第六章IIR数字滤波器的理论与设计

1、第六章IIR DF无限长数字滤波器绪论 许多信息处理过程，如信号的过滤，检测、预测等都要用到滤波器，数字滤波器是数字信号处理中使用得最广泛的一种线性系统，是数字信号处理的重要基础。 数字滤波器的功能（本质）是将一组输入的数字序列通过一定的运算后转变为另一组输出的数字序列。实现方法主要有两种：数字信号处理硬件和计算机软件。 递归系统 IIR 非递归系统 FIR 高通 低通 带通 带阻维纳滤波器，卡尔曼滤波器，自适应滤波器等最佳滤波器一、DF分类：从功能上分：从网络结构上分：数字滤波器的数学描述：1)差分方程2)系统函数二、数字滤波器的设计设计内容1）按照实际需要确定滤波器的性能指标2）用一个因果

2、稳定系统的 H(z) 或 h(n) 去逼近这个性能要求3）用一个有限精度的运算去实现这个系统函数包括: 选择运算结构：如级联型、并联型、卷积型、频率采样型以及快速卷积（FFT）型等; 选择合适的字长和有效数字的处理方法等。 数字滤波器的设计就是按照给定的滤波处理系统的性能要求，设计一个因果、稳定的数字系统去逼近这个性能要求；并且用一个有限精度的运算去实现这个系统。理想滤波器的幅度频率特性在通带内是矩形特性，阻带内为零理想滤波器的冲击响应为非因果、无穷延伸的。理想滤波器的群延时为常数（即所有正弦波分量都有相同的相位延时，输出波形不变）。h(t)t|H(j)| c- c理想低通滤波器特性：0三、滤

3、波器的设计指标称c为3dB通带截止频率。 归一化与频率变换 采用归一化参数设计结果具有普遍性计算方便归一化含义：指将待处理的一批数据对其中的最大值归一化，即所有的数据除以最大值。0称c为3dB通带截止频率。IIR滤波器性能一般用系统频率特性来说明，具体应用以下2个参数：平方幅度函数：群延迟：它是表示每个频率分量的延迟情况；当其为常数时，就是表示每个频率分量的延迟相同。IIR滤波器性能一般用系统频率特性通带过渡带阻带模拟低通滤波器特性：6.1.1模拟滤波器设计 IIR滤波器的设计是基于模拟滤波器的成熟技术而完成的一般模拟滤波器的设计是要找到一个比较简单的连续函数来逼近理想滤波器特性（通常是幅度频

4、率特性），逼近误差满足所要求的指标。介绍两种常用的滤波器的设计方法 ：巴特沃思(Butterworth)滤波器切比雪夫(Chebyshev)滤波器6 .1 IIR滤波器的设计概述 1、模拟滤波器的设计指标:由于 所以 其中， 是AF的系统函数， 是AF的频响， 是AF的幅频特性。2 . 从幅度平方函数 确定模拟滤波器的系统函数 H(s) 分解 得到零极点，将左半面的极点 归于 ，对称的零点任一半归 。若要求最小相移时，左半面的零点归 （全部零极点位于单位圆内）。 例 由确定系统函数 。解： 极点为 零点为（为二阶）为 的零极点，由 ，可确定出 ，所以 。因此选极点-6，-7，一对虚轴零点 1、

5、幅度平方函数N 为滤波器的阶数 ； 为截止频率。3 巴特沃思Butterworth低通滤波器 2、幅频特性1.00N=2N=4N=8上式的台劳级数展开为 ： =0处函数对2Nl阶导数都等于零曲线在 =0附近是最“平坦”,巴特沃思滤波器又叫做“最大平坦滤波器”由于 巴特沃思滤波器零点全部在S= 处3、巴特沃斯filter的系统函数在有限S平面只有极点，是全极点型，它的极点为：这些极点也是呈象限对称的。而且分布在巴特沃斯圆上（半径为 ），共有2N点。例如，N=2时，4N=3时，取 左半平面的极点为 的极点，这样极点仅有N个，即其中，常数 由 的低频特性决定。则例：导出三阶巴特沃斯LF的系统函数，设

6、解：其极点为:取前三个极点，则有4、归一化的系统函数 如果将系统函数的S, 用滤波器的截止频率去除，这样对应的截止频率变为1，即所谓归一化，相应的系统函数称作归一化的系统函数记作 例如，对于巴特沃斯filter 三、归一化原型filter的设计数据 不论哪种形式（巴特沃斯，切比雪夫）的filter，都有自己的归一化原型filter，而且它们都有现成的数据表可查和设计公式 例如，归一化巴特沃斯原型filter的系统函数（这里的S即 ）为 * 由归一化系统函数 得 ，只需将S代入 即可。切比雪夫（chebyshev）滤波器 (切比雪夫多项式逼近)特点：误差值在规定的频段上等幅变化。 巴特沃兹滤波器

7、在通带内幅度特性是单调下降的，如果阶次一定，则在靠近截止频率处，幅度下降很多，或者说，为了使通带内的衰减足够小，需要的阶次（N）很高. 切比雪夫滤波器的 在通带范围内是等幅起伏的，所以同样的通带衰减，其阶数较巴特沃兹滤波器要小。 （1）以模拟滤波器函数为基础的变换法； （2）直接设计法：根据零、极点对系统特性的影响，调整零极点位置满足系统特性。然后由零、极点值求得得H(z)。 （3）最优化设计法：（计算机辅助设计）在某种最小化误差准则下，建立差分方程系数 a k、b i 对理想特性的逼近方程，使用迭代方法解方程组得到最佳逼近系统。由于此方法计算量大，需要借助于计算机进行设计。6.1.2 IIR

8、 数字滤波器的设计方法DF指标转换相应的AF指标设计步骤（1）将DF的技术指标转换成AF的技术指标；（2）按转换后技术指标、设计模拟低通filter的（3）将 （4）如果不是低通，则必须先将其转换成低通 AF的技术指标。 利用模拟滤波器设计数字滤波器，就是从已知的模拟滤波器传递函数Ha(s)设计数字渡波器传递函数H（z），这种映射变换应遵循两个基本原则：利用模拟滤波器理论设计数字滤波器，也就是使数字滤波器能模仿模拟滤波的特性，这种模仿可从时域和频域两个角度出发。第一：因果稳定的模拟滤波器转换成数字滤波器，仍是因果稳定的。即S平面的左半平面映射到Z平面的单位圆内。第二：数字滤波器的频率响应，应模仿模拟滤波器的频率响应。即S平面的虚轴映射到Z平面的单位圆上，相应的频率之间成线性关系。将系统函数从S平面转换到Z平面，工程上最常用的是：冲激响应不变法和双线性变换法最优化设