【八年级数学讲义】二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与性质-学生讲义

1、智适应教育学生辅导讲义年 级： 课 时 数：3 班 主 任：学员姓名： 辅导科目：数学 学科教师： 授课类型T 立足课本的形式及性质C 掌握二次函数的性质；T 熟练运用二次函数的图象和性质解决简单的实际问题，深刻理解数学建模思想以及数形结合的思想授课日期时段教学内容【学习目标】1. 会用描点法画二次函数的图象；会用配方法将二次函数的解析式写成的形式；2.通过图象能熟练地掌握二次函数的性质；3.经历探索与的图象及性质紧密联系的过程，能运用二次函数的图象和性质解决简单的实际问题，深刻理解数学建模思想以及数形结合的思想【要点梳理】要点一、二次函数与之间的相互关系顶点式化成一般式从函数解析式我们可以直

2、接得到抛物线的顶点(h，k)，所以我们称为顶点式，将顶点式去括号，合并同类项就可化成一般式2.一般式化成顶点式 对照，可知， 抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是要点诠释：1抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是，可以当作公式加以记忆和运用2求抛物线的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用要点二、二次函数的图象的画法1.一般方法：列表、描点、连线；2.简易画法：五点定形法. 其步骤为： (1)先根据函数解析式，求出顶点坐标和对称轴，在直角坐标系中描出顶点M，并用虚线画出对称轴 (2)求抛物线与坐标轴的交点，当抛物线与x轴有两个交点时，

3、描出这两个交点A、B及抛物线与y轴的交点C，再找到点C关于对称轴的对称点D，将A、B、C、D及M这五个点按从左到右的顺序用平滑曲线连结起来要点诠释：当抛物线与x轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y轴的交点C及对称点D，由C、M、D三点可粗略地画出二次函数图象的草图；如果需要画出比较精确的图象，可再描出一对对称点A、B，然后顺次用平滑曲线连结五点，画出二次函数的图象，要点三、二次函数的图象与性1.二次函数图象与性质函数二次函数（a、b、c为常数，a0）图象开口方向向上向下对称轴直线直线顶点坐标增减性在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而增大简记：左

4、减右增在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而减小简记：左增右减最大(小)值抛物线有最低点，当时，y有最小值，抛物线有最高点，当时，y有最大值， 2.二次函数图象的特征与a、b、c及b2-4ac的符号之间的关系项目字母字母的符号图象的特征aa0开口向上a0开口向下bab0(a，b同号)对称轴在y轴左侧ab0(a，b异号)对称轴在y轴右侧cc=0图象过原点c0与y轴正半轴相交c0与y轴负半轴相交b2-4acb2-4ac=0与x轴有唯一交点b2-4ac0与x轴有两个交点b2-4ac0与x轴没有交点要点四、求二次函数的最大（小）值的方法如果自变量的取值范围是

5、全体实数，那么函数在顶点处取得最大（或最小）值，即当时，要点诠释：如果自变量的取值范围是x1xx2，那么首先要看是否在自变量的取值范围x1xx2内，若在此范围内，则当时，若不在此范围内，则需要考虑函数在x1xx2范围内的增减性，如果在此范围内，y随x的增大而增大，则当xx2时，；当xx1时，如果在此范围内，y随x的增大而减小，则当xx1时，；当xx2时，如果在此范围内，y值有增有减，则需考察xx1，xx2，时y值的情况类型一、二次函数的图象与性质一基础例题1求抛物线的对称轴和顶点坐标【变式】把一般式化为顶点式（1）写出其开口方向、对称轴和顶点D的坐标；（2）分别求出它与y轴的交点C，与x轴的交

6、点A、B的坐标.2如图所示，抛物线的对称轴是x1，与x轴交于A、B两点，点B的坐标为(，0)，则点A的坐标是_提高例题1. 抛物线与y轴交于(0，3)点： (1)求出m的值并画出这条抛物线； (2)求它与x轴的交点和抛物线顶点的坐标； (3)x取什么值时，抛物线在x轴上方？ (4)x取什么值时，y的值随x值的增大而减小？ 举一反三：【变式】若二次函数（）的图象如图所示，则的值是 类型二、二次函数的最值一基础例题2. 分别在下列范围内求函数的最大值或最小值 (1)0 x2； (2)2x3 类型三、二次函数性质的综合应用3. 某居民小区要在一块一边靠墙(墙长15m)的空地上修建一个矩形花园ABCD

7、，花园的一边靠墙，另三边用总长为40m的栅栏围成，如图所示，若设花园的BC边长为x(m)，花园的面积为y(m2)： (1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (2)根据(1)中求得的函数关系式，画出函数图象，并结合题意判断当x取何值时，花园面积最大，最大面积为多少？4. 一条抛物线经过A（2，0）和B（6，0），最高点C的纵坐标是1（1）求这条抛物线的解析式，并用描点法画出抛物线；（2）设抛物线的对称轴与轴的交点为D，抛物线与y轴的交点为E，请你在抛物线上另找一点P(除点A、B、C、E外)，先求点C、A、E、P分别到点D的距离，再求这些点分别到直线的距离；(3)观察(2)的计

8、算结果，你发现这条抛物线上的点具有何种规律?请用文字写出这个规律举一反三：【变式】已知二次函数（其中a0，b0，c0；b0；c0；a+b+c=0其中正确的结论的序号是_ ； 第问：给出四个结论：abc0；a+c=1；a1，其中正确的结论的序号是_ _.12已知二次函数y=x2-2x-3的图象与x轴交于点A、B两点，在x轴上方的抛物线上有一点C，且ABC的面积等于10，则C点的坐标为_ _.三、解答题13（1）用配方法把二次函数变成的形式； （2）在直角坐标系中画出的图象； （3）若，是函数图象上的两点，且，请比较、的大小关系14. 如图所示，抛物线与x轴相交于点A、B，且过点C（5，4）（1）

9、求a的值和该抛物线顶点P的坐标；（2）请你设计一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在第二象限，并写出平移后抛物线的解析式15.已知抛物线： (1)求抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标； (2)画函数图象，并根据图象说出x取何值时，y随x的增大而增大？x取何值时，y随x的增大而减小？函数y有最大值还是最小值？最值为多少？一、选择题1. 定义为函数的特征数，下面给出特征数为的函数的一些结 论：当时，函数图象的顶点坐标是；当时，函数图象截x轴所得线段的长度大于；当时，函数在时，y随x的增大而减小；当m0时，函数图象经过同一个点其中正确的结论有（ ）A B C D2已知抛物线过点，四点，则与的大小关

10、系是（ ） A B C D不能确定3小强从如图所示的二次函数的图象中，观察得出了下面五条信息：；你认为其中信息正确的有（ ）A2个 B3个 C4个 D5个4已知二次函数中，其函数y与自变量x之间的部分对应值如下表所示：x01234y41014点A(x1，y1)，B(x2，y2)在函数的图象上，则当1x12，3x24时，y1与y2的大小关系正确的是( ) Ay1y2 By1y2 Cy1y2 Dy1y25如图所示，平面直角坐标系中，两条抛物线有相同的对称轴，则下列关系正确的是( ) Amn，kh Bmn，kh Cmn，kh Dmn，kh 第5题 第6题6已知二次函数的图象(0 x3)如图所示，关于

11、该函数在自变量取值范围内，下列说法正确的是( ) A有最小值0，有最大值3 B有最小值-1，有最大值0 C有最小值-1，有最大值3 D有最小值-1，无最大值二、填空题7把抛物线的图象先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得的图象的解析式是，则a+b+c_8如图所示，是二次函数在平面直角坐标系中的图象根据图形判断c0；a+b+c0；2a-b0；中正确的是_（填写序号）9已知点(1，4)、(3，4)在二次函数的图象上，则此二次函数图象的顶点坐标是_10抛物线y=x2+bx+c与x轴的正半轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且线段AB的长为1，ABC的面积为1，则b的值是_.11抛物线y=x2+kx-2k通过一个定点，这个定点的坐标是_ _.12已知抛物线y=x2+x+b2经过点，则y1的值是_ _.三、解答题13二次函数的图象经过点，（1）求此二次函数的关系式；（2）求此二次函数图象的顶点坐标；（3）填空：把二次函数的图象沿坐标轴方向最少平移 个单位，使得该图象的顶点在原点14如图，已知抛物线的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴与x轴交于点D. 点M从O点出发，以每秒1个单位长度的速度向B运动，过M作x轴的垂线，交抛物线于点P，交BC于Q.(1)求点B和点C的坐标；(2)设当点M