)D、(n/2-1)设f(x)为可导的奇函数，且f(x)=a，则f(-x)=()00

4、A、aB、-aC、|a|D、0设y=lnJ/，则y|x=0二()A、-1/2B、1/2C、-1D、0设y=(cos)sinx,则y|x=0二()A、-1B、0C、1D、不存在A、f(0)不存在B、f(0)=0C、f(0)二gA、f(0)不存在B、f(0)=0C、f(0)二gf(0)=nA、0B、1/n2C、1D、n2已知y=sinx，则y(10)=()A、sinxB、cosxC、-sinxD、-cosx已知y=xnx，则y(10)=()A、-1/x9B、1/x9C、8.1/x9D、-8.1/x9若函数f(x)=xsin|x|，则()D、31、设函数y=yf(x)在0,内由方程x+cos(x+y

5、)=0所确定，则|dy/dx|0=()x=0TOC o 1-5 h zA、-1B、0C、_n/2D、232、圆x2cos0,y=2sin0上相应于8=n/4处的切线斜率，K=()A、-1B、0C、1D、233、函数f(x)在点x连续是函数f(x)在x可微的()00A、充分条件B、必要条件C、充要条件D、无关条件34、函数f(x)在点x可导是函数f(x)在x可微的()00A、充分条件B、必要条件C、充要条件D、无关条件35、函数f(x)=|x|在x=0的微分是()A、0B、-dxC、dxD、不存在36、极限lim(-)的未定式类型是()a1-xInxA、0/0型B、g/g型C、g-gD、g型37

6、、极限lim(沁)的未定式类型是()xxt0A、00型B、0/0型C、1型D、g型1x2sin38极限limx二()xtOsinxA、0B、1C、2D、不存在39、时，n阶泰勒公式的余项Rn(x)是较xUx的()00A、(n+1)阶无穷小B、n阶无穷小C、同阶无穷小D、高阶无穷小40、若函数f(x)在0,+内可导，且f(x)0,xf(0)V0则f(x)在0,+g内有()A、唯一的零点B、至少存在有一个零点D、不能确定有无零点CD、不能确定有无零点曲线曲线y=x2-4x+3的顶点处的曲率为（）方程方程=0所表示的图形为（）41、42434445、46、4748(49、50、5152、53、TOC

7、 o 1-5 h zA、2B、1/2C、1D、0抛物线y=4x-x2在它的顶点处的曲率半径为（）A、0B、1/2C、1D、2若函数f（x）在（a,b）内存在原函数，则原函数有（）A、一个B、两个C、无穷多个D、都不对若jf(x)dx=2ex/2+C二()则jP(x)(x-1)-ndx(A、2ex/2B、4ex/2C、ex/2则jP(x)(x-1)-ndx(A、不含有对数函数B、含有反三角函数C、一定是初等函数D、一定是有理函数jA、不含有对数函数B、含有反三角函数C、一定是初等函数D、一定是有理函数j0|3x+1|dx=(-1A、5/6B、1/2C、-1/2D、1两椭圆曲线X2/4+y2=l及

8、(x-l)2/9+y2/4=l之间所围的平面图形面积等于A、nBA、nB、2nC、4nD、6njxe-xdx=(D)A、xe-x-e-x+CB、-xe-x+e-x+CC、xe-x+e-x+CD、-xe-x-e-x+C（X）为多项式，为自然数,曲线y=X2-2x与x轴所围平面图形绕轴旋转而成的旋转体体积是（）A、nA、nB、6n/15C、16n/15D、32n/15点（1，0，-1）与（0，-1，1）之间的距离为（）A、B、A、B、2C、31/2D、21/2设曲面方程（P,Q）则用下列平面去截曲面，截线为抛物线的平面是（）A、A、Z=4B、Z=0C、Z=-2D、x=2平面x=a截曲面x2/a2+

9、y2/b2-z2/c2=1所得截线为（）A、椭圆B、双曲线C、抛物线D、两相交直线aaA、A、原点（0,0,0）C、三坐标轴B、三坐标轴D、曲面，但不可能为平面TOC o 1-5 h z54、方程3x2+3y2-z2=0表示旋转曲面，它的旋转轴是（）A、X轴B、Y轴C、Z轴D、任一条直线55、方程3x2-y2-2z2=l所确定的曲面是（）A、双叶双曲面B、单叶双曲面C、椭圆抛物面D、圆锥曲面二、填空题1、求极限lim(x2+2x+5)/(x2+1)=()XT12、求极限lim(x3-3x+1)/(x-4)+1=()xtO3、求极限limx-2/(x+2)1/2=()xt24、求极限limx/(

10、x+l)x=()xfg5、求极限lim(1-x)1/x=()xfOTOC o 1-5 h z6、已矢口y二sinxcosx，求y|x=n/6=()7、已知p二屮sin屮+cos屮/2，求dp/d屮|屮=门/68、已知f(x)=3/5x+x2/5，求7、9、设直线y=x+a与曲线y=2arctanx相切，则a=（）10、函数y=X2-2x+3的极值是y（1）=（）11、函数y=2x3极小值与极大值分别是（）12、函数y=x22x1的最小值为（）13、函数y=2x-5x2的最大值为（）14、函数f（x）=X2e-x在-1,1上的最小值为（）15、点(0，1)是曲线y二ax3+bx2+c的拐点，则有

11、b=()c=()16、/xx1/2dx二()17、若F、(x)=f(x)，则/dF(x)=()18、若/f(x)dx=x2e2x+c，则f(x)=()19、d/dx/barctantdt=(20、21222324252627282930313233343536373839404142、1Jx(e21)dt已知函数f(x)=十x20,x丰0在点x=0连续，则a=()a,x=0f2(X2+l/x4)dx=()0TOC o 1-5 h zf9x1/2(1+x1/2)dx=()4f31/2adx/(a2+x2)=()f1dx/(4-x2)1/2=()fn才sin(口/3+x)dx=()f9x1/2(1

12、+x1/2)dx=()4f9x1/2(1+x1/2)dx=()4f9x1/2(1+x1/2)dx=()4f9x1/2(1+x1/2)dx=()4f9x1/2(1+x1/2)dx=()4f9x1/2(1+x1/2)dx=()4f9x1/2(1+x1/2)dx=()4满足不等式Ix-2IV1的X所在区间为()设f(x)=x+1，则f5+10)=()函数Y=lsinxl的周期是() HYPERLINK l bookmark4 o Current Document y=sinx,y=cosx直线x=O,x=n/2所围成的面积是()y=3-2x-x2与x轴所围成图形的面积是()心形线r=a(1+cos0

13、)的全长为()三点(1，1，2)，(-1，1，2)，(0，0，2)构成的三角形为()一动点与两定点(2，3，1)和(4，5，6)等距离，则该点的轨迹方程是()求过点(3,0，-1)，且与平面3x-7y+5z-12=0平行的平面方程是()求三平面x+3y+z=1，2x-y-z=0，-x+2y+2z=0的交点是()43、求平行于xoz面且经过（2,-5,3）的平面方程是（）44、通过Z轴和点（-3，1，-2）的平面方程是（）45、平行于X轴且经过两点（4,0,-2）和（5,1,7）的平面方程是（）三、解答题1、设Y=2X-5X2，问X等于多少时Y最大？并求出其最大值。2、求函数y=x2-54/x.

14、（xV0=的最小值。3、求抛物线y=x2-4x+3在其顶点处的曲率半径。4、相对数函数y=lnx上哪一点处的曲线半径最小？求出该点处的曲率半径。5、求y=x2与直线y=x及y=2x所围图形的面积。6、求y=ex,y=e-x与直线x=1所围图形的面积。7、求过（1,1,-1）,（-2,-2,2）和（1,-1,2）三点的平面方程。8、求过点（4,-1,3）且平行于直线（x-3）/2=y=（z-1）/5的直线方程。9、求点（-1,2,0）在平面x+2y-z+1=0上的投影。10、求曲线y=sinx,y=cosx直线x=0,x=n/2所围图形的面积。11、求曲线y=3-2x-x2与x轴所围图形的面积。

15、12、求曲线y2=4（x-1）与y2=4（2-x）所围图形的面积。13、求抛物线y=-x2+4x-3及其在点（0,3）和（3,0）得的切线所围成的图形的面积。9/414、求对数螺线r=eae及射线=-n,0=n所围成的图形的面积。15、求位于曲线y=ex下方，该曲线过原点的切线的左方以及x轴上方之间的图形的面积。16、求由抛物线y2=4ax与过焦点的弦所围成的图形面积的最小值。17、求曲线y=x2与x=y2绕y轴旋转所产生旋转体的体积。18、求曲线y=achx/a,x=0,y=0,绕x轴所产生旋转体的体积。19、求曲线x2+（y-5）2=16绕x轴所产生旋转体的体积。20、求x2+y2=a2，

16、绕x=-b，旋转所成旋转体的体积。21、求椭圆x2/4+y2/6=1绕轴旋转所得旋转体的体积。22、摆线x=a（t-sint）,y=a（1-cost）的一拱，y=0所围图形绕y=2a（a0）旋转所得旋转体体积。23、计算曲线上相应于的一段弧的长度。24、计算曲线y=x/3（3-x）上相应于1WxW3的一段弧的长度。25、计算半立方抛物线y2=2/3（x-1）3被抛物线y2=x/3截得的一段弧的长度。26、计算抛物线y2=2px从顶点到这典线上的一点M（x,y）的弧长。27、求对数螺线r=eae自8=0到8=屮的一段弧长。28、求曲线r8=1自8=3/4至84/3的一段弧长。29、求心形线r=a

17、（1+cos8）的全长。30、求点M（4，-3，5）与原点的距离。31、在yoz平面上，求与三已知点A（3，1，2），B（4，-2，-2）和C（0，5,1）等距离的点。32、设U=a-b+2c,V=-a+3b-c，试用a,b,c表示2U-3V。33、一动点与两定点（2，3，1）和（4，5，6）等距离。求这动点的轨迹方程。34、将xoz坐标面上的抛物线z2=5x绕轴旋转一周，求所生成的旋轴曲方程。35、将xoy坐标面上的圆x2+y2=9绕Z轴旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程。36、将xoy坐标面上的双曲线4x2-9y2=36分别绕x轴及y轴旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程。37、求球面x2+

18、y2+z2=9与平面x+z=1的交线在xoy面上的投影方程。38、求球体x2+（y-1）2+（z-2）2W9在xy平面上的投影方程。39、求过点（3,0，-1），且与平面3x-7x+5z-12=0平行的平面方程。40、求过点M0（2，9，-6）且与连接坐标原点及点M0的线段OM0垂直的平面方程。41、求过（1，1，1），（-2，-2，2）和（1，-1，2）三点的平面方程。42、一平面过点（1,0，-1）且平行于向量a=2,1,1和b=1,-1,0，试求这平面方程。43、求平面2x-y+2z-8=0及x+y+z-10=0夹角弦。44、求过点（4，-1，3）且平行于直线（x-3）/2=y=（z-1

19、）/5的直线方程。45、求过两点M（3，-2，1）和M（-1，0，2）的直线方程。000046、求过点(0，2，4)且与两平面x+2z=1和y-3z=z平行的直线方程。47、求过点(3,1,-2)且通过直线(x-4)/5=(y+3)/2+z/l的平面方程。48、求点(-1,2,0)在平面x+2y-z+1=0上的投影。49、求点P(3,-1,2)到直线x+2y-z+1=0的距离。50、求直线2x-4y+z=0,3X-y-2z=0在平面4x-y+z=1上的投影直线的方程。四、证明题12四、证明题1238证明不等式：2J1v1+x4dx-13证明不等式-J2住2)20v1-xn6设f(x),g(x)

20、区间La,aa0)上连续，g(x)为偶函数，且f(x)满足条件f(x)+f(-x)=A(A为常数)。证明：Jaf(x)g(x)dx=aJag(x)dx0 x_2COSnxdx2n04.设n为正整数，证明J2cosx_2COSnxdx2n005.设申(t)是正值连续函数，f(x)=Ja|x-1b(t)dt，-ax0),则曲线-ay=f(x)在Ia,a上是凹的。6.证明：J16.证明：J1xdx1+x2I1dxIx11+x27.设f(x)是定义在全数轴上，且以T为周期的连续函数，a为任意常数，则Ja+Tf(x)dx=JTf(x)dxa08若f(x)是连续函数,8若f(x)是连续函数,则JxJf(t

21、)dtdu=Jx(x-u)f(u)du09.设f(x),g(x)在L,b上连续，证明至少存在一个gw(a,b)使得f(g)Jbg(x)dx=g(g)Jgf(x)dxg8.8.9.10.设f(x)在la,b上连续，证明：(Jbf(x)dxY(b-a)Jbf2(x)dxaa11.设f(x)在a,b上可导，且f(x)M,f(a)=0证明：Jbf(x)dxM-(b-a)2a2华中师范大学网络教育学院高等数学练习测试题库参考答案选择题110ABABDCCDAA1120ABABBCAADC2130DCDAABCCCA3140BABDDCCAAD4150ABCDDCACCA5155DDCCA二.填空题1.2

22、2.3/43.04.e-15.e-16.(31/2+1)/27.7.(1+)29/25兀-1或1-2210.211.-1，012.-213.1/5140150，116.C2x3/2517.F(x)C18.2xe2x(1+x)19.020.021.21/822.271/6兀/3aTOC o 1-5 h z兀/625.02(31/2-1)兀/22/34/321/203兀/2 HYPERLINK l bookmark42 o Current Document (1,3)14兀7/632/38a等腰直角4x+4y+10z-63=03x-7y+5z-4=0(1,-1,3)y+5=0 x+3y=09x-2

23、y-2=0三解答题当X=l/5时，有最大值1/5X=-3时，函数有最小值27R=1/2在点(2,-匹2)处曲率半径有最小值3X32/2227/6e+1/e-2x-3y-2z=0(x-4)/2=(y+1)/1=(z-3)/59.(-5/3，2/3，2/3)10.2(21/2-1)11.32/312.4x21/2/313.9/4a214丁(a2-e-2兀a214丁(a2-e-2兀)e/28a2/33n/1018.a2a+(e2一e-2)219.160口22口2a2b1/6丁兀7口2a31+1/2In3/2242f3-4/325926.一1v1+a227.ea屮a28.ln3/2+5/128a5x2

24、1/2(0，1，-2)5a-11b+7c4x+4y+10z-63=0y2+z2=5xx+y2+z2=9x轴：4x2-9(y2+z2)=36x2+y2(1-x)2=9z=0y轴：4(x2+z2)-9y2=36111x2+y2+(l-x)2W9z=03x-7y+5z-4=02x+9y-6z-l2l=0 x-3y-2z=0 x+y-3z-4=043.44.45.46.x3=y+2=z142V45.46.x=y2=z42=_3r8x-9y-22z-59=0(-5/3,2/3,2/3)49.349.3迈r17x+31y37z117二04xy+z1二0四证明题81.证明不等式：2卩：1+x4dx-13证明

25、：令f(x)二：1+x4,xe1,1则f则f(x)=4x32；1+x42x3：1+x4令ff(x)=0,得x=0f(-1)=f(1)=迈,f(0)=1则1f(x)、辽上式两边对x在I1,1上积分，得不出右边要证的结果，因此必须对f(x)进行分析显然f(x)=x1+x4x：1+2x2+x4=、(1+x2)2=1+x2,于是J1dxJ1dx+x4dxJ1(1+x2)dx,故22所22所以2证明不等式2丄dx兀2证明不等式2丄dx兀/J2.2)01xn6证明：显然当XG1，2时，(n2)有1=1一xnV1一x2=丄J丄亠20：1一xn,f丄dx.J2：=arcsinx0 x1x21兀2=06TOC

26、o 1-5 h z丄dx兀/即，-J22)01一xn6f(x)+f(x)=A(A为常数)。证明：Jaf(x)g(x)dx=AJag(x)dx03f(x)+f(x)=A(A为常数)。证明：Jaf(x)g(x)dx=AJag(x)dx0一a证明：Jaf(x)g(x)dx=J0f(x)g(x)dx+Jaf(x)g(x)dx一a一a0J0f(x)g(x)dx令x=uJ0f(u)g(u)du=Jaf(x)g(x)dx一aa0.Jaf(x)g(x)dx=Jaf(x)g(x)dx+Jaf(x)g(x)dx=Jaf(x)+f(x)g(x)dx=aJag(x)dx一a04.4.设n为正整数，证明J2cos01卜

27、xsinnxdx=J2cosnxdx2n0证明：令t=2x,有J2cosxsinxd片02n+1J2(J2cosxsinxd片02n+102n+101(住f)2n+1J2sintd+Jsintdt,2n+1又，JKsinntdtt=兀一uJ0sinn(兀一u)du=J2sinnudu,血血011J2cosnxsinnxdx=(J2sinntdt+J2sinntdt)=J2sinntdt02n+1002n0=一J*sinnxdx2n九2又，J2Jsinnxdxx=-1J0cosntdt=J2cosnxdx202因此，J2cos0.1fxsinnxdx=J2cosnxdx2n05.设申(t)是正值连续函数,f(x)=Ja|x一tb(t)dta，ax0),贝U曲线y=f(x)在-a,a上是凹的。证明：f(x)=Jx(xt)b(t)dta+Ja(tx)b(t)dtx=xJxb(t)dtJxtb(t)dt+Jxtb(t)dtxJab(t)dtaaf(x)=Jxb(t)dt一Jab(t)dt=Jxb(t)dt+Jxb(t)dtaxaaf(x)=申(x)+申(x)=2申(x)0故，曲线y=f(x)在Ia,a上是凹的。6.证明：Jil=J：1x1+x211+x2证明：Ji仝令二;Ji斗(丄du)=J；Q=J：Qx1+x2丄1+1u211+u211+x2u