九年级寒假班第3讲和第4讲：函数与分析-教师版

1、函数与分析函数与分析知识结构知识结构模块一模块一：平面直角坐标系知识精讲知识精讲平面直角坐标系在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴，就组成了平面直角坐标系为了便于描述坐标平面内点的位置，把坐标平面被x轴和y轴分割而成的四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限注意：x轴和y轴上的点，不属于任何象限点的坐标1、点的坐标用（a，b）表示，其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间有“，”分开，横、纵坐标的位置不能颠倒2、平面内点的坐标是有序实数对，当时，（a，b）和（b，a）是两个不同点的坐标3、不同位置的点的坐标的特征：各象限内点的坐标的特征：点P（x，y）在第一象限x 0，y 0；

2、点P（x，y）在第二象限x 0；点P（x，y）在第三象限x 0，y 0，y 0k 0k”、“ 0，b 0k 0，b 0k 0k 0，b 0，b 0Bk 0，b 0Ck 0Dk 0，b 0）和点Q关于x轴对称（1）求证：直线OP / 直线AQ；（2）过点P作PB / x轴，与直线AQ交于点B，如果APBO，求点P的坐标O12O1234512345xy【答案】（1）详见解析；（2）点P的坐标是【解析】（1）设直线OP和直线AQ的解析式分别为和根据题意，得：点Q的坐标为（1，-m），解得：，直线OP直线AQ；（2）OPAQ，PBOA，APBO，四边形POAQ是菱形，PO=AO，点P的坐标是【总结】考

3、察一次函数待定系数法求解析式，以及结合四边形的综合应用（2013学年宝山区、嘉定区二模第22题）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A（1，0），与y轴交于点B（0，2）.（1）求直线AB的表达式和线段AB的长；1212ABCD（2）将绕点O逆时针旋转后，点A落到点C处，点B落到点D处，求线段AB上横坐标为a的点E在线段CD上的对应点1212ABCD【难度】【答案】（1）直线的解析式为，；（2）点【解析】（1）将点（1，0），点（0，2）代入直线，可求得：，直线的解析式为，线段=；（2）E为线段上横坐标a的点，第一象限的E，根据题意F为E绕点O逆时针旋转后的对应点，第二象限的F的坐标为点

4、【总结】考察一次函数待定系数法求解析式，以及结合几何图形的综合应用模块五：二次函数模块五：二次函数知识精讲知识精讲二次函数一般地，解析式形如（其中a、b、c是常数，且）的函数叫做二次函数二次函数的定义域为一切实数而在具体问题中，函数的定义域根据实际意义来确定二次函数的图像1、的图像：在平面直角坐标系xOy中，按照下列步骤画二次函数的图像（1）列表：取自变量x的一些值，计算相应的函数值y，如下表所示：x-2-101241014（2）描点：分别以所取的x的值和相应的函数值y作为点的横坐标和纵坐标，描出这些坐标所对应的各点，如图1所示112341234xyxyOO1212-2-1-2-1图1图2（3

5、）连线：用光滑的曲线把所描出的这些点顺次联结起来，得到函数的图像，如图2所示二次函数的图像是一条曲线，分别向左上方和右上方无限伸展它属于一类特殊的曲线，这类曲线称为抛物线二次函数的图像就称为抛物线2、二次函数的图像：抛物线（）的对称轴是y轴，即直线x = 0；顶点是原点当时，抛物线开口向上，顶点为最低点；当时，抛物线开口向下，顶点为最高点3、二次函数的图像：一般地，二次函数的图像是抛物线，称为抛物线，它可以通过将抛物线向上（时）或向下（时）平移个单位得到抛物线（其中a、c是常数，且）的对称轴是y轴，即直线x = 0；顶点坐标是（0，c）抛物线的开口方向由a所取值的符号决定，当时，开口向上，顶点

6、是抛物线的最低点；当时，开口向下，顶点是抛物线的最高点4、二次函数的图像：一般地，二次函数的图像是抛物线，称为抛物线，它可以通过将抛物线向左（时）或向右（时）平移个单位得到抛物线（其中a、m是常数，且）的对称轴是过点（-m，0）且平行（或重合）于y轴的直线，即直线x = -m；顶点坐标是（-m，0）当时，开口向上，顶点是抛物线的最低点；当时，开口向下，顶点是抛物线的最高点5、二次函数的图像：二次函数（其中a、m、k是常数，且）的图像即抛物线，可以通过将抛物线进行两次平移得到这两次平移可以是：先向左（时）或向右（时）平移个单位，再向上（时）或向下（时）平移个单位利用图形平移的性质，可知：抛物线（

7、其中a、m、k是常数，且）的对称轴是经过点（，0）且平行于y轴的直线，即直线x =；抛物线的顶点坐标是（，k）抛物线的开口方向由a所取值的符号决定，当时，开口向上，顶点是抛物线的最低点；当时，开口向下，顶点是抛物线的最高点6、二次函数的图像：二次函数的图像称为抛物线，这个函数的解析式就是这条抛物线的表达式任意一个二次函数（其中a、b、c是常数，且）都可以运用配方法，把它的解析式化为的形式对配方得：由此可知：抛物线（其中a、b、c是常数，且）的对称轴是直线，顶点坐标是（，）当时，抛物线开口向上，顶点是抛物线的最低点，抛物线在对称轴（即直线）左侧的部分是下降的，在对称轴右侧的部分是上升的；当时，抛

8、物线开口向下，顶点是抛物线的最高点，抛物线在对称轴（即直线）左侧的部分是上升的，在对称轴右侧的部分是下降的二次函数的解析式的确定1、一般式（）（1）任何二次函数都可以整理成一般式（）的形式；（2）如果已知二次函数的图像上三点的坐标，可用一般式求解二次函数的解析式2、顶点式（）（1）任何二次函数经过配方都可以整理成（）的形式，这叫做二次函数的顶点式，而（，k）为抛物线的顶点坐标；（2）如果已知二次函数的顶点坐标和图像上任意一点的坐标，都可以用顶点式来求解二次函数的解析式；（3）对于任意的二次函数，都可以配方为：的形式3、交点式（）（1）交点式：（），其中x1，x2为二次函数图像与x轴的两个交点的

9、横坐标；（2）已知二次函数与x轴的交点坐标，和图像上任意一点时，可用交点式求解二次函数解析式；（3）已知二次函数与x轴的交点坐标（x1，0）、（x2，0），可知其对称轴为；（4）根据二次函数的对称性可知，对于函数图像上的两点（x1，a）、（x2，a），如果它们有相同的纵坐标，则可知二次函数的对称轴为；（5）对于任意二次函数，当时，即，根据一元二次方程的求根公式可得：、；（6）对称式：（），当抛物线经过点（x1，k）、（x2，k）时，可以用对称式来求解二次函数的解析式二次函数的图像的平移1、几种特殊的二次函数解析式之间的平移关系：向上（向上（）或向下（）平移个单位向上（）或向下（）平移个单位向左

10、（）或向右（）平移个单位向左（）或向右（）平移个单位向左（）或向右（）平移个单位并向上（）或向下（）平移个单位2、二次函数的平移（1）将二次函数左右平移：向左平移m个单位，函数解析式变为；向右平移m个单位，函数解析式变为（2）将二次函数上下平移：向上平移n个单位，函数解析式变为；向下平移n个单位，函数解析式变为（3）通常，在平移前，将二次函数化成的形式，再根据平移的情况写出平移后函数的顶点式，再将顶点式整理成一般式二次函数的图像的对称1、关于x轴对称：关于x轴对称后，得到的解析式是；关于x轴对称后，得到的解析式是2、关于y轴对称：关于y轴对称后，得到的解析式是；关于y轴对称后，得到的解析式是3

11、、关于原点对称：关于原点对称后，得到的解析式是；关于原点对称后，得到的解析式是4、关于顶点对称：关于顶点对称后，得到的解析式是；关于y轴对称后，得到的解析式是5、关于点（p，q）对称：关于点（p，q）对称后，得到的解析式是例题解析例题解析（2015学年黄浦区二模第11题）如果抛物线的开口向上，那么a的取值范围是_【难度】【答案】【解析】开口向上，【总结】考察二次函数图像的开口方向与a的关系（2015学年黄浦区二模第14题）如果抛物线的顶点是坐标轴的原点，那么_【难度】【答案】【解析】顶点是坐标轴的原点，则，【总结】考察二次函数特殊形式的顶点（2014学年宝山区、嘉定区二模第12题）抛物线与y轴

12、的交点为（0，），那么m =_【难度】【答案】【解析】由题意，得：【总结】考察二次函数与轴交点的坐标（2015学年闸北区二模第11题）二次函数的对称轴是直线x =_【难度】【答案】直线【解析】对称轴公式【总结】考察对称轴公式的运用（2015学年长宁区、金山区二模第12题）如果抛物线的对称轴是直线，那么实数a =_【难度】【答案】【解析】对称轴公式【总结】考察对称轴公式的运用（2015学年杨浦区二模第11题）如果函数的图像向左平移2个单位后经过原点，那么m =_【难度】【答案】【解析】向左平移个单位后解析式为，图像经过原点，【总结】考察二次函数平移特征及解析式各项系数与图像的关系（2015学年徐

13、汇区二模第10题）如果将抛物线向左平移1个单位后经过点A（1，m），那么m的值是_【难度】【答案】【解析】向左平移个单位后解析式为把点A（1，m）代入得：【总结】考察二次函数平移特征及求函数上点的坐标（2015学年宝山区、嘉定区二模第11题）如果函数的图像沿轴的正方向平移1个单位后与抛物线重合，那么函数的解析式是_【难度】【答案】【解析】由题意可知，沿着轴负方向平移一个单位，得【总结】考察二次函数图像平移特征（2015学年松江区二模第12题）将抛物线向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，所得的抛物线的解析式为_【难度】【答案】【解析】根据平移特点，左加右减、上加下减，则【总结】考察二次

14、函数图像平移特征（1）（2013学年奉贤区二模第9题）二次函数图象的顶点坐标是_（2）（2013学年杨浦区二模第11题）抛物线的顶点坐标是_【难度】【答案】（1）；（2）【解析】（1）根据顶点式可知：二次函数图象的顶点坐标是；（2），该函数的顶点坐标是【总结】考察二次函数的顶点坐标的求法（2013学年静安区二模第11题）如果抛物线经过A（0，4），B（2，m），那么m的值是_【难度】【答案】【解析】方法1：经过A（0，4），B（2，m），；方法2：的对称轴是直线，A（0，4），B（2，m）关于对称轴是直线对称，两点的纵坐标相等，【总结】考察二次函数的对称性及对称轴的确定（2015学年虹口区二模

15、第12题）若A（，）、B（，）是二次函数图像上的两点，则_（填“”或“”、“=”、“”）【难度】【答案】【解析】反比例函数图像，在每个象限内，随的增大而增大时，【总结】考察反比例函数图像的性质（2014学年金山区二模第11题）已知反比例函数（）的图像经过点（1，2），那么反比例函数的解析式是_【难度】【答案】【解析】把点（1，2）代入，得，【总结】考察反比例函数待定系数法求解析式（2015学年奉贤区二模第13题）直线（）平行于直线且经过点（0，2），那么这条直线的解析式是_【难度】【答案】【解析】直线（）平行于直线，把（0，2）代入，得，【总结】考察一次函数平行，则相等，以及待定系数求函数解析

16、式（2015学年崇明县二模第3题）抛物线的对称轴为（）A直线B直线C直线D直线【难度】【答案】A【解析】，即，对称轴为直线，故选【总结】考察二次函数一般式化成顶点式求对称轴（2014学年长宁区二模第1题）将抛物线向右平移3个单位得到的抛物线表达式是（）ABCD【难度】【答案】A【解析】上加下减、左加右减可知选【总结】考察二次函数平移特征（2013学年浦东新区二模第3题）已知抛物线上的两点A（，）和B（，），如果，那么下列结论一定成立的是（）ABCD【难度】【答案】A【解析】由可知，开口向下，对称轴为直线，对称轴左侧随的增大而增大，【总结】考察二次函数的递增递减性的运用（2014学年崇明县二模第

17、22题）周末，小明骑电动自行车从家里出发到野外郊游从家出发0.5小时后到达甲地，游玩一段时间后按原速前往乙地小明离家1小时20分钟后，妈妈驾车沿相同路线前往乙地如图是他们离家的路程y(km)与小明离家时间x(h)的函数图像已知妈妈驾车的速度是小明骑电动自行车速度的3倍（1）小明骑电动自行车的速度为_千米/小时，在甲地游玩的时间为_小时；（2）小明从家出发多少小时的时候被妈妈追上？此时离家多远？10y(10y(km)x(h)O0.51【答案】（1）；（2）当小明出发小时的时候被妈妈追上，此时他们离家25千米【解析】（1）；（2）解：设小明出发小时的时候被妈妈追上则解得：答：当小明出发小时的时候被

18、妈妈追上，此时他们离家25千米【总结】考察函数与图形结合的实际问题的应用xyABCDO（2015学年宝山区、嘉定区二模第22题）在平面直角坐标系xOy中，过点A（，2）向x轴作垂线，垂足为B，联结AO得到，过边AO中点C的反比例函数的图像与边ABxyABCDO（1）求反比例函数的解析式；（2）求直线CD与x轴的交点坐标【难度】【答案】（1）；（2）直线的解析式为，与轴的交点坐标为【解析】（1）点为线段的中点，将代入中，解得：，；由题意可求，设直线的解析式为，把、代入，得：，解得：，直线的解析式为，与轴的交点坐标为【总结】本题主要考察正、反比例函数的综合应用（2013学年黄浦区二模第22题）已知

19、弹簧在其弹性限度内，它的长度y（厘米）与所挂重物质量x（千克）的关系可表示为的形式，其中k称为弹力系数，测得弹簧A的长度与所挂重物（不超过弹性限度）的关系如图1所示.（1）求弹簧A的弹力系数；（2）假设在其它条件不变的情况下，弹簧的弹力系数k与弹簧的直径d（如图2所示）成正比例.已知弹簧B的直径是弹簧A的1.5倍，且其它条件均与弹簧A相同（包括不挂重物时的长度）.当弹簧B挂一重物后，测得此时弹簧长度为9厘米，求该重物的质量.【难度】yy（厘米）x（千克）81048O图1d图2【答案】（1）弹簧的弹力系数为；（2）重物质量为千克【解析】（1）把，代入，得，解得：，弹簧的弹力系数为；（2）设弹簧弹

20、力系数为，弹簧的直径为，则弹簧的直径为，由题意得：，又弹簧与弹簧不挂重物时的长度相同，弹簧长度与所挂重物质量的关系可表示为把代入，得：此时所挂重物质量为4千克【总结】考察一次函数的性质及在实际问题的应用（2014学年宝山区、嘉定区二模第22题）已知一水池的容积V（公升）与注入水的时间t（分钟）之间开始是一次函数关系，表中记录的是这段时间注入水的时间与水池容积部分对应值注入水的时间t（分钟）01025水池的容积V（公升）100300600（1）求这段时间时V关于t的函数关系式（不需要写出函数的定义域）；（2）从t为25分钟开始，每分钟注入的水量发生变化了，到t为27分钟时，水池的容积为726公升

21、，如果这两分钟中的每分钟注入的水量增长的百分率相同，求这个百分率【难度】【答案】（1）；（2）百分率为【解析】（1）设关于的函数解析式为：，由题意得：，解此方程组得：，所以关于的函数解析式为：；（2）设这个百分率为，由题意得：，解此方程得：，（不符合题意舍去）答：这个百分率为【总结】考察函数在实际问题中的应用，注意认真审题（2013学年闵行区二模第22题）某校九年级二班为开展“迎五一劳动最光荣”的主题班会活动，派小明和小丽两位同学去学校附近的超市购买钢笔作为奖品已知该超市的宝克牌钢笔每支8元，英雄牌钢笔每支4.8元，他们要购买这两种笔共40支小明和小丽根据主题班会活动的设奖情况，决定所购买的宝

22、克牌钢笔的数量要少于英雄牌钢笔的数量的，但又不少于英雄牌钢笔的数量的，如果他们买了宝克牌钢笔x支，买这两种笔共花了y元（1）请写出y（元）关于x（支）的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；（2）请帮助他们计算一下，这两种笔各购买多少支时，所花的钱最少，此时花了多少元？【难度】【答案】（1）（的整数）；（2）当购买英雄牌钢笔支，宝克牌钢笔支时，所花的钱最少，此时花了元【解析】（1）根据题意，得：，即，根据题意，得定义域为，解得定义域为的整数（2）由于一次函数的，所以随的增大而增大，因此，当时花的钱最少，答：当购买英雄牌钢笔支，宝克牌钢笔支时，所花的钱最少，此时花了元【总结】考察函数与实际问题的

23、应用相结合，运用函数的性质解决实际问题（2014学年普陀区二模第21题）已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与x轴交于点A，在第一象限内与反比例函数图像交于点B，BC垂直于x轴，垂足为点C，且OC = 2AO求：xyABCOxyABCO（2）反比例函数的解析式【难度】【答案】（1）；（2）【解析】（1）对于直线，当时，得：，解得：，直线与轴的交点的坐标为，点的坐标为；（2）轴，垂足为点，点的横坐标为点在直线上，点的坐标为设反比例函数解析式，反比例函数图像过点，解得：反比例函数的解析式为【总结】考察正、反比例函数的综合应用课后作业课后作业（2015学年普陀区二模第11题）函数的定义域是_【

24、难度】【答案】【解析】分式分母不为零，【总结】考察分式有意义的条件（2014学年静安区、青浦区二模第10题）函数的定义域是_【难度】【答案】【解析】【总结】考察函数定义域的确定，本题要使二次根式及分式同时有意义（2014学年金山区二模第8题）已知函数，那么_【难度】【答案】【解析】【总结】考察函数值的确定（2015学年普陀区二模第4题）下列问题中，两个变量成正比例关系的是( )A等腰三角形的面积一定，它的底边与底边上的高B等边三角形的面积与它的边长C长方形的长确定，它的周长与宽D长方形的长确定，它的面积与宽【难度】【答案】D【解析】、；，故选【总结】考察正比例函数的概念（2015学年浦东新区二

25、模第3题）下列函数的图像在每一个象限内，y随着x的增大而增大的是( )ABCD【难度】【答案】A【解析】根据函数图像特征，可知选【总结】考察函数图像特征（2014学年松江区二模第10题）已知正比例函数的图像经过点（，3），那么这个函数的解析式为_【难度】【答案】【解析】设，把代入，得，【总结】考察待定系数法求正比例函数解析式（2013学年普陀区二模第10题）一次函数的图像过点（0，3）且与直线平行，那么函数解析式是_【难度】【答案】【解析】一次函数直线平行，设，把代入得【总结】直线平行，则值相等（2015学年静安区、青浦区二模第3题）已知在函数，其中常数、，那么这个函数的图像不经过的象限是(

26、)A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【难度】【答案】B【解析】一次函数，经过一、三象限，又经过四象限，故选【总结】考察一次函数图像的性质（2014学年崇明县二模第4题）已知点A（，）和点B（，）是直线上的两个点，如果，那么与的大小关系正确的是（）ABCD无法判断【难度】【答案】B【解析】，随的增大而增大，故选【总结】考察一次函数图像的性质（2014学年徐汇区二模第16题）如果二次函数图像的顶点在x轴上，那么m的值是_【难度】【答案】【解析】，即，顶点顶点在轴上，【总结】考察二次函数顶点坐标的确定（2014学年闵行区二模第12题）将直线向下平移2个单位，那么所得到的直线表达式为_【难度】【

27、答案】【解析】根据上加下减、左加右减，可得：【总结】考察函数平移的特征（2014学年杨浦区二模第11题）如果将抛物线平移到抛物线的位置，那么平移的方向和距离分别是_【难度】【答案】向右平移个单位【解析】，根据上加下减、左加右减可知：将向右平移个单位得到【总结】考察函数的平移特征（2013学年金山区二模第21题）某市为鼓励居民节约用水，制定了分阶梯收费制度，按每年用水量分成两个阶梯，即年用水量不超过200立方米的部分和200立方米以上的部分按不同的价格收取水费，每户居民每年的水费y（元）和用水量x（立方米）的如图（1）和图（2）所示：（1）如果小张家年用水量为160立方米，那么小王家的年水费是多少？xyxy图（1xyxy图（1）图（2）2007002007003001200【难度】【答案】（1）元；（2）立方米【解析】（1）当时，水价与水费成正比例函数关系，设根据图像，把代入，解得：，把代入：（元）答：小王家的年水费是元（2）当时，水价与水