例谈参考资料特殊化思想的解题功能

1、例谈特殊化思想的解题功能江苏省海门师范学校（226100）何军事物的共性寓于个性之中， 特殊化思想就是从特殊的、 具体的情况出发， 去探求问题的一般性结论和规律，其特点是以退为进，先退后进，退中求进，其作用是暗示解题方向，寻找解题途径，以至直接解答问题。在教学中，可以从以下几个方面开发特殊化思想的解题功能。1考察特殊情形直接求出解答运用某些条件去求特殊元素， 或运用某些元素的特殊情形，可迅速、直接地求解。例1证明： cn0c1ncn2cnn2n分析与解：在二项式定理(ab)ncn0 anc1n a n 1bcn2 a n 2b 2cnn bn中， a、b 取特殊值 1，即有： cn0c1ncn

2、2cnn2n例 2已知存在整数 a,b, c 使等式 ( xa)( x2003)1( xb)( xc) 对任意实数 x 都成立，求 2abc 的值。分析与解：若按常规方法来解此题，有无从下手之感，如果用特殊化方法，考察特殊情形，分别令 x a,2003, b, c 来尝试，则问题可以直接求出解答。令 x a ，则 (aa)(a 2003) 1(a b)( a c) 所以(ab)(ac)1因为 a, b, c 为整数，所以 ab, ac 也为整数，故ab1或 ab1ac1ac1所以 2a b c2 或 2a bc2 ，从而可得 2abc 22挖掘特殊因素否定虚假命题有些命题的条件和结论看似美观，

3、似乎是真命题， 但形式上美好的命题未必都是真的，可以挖掘特殊命题中的特殊因素，否定虚假命题。1例 3已知： a,b,c 是三角形的边，若abc ，则 a 2b2c 2 。评析：众所周知，abc 这个不等式对于任意三角形都成立。但是在以a为斜边的直角三角形中，只有a 2b2c2 成立，而 a2b 2c2 不成立，可见该命题是个假命题。3优选特殊元素筛选正确答案解答选择题和填空题时， 如果注意优选特殊元素， 筛选正确答案， 往往可以达到事半功倍的效果。例 4已知实数 a,b,c 满足a 2bc8a70）bc bc6a6那么 a 的取值范围是（0（A） 0,7（B）1,9（C）,1 9,（D）,分析

4、与解：取与选择支有关的特殊值a0 代入已知条件，得bc7,b2c2bc6 b 2c213 ，这就表明 a0 不属于取值范围。 这样，就可以排除选择支（ A），（C），（ D）。所以选择支（ B）必为正确答案。4 考虑特殊对象探求问题定值对于结论未知的探索性证明题，可以先考虑特殊对象，探求问题定值。例 5若从正方形 ABCD 的外接圆的 AD 上任意一点 P 向四个顶点引连线（如图），则（ PA+PC） PB 为一定值。P分析与解：这里（ PA+PC） PB 为定值，AD是多少呢？这时对于点P 考虑特殊位置若点 P 在点 A 的位置上，则有（PA+PC） PB=2 ，（下面略）。BC例 6化简

5、cos2 (A15 )cos2 (A -15 ) - cos30 cos2A 后得 ()（A）1（B）-1（ C）12（D）-12分析与解：由选择支知道原式化简后是一个与A 无关的定值 ,所以令 A= 152232则原式31，A 正确.。1225解决特殊问题暗示解题思路当问题较复杂或较模糊时， 可以从特殊的情形入手先提出一个更简单、 更具体的新问题，通过新问题的解决来促进原问题的解决。例 7已知 xi0(i1,2, , n) ，且 x1x2 xn 1，求证： 1x1x2xnn分析与解：先解决特殊问题，n1时结论成立。n2 时，因为 x10 ， x20 ， x1x21 ，则 2 x1 x2x1

6、x2121x1x2x1x22 x1 x22于是可得下面的证法：由 0 2 xi x jxix j，有0 2xi x j(n 1)( x1x2xn )1 ij nnn2xkxi x jn 即 1 12xknk11 ij nk1 1x1x2xnn6探索特殊规律猜想一般结论当命题中的规律不明显时， 可以从特例入手， 探索特殊规律，猜想一般结论。例 8数列 an 中，已知 a11， an 1ann1 ，求数列的通项 an 。a22分析与解：这是一个结构比较复杂的求数列的通项公式的问题， 不妨先考察数列的前几项，探索特殊规律，有a1 1 ， a21 ， a31 ， a41 ， a51 。371531不难

7、发观，数列的前五项都可以用分数表示，它们的分子都是1，分母分别是2 1，221， 231， 241， 251，由此猜想一般结论，数列的通项公式可能是 an1（下面略）。2n17运用特殊关系简化运算过程有些问题，通过挖掘题目中的特殊关系，则可避免分类讨论，或回避繁琐运3算，简化运算过程。例 9设0 x 1，a 0，a，比较 log a 1x 与 log a 1x 的大小。1分析与解：这道题若作差或作商比较都有较强的变换技巧，要么可以分类讨论，但如果注意到加法运算的符号法则这一特殊关系在比较绝对值大小的特殊作用，可得非常简捷的解法,因为 log a 1 x log a (1 x) log a (1

8、 x 2 ) ，又 log a 1 x 与 log a (1 x) 异号，与 log a (1 x 2 ) 同号，所以 log a 1 x log a 1 x8关注特殊视角转化等价问题一些看似繁杂的问题，可以根据题目特点，挖掘特殊功能，转换问题视角，将原问题转化为简单、易行的等价问题。例 10解方程x32 3x23x3 1 0分析与解：乍一看，似乎无从下手，可以转变观察问题的角度，关注特殊视角，反客为主，将常数 3视为变数，令 3a ， 原 方 程 成 为x32ax 2a 2 xa10即xa2(2x 21)a x31 0因 x0 ，解关于 a 的二次方程得a 1x 或 ax 2x1x由 a1 x 得x11a由 ax2x 1 得 x2(a 1) x 1