机械工程控制基础课件1第五章系统的稳定性-

1、第五章 系统的稳定性 系统首要条件:系统稳定。分析系统稳定性是经典控制理论的重要组成部分，经典控制理论对于判定一个定常线性系统是否稳定提供了多种方法。着重介绍几种定常线性系统的稳定性判据及其使用，以及提高系统稳定性的方法。1.介绍线性系统稳定性的初步概念。2.介绍Routh与Hurwitz判断；3.阐述Nyquist稳定判据，即如何通过系统的开环频率特性的Nyquist图来判断相应的闭环系统的稳定性。4.介绍Bode判据，进而讨论系统相对稳定性的问题。 10/13/2022机械工程第五章 系统的稳定性 系统首要条件:系统稳定。分析系统稳5.1 系统稳定性的初步概念5.1.1 系统不稳定现象的发

2、生 如图5.1.1所示的液压位置随动系统，从油源来的压力为Ps的压力油，经伺服阀和两条软管以流量 进入或流出油缸，阀芯相对于阀体获得输入位移 后，活塞输出位移 ，此输出再经活塞与阀体的刚性联系，即经反馈联系B反馈到阀体上，从而改变了阀芯与阀体的相对位移量，这样就组成一个闭环系统，它保证活塞跟随阀芯的运动而运动。10/13/2022机械工程5.1 系统稳定性的初步概念5.1.1 系统不稳定现象10/13/2022机械工程10/11/2022机械工程 阀芯受外力右移，即输入位移 后，控制口2、4打开，控制口3，1关闭，压力油进入左缸，右缸接通回油，活塞向右移动。当外力去掉后，阀芯停止运动,活塞滞后

3、于阀芯,继续右移,直至控制口2关闭，回到原来的平衡位置。 因移动的活塞有惯性，在伺服阀的平衡位置，活塞仍不能停止，继续右移。因而使控制口1，3打开，2，4关闭，压力油反过来进入右缸，左缸接能回油，这使活塞反向（向左）移动，并带动阀体左移，直至阀体与阀芯回复到原来的平衡位置。 10/13/2022机械工程 阀芯受外力右移，即输入位移 后，控制口2、4打开，控制 但活塞因惯性继续左移，使油路又反向这样，阀芯在原位不动的情况下，活塞与阀体相对阀芯反复振荡。由于所选择的系统各参数（如质量、阻尼和弹性等）不同，当系统是线性系统时，这种振荡可能是衰减的（减幅的），也可能是发散的（增幅的）或等幅的，如图5.

4、1.2（a）、（b）、（c）所示。当这种自由振荡是增幅振荡时，就称系统是不稳定的。10/13/2022机械工程 但活塞因惯性继续左移，使油路又反向这样，阀芯在原位10/13/2022机械工程10/11/2022机械工程系统的不稳定现象值得注意几点：首先，线性系统不稳定现象发生与否，取决于系统内部条件，而与输入无关。如上例，系统在输入撤消后，从偏离平衡位置所处的初始状态出发，因系统本身的固有特性而产生振动的线性系统的稳定性只取决于系统本身的结构与参数，而与输入无关（非线性系统的稳定性是与输入有关的）。其次，系统发生不稳定现象必有适当的反馈作用。如原系统是稳定的，那么加入反馈后就形成为闭环系统，可

5、能产生不稳定；如原系统是不稳定的，加入反馈后就形成为闭环系统，更可能不稳定。10/13/2022机械工程系统的不稳定现象值得注意几点：10/11/2022机械工程10/13/2022机械工程10/11/2022机械工程 当输入 撤消后，此闭环系统就以初始偏差 作为进一步运动的信号，产生输出 ，而反馈联系不断将输出 反馈回来，从输入 中不断减去（或加上） 。若反馈的结果，削弱了 的作用（即负反馈），则使 越来越小，系统最终趋于稳定；若反馈的结果，加强了 的作用（即正反馈），则使 越来越大，此时，此闭环系统是否稳定，则视 是收敛还是发散而定。 10/13/2022机械工程 当输入 撤消后，此闭环系

6、统就以初始偏差 第三，控制理论中所讨论的稳定性其实都是指自由振荡下的稳定性。 即讨论输入为零，系统仅存在有初始状态不为零时的稳定性，即讨论系统自由振荡是收敛的还是发散的； 或者：讨论系统初始状态为零时，系统脉冲响应是收敛的还是发散的。 至于用激振或加外力方法施以强迫振动或运动，因而造成系统共振（或称谐振）或偏离平衡位置越来越远，这不是控制理论所要讨论的稳定性。 10/13/2022机械工程 第三，控制理论中所讨论的稳定性其实都是指自由振荡下的稳 5.1.2 稳定的定义和条件 若系统在初始状态下（不论是无输入时的初态，还是输入引起的初态，还是两者之和）的时间响应随着时间的推移，逐渐衰减并趋向于零

7、（即回到平衡位置），则称该系统为稳定的； 反之，若在初始状态影响下，由它所引起的系统的时间响应随时间的推移而发散（即偏离平衡位置越来越远），则称该系统为不稳定的。 根据上述稳定性的定义，可以用下述两种方法，分别求得定常线性系统稳定性条件。 10/13/2022机械工程 5.1.2 稳定的定义和条件10/11/2022机械工程方法（1）：设定常线性系统的微分方程为： 式中， 若记 并对式（5.1.1）作Laplace变换，得 式中 为系统传递函数。（5.1.1） （5.1.2） 10/13/2022机械工程方法（1）：设定常线性系统的微分方程为：（5.1.1） （5 是与初始条件 输出 及其各阶

8、导数在输入作用前 时刻的值，即系统在输入作用前的初始状态有关的多项式。研究初始状态 影响下系统的时间响应时，可在式（5.1.2）中取 得到这一时间响应（即零输入的响应）： 若 为系统特征方程 的根（或称系统的特征根，亦即系统的传递函数的极点），当 （ ）各不相同时，有：10/13/2022机械工程 是与初始条件 输出 及其各阶导数 式中， 由上可知，若系统所有特征根 的实部均为负值，即Resi0，表示LF按顺时针方向包围原点N次； N0，表示LF按逆时针方向包围原点N次； N=0，表示LF不包围原点。10/13/2022机械工程F（s）平面上的轨迹LF从B点开始，绕原点顺时针转了一圈 应用幅角

9、原理不能单独确定出包围Ls内的函数F（s）的零点数Z或其极点数P，而仅能确定他们之间的差值（Z-P）。 的极点就等于F（s）函数的极点，因此，若已知系统的 ，就可直接求得P。若又能在F(s)平面上确定出LF曲线包围原点的圈数N，则可由Z=N+P计算出在s平面上包围于封闭曲线LS中的F(s)的零点数Z，这些零点也就是 相应的极点。 曲线LSLF的形状对于N，Z，P的数值是没有关系的，即LF绕原点的圈数N仅取决于LS所包围的F(s)的零点和极点的数目，而与LS的形状无关。LF,LS也称为Nyquist轨迹。 10/13/2022机械工程 应用幅角原理不能单独确定出包围Ls内的函数F（s）的零点5.

10、3.2 Nyquist稳定判据 定常线性系统稳定的充要条件是，其闭环系统的特征方程1+G(s)H(s)=0的全部根具有负实部，即在s平面的右半平面系统没有极点，亦即F(s)在s平面的右半平面没有零点（Z=0）。 10/13/2022机械工程5.3.2 Nyquist稳定判据 定常线10/13/2022机械工程10/11/2022机械工程1、 s平面上的Nyquist轨迹 s平面上的Nyquist轨迹如图5.3.3（a）所示。 设在s平面上有封闭曲线LS，其中(1)，(2)两段是由 到 的整个虚轴组成的，(3)段是由半径R趋于无穷大的圆弧组成的。因此，(1)，(2)，(3)段就封闭地包围了整个s

11、平面的右半平面，由于在应用幅角原理时，LS不能通过F(s)函数的任何极点。所以当函数F(s)有若干个极点处于s平面的虚轴或原点上时，LS应被认为是以这些点为圆心，以无穷小为半径的圆弧按反时针方向从这些点的右侧绕过，如小段圆弧(4)与(4)所示。由于(4)，(4)紧贴极点绕过，因此，可以认为LS曲线包围了整个s平面的右半平面。这一LS封闭曲线即为s平面上的Nuquist轨迹。当 由 变到 时，轨迹的方向为顺时针方向。10/13/2022机械工程1、 s平面上的Nyquist轨迹10/11/2022机2、 F平面上的Nyquist轨迹 F平面上的Nyquist轨迹（F平面即F(s)平面的简定）按F

12、(s)函数作出。若其图形如图5.3.3(b)所示，则其曲线不包围原点，即N=0，说明相应的Ls曲线所包围的F(s)函数的极点数与零点数相等，故其差值为零（N=Z-P=0）。 注意：这里所说的Z，P是指包围于图5.3.3(a)上Ls曲线中的F(s)位于s平面的右半平面的零、极点数，不是指F(s)函数所有的零点数和极点数。由前述可知，系统稳定的充要条件是Z=0。判别Z=0，不是在s平面上进行，而是转化到F平面上进行。 10/13/2022机械工程2、 F平面上的Nyquist轨迹10/11/2022机 由F平面上的Nyquist轨迹LF可知，若它包围原点N圈，则可知N。另外，由已知的F(s)函数，

13、可以先求得F(s)位于s平面的右半平面的极点数P，从而可求得Z=N+P，为保证系统稳定，应使Z=0，即 N=Z-P=-P 也就是，当F平面的Nyquist轨迹LF逆时针包围原点的圈数N等于F(s)函数位于s平面的右半平面的极点数P时，系统稳定。 10/13/2022机械工程 由F平面上的Nyquist轨迹LF可知，若它包围原点3、 GH平面上的Nyquist轨迹GH平面（即G(s)H(s)平面的简写）上的情况与此相似。因 ，即 GH平面只不过是将F平面的虚轴右移了1个单位之后所构成的新复平面。GH平面上的（-1,j0）点就是F平面上的原点。所以，在GH平面上，包围点（-1,j0）的圈数N，就等

14、于在F平在上LF包围原点的圈数N，其关系如图5.3.3(b)，(c)所示。GH平面的Nyquist轨迹，如图5.3.3(s)所示，它的相应的s平面的Nyquist轨迹如图5.3.3(a)所示。 10/13/2022机械工程3、 GH平面上的Nyquist轨迹10/11/2022由于任何物理上可实现的开环系统，其的分母的阶次n必不小于分于的阶系，故有： 和 当然， ，均指其模而言。所以，s平面上半径为 的半圆映射到GH平面上为原点或实轴上的一点；s平面上的原点映射到GH平面上为半径 的半圆弧（当分母含有积分环节时）。 10/13/2022机械工程由于任何物理上可实现的开环系统，其的分母的阶10/

15、11/20 因为LS表示：s平面上 中实部 为零， 由 变到 时s的轨迹（即虚轴），再加上半径为 的半圆弧；而s平面上半径为 的半圆弧映射到GH平面上只是一个点，它对于 包围某点的情况无影响，所以 的绕行情况只需考虑s平面的 轴映射到GH平面上的开环Nyquist轨迹 即可。10/13/2022机械工程 因为LS表示：s平面上 中实部 为 GH平面上系统稳定的充要条件可表述为： 若当GH平面上 ，即 的Nyquist轨迹逆时针包围点（-1,j0）的圈数N，等于 在s平面的右半平面的极点数P时，则闭环系统稳定，因为此时N=-P，由N=Z-P知Z=0。 这一充要条件也可表述为：当 由 到 时，若G

16、H平面上的开环频率特性 即 顺时针方向包围点（-1,j0）P圈（P为 在s平面的右半平面的极点数P ），则闭环系统稳定。 这一表述就是Nyquist稳定判据。10/13/2022机械工程 GH平面上系统稳定的充要条件可表述为：10/11/ 在应用Nyquist判据时，首先要知道系统的 在s平面上的右半平面的极点数P，然后分下述两种情况来判别： （1）当P=0和 从 变到 时，若GH平面上的 不包围点（-1,j0），即N=0，则闭环系统稳定；反之，则闭环系统不稳定。 （2）当 和 从 变到 时，若GH平面上的逆时针包围点（-1,j0）P圈，则闭环系统稳定；若逆时针包围点（-1,j0）的圈数不到P

17、圈（表示ZP），则闭环系统不稳定。10/13/2022机械工程 在应用Nyquist判据时，首先要知道系统的 5.3.3 开环含有积分环节时的Nyquist 判据 当系统中串联有积分环节时，开环传递函数 有位于平面坐标原点处的极点。应用Nyquist判据时，由于平面上的Nyquist轨迹LS不能经过 的极点，故应以半径为无穷小的圆弧 逆时针绕过开环极点所在的原点，如图5.3.3（a）所示。这时开环传递函数在右半平面上的极点数已不再包含原点处的极点。 10/13/2022机械工程5.3.3 开环含有积分环节时的Nyquist 判据 设开环传递函数为：式中， 为系统中串联积分环节的个数。当沿无穷小

18、半圆逆时针方向移动时，有：映射到 平面上的Nyquist轨迹为：因此，当 沿小半圆从 变化到 时， 角从 经0变化到 ，这时 平面上的Nyquist轨迹将沿无穷大半径按顺时针方向从 到 。10/13/2022机械工程 设开环传递函数为：10/11/2022机械工程5.3.4 关于Nyquist 判据的几点说明 1） Nyquist判据并不是在s平面而是GH平面判别系统的稳定性。 通过幅角原理将s平面的Nyquist轨迹（虚轴）映射为GH平面上的Nyquist轨迹 ，然后根据 轨迹包围点（-1,j0）的情况来判别闭环系统的稳定性，而 正是系统的 。10/13/2022机械工程5.3.4 关于Ny

19、quist 判据的几点说明 1） Ny 2） Nyquist判据的证明虽较复杂，但应用简单.由于一般系统的开环系统多为最小相位系统，P=0，故只要看开环Nyquist轨迹是否包围点（-1,j0），若不包围，系统就稳定。当开环系统为非最小相位系统， 先求出其P，再看开环Nyquist轨迹包围点（-1,j0）的圈数，并注意 由小到大时轨迹的方向，若是逆时针包围点（-1,j0）P圈，则系统稳定。10/13/2022机械工程 2） Nyquist判据的证明虽较复杂，但应用简单.10/ 3） 在P=0，即 在s平面的右半平面无极点时，按习惯有时称为开环稳定；在 ，即开环传递函数在s平面的右半平面有极点时

20、，按习惯有时称为开环不稳定，有的书上介绍的就是首先判明开环是否稳定，亦即先确定P的数值，然后再用Nyquist判据来判别闭环系统的稳定性。开环不稳定，闭环仍可能稳定；开环稳定，闭环也可能不稳定。10/13/2022机械工程 3） 在P=0，即 在s平面的右半平面无极点时 4） 开环Nyquist轨迹对实轴是对称的，因为当 变为 时， 与 的模相同，而相位异号，即： 所以， 由 到0与 由0到 的开环Nyquist轨迹对实轴对称。因而一般只需绘出 由0到 的曲线即可判别稳定性。Nyquist轨迹在 由0到 时，包围点（-1,j0）一圈，故已可知 由 到 时共包围点（-1,j0）两圈，所以系统不稳

21、定。； 10/13/2022机械工程 4） 开环Nyquist轨迹对实轴是对称的，因为当； 10系统传递函数的分母反映了系统本身的固有特性，现在闭环系统的传递函数的分母是 ，即F（s），而F（s）包围F平面上原点的情况与 包围GH平面上点（-1.j0）的情况完全一样，因此， 这一开环传递函数包围GH平面上点（-1.j0）的情况就反映了闭环系统的固有特性。因此，用它来判别系统的稳定性，即由Nyquist判据用开环传递函数判别闭环系统的稳定性，从物理意义上来说也是容易解释的。 10/13/2022机械工程系统传递函数的分母反映了系统本身的固有特性，现在闭环系统的传5.3.5 Nyquist判据应用

22、举例10/13/2022机械工程5.3.5 Nyquist判据应用举例10/11/20225.3.6 应用Nyquist 判据分析延时系统的稳定性 延时环节是线性环节， 但用劳斯判据难以进行判断，现分析延时环节串联或并联在闭环系统的前向通道中的情况。10/13/2022机械工程5.3.6 应用Nyquist 判据分析延时系统的稳定性 1.延时环节串联在闭环系统的前向通道中时系统的稳定性 图5.3.16所示为一具有延时环节的系统方框图，其中G1(s)是除延时环节以外的开环传递函数，这时整个系统的开环传递函数为： 其开环频率特性，幅频特性和相频特性分别为： 由此可见，延时环节不改变原系统的幅频特性

23、，而仅仅使相频特性发生变化。10/13/2022机械工程1.延时环节串联在闭环系统的前向通道中时系统的稳定性 图510/13/2022机械工程10/11/2022机械工程例如，在图5.3.16所示系统中，若则开环传递函数和开环频率特性分别为：其开环Nyquist图如图5.3.17所示。， 10/13/2022机械工程例如，在图5.3.16所示系统中，若， 10/11/210/13/2022机械工程10/11/2022机械工程 由图5.3.17可见，当 ，即无延时环节时，Nyquist轨迹的相位不超过180度，只到第三象限，此二阶系统肯定是稳定的。随着值增加，相位也增加，Nyquist轨迹向左上

24、方偏转，进入第二和第一象限，当 增加到使Nyquist轨迹包围点（1,j0）时，闭环系统就不稳定。所以，由开环Nyquist图上可以明显看出，串联延时环节对稳定性是不利的，虽然一阶系统或二阶系统，其开环放大系数K就不允许取很高的数值，同时，为了提高这些系统的稳定性，还应尽可能地减小延时时间 。 10/13/2022机械工程 由图5.3.17可见，当 ，即无延时环节时，Nyq5.4 Bode稳定判据 Nyquist判据:利用开环频率特性的极坐标图（Nyquist图）来判别闭环系统稳定性。利用开环对数坐标图，即Bode图，来判别系统的稳定性。这种方法有时称为对数频率特性判据，简称对数判据或Bode

25、判据。它实质上是Nyquist判据的引申。10/13/2022机械工程5.4 Bode稳定判据 Nyquist判据:利用开环频率5.4.1 Nyquist图与Bode图的对应关系 开环Bode图与开环极坐标图对应关系： （1）极坐标图上的单位圆相当于Bode图上的0分贝线，即对数幅频特性图的横轴。 （2）极坐标图上的负实轴相当于Bode图上的180线，即对数相频特性图的横轴。相位GH 均为180。 由上对应关系，极坐标图也可画成Bode图，如图5.4.1中(a)可画成(c)，(b)可画成(d)。 10/13/2022机械工程5.4.1 Nyquist图与Bode图的对应关系 开环Bo10/13

26、/2022机械工程10/11/2022机械工程 为Nyquist轨迹与单位圆交点的频率，即对数幅频特性曲线与横轴交点的频率，亦即输入与输出幅值相等时的频率称为剪切频率或幅值穿越频率、幅值交界频率； 为Nyquist轨迹与负实轴交点的频率，亦即对数相频特性曲线与横轴交点的频率，称为相位穿越频率或相位交界频率。 由图5.4.1 (b)可见， 曲线顺时针包围点（1,j0），即曲线先在 时交于负实轴，后在 时才交于单位圆，亦即在Bode图即图5.4.1(d)中，对数相频特性先在 时交于180线，对数幅频特性后 在时交于0分贝线。图5.4.1(a)，图5.4.1(c)的情况则相反。10/13/2022机

27、械工程 为Nyquist轨迹与单位圆交点的频率，即对数幅频特性曲5.4.2 穿越的概念 如图5.4.2(a)所示，在a点，相频特性由上而下穿过横轴，这称为负穿越；在b点，相频特性由下而上穿过横轴，这称为正穿越。 可以看出，对数相频特性正穿越一次，就相当于Nyquist轨迹由上而下穿过负实轴一次，此时相位减小（这里指绝对值减小）；反之，对数相频特性负穿越一次，就相当于Nyquist轨迹由下而上穿过负实轴一次，此时相位增大。 由图5.4.2(a)可见，在0 范围内，对数相频特性正、负穿越次数之差为0，那么在P=0时，系统稳定，此系统实际为一条件稳定系统。 对II型系统（如 ），对其对数相频特性一开

28、始就由180向下，则算负半次穿越；反之，若对数相频特性一开始就由180向上，则算正半次穿越，如图5.4.3所示。10/13/2022机械工程5.4.2 穿越的概念 如图5.4.2(a)所示，在a点，10/13/2022机械工程10/11/2022机械工程10/13/2022机械工程10/11/2022机械工程5.4.3 Bode判据 根据Nyquist判据和此种对应关系，对数判据可表述如下： 在P=0时，若开环对数幅频特性比其对数相频特性先效于横轴，即 ，如图5.4.1(c)所示，则闭环系统稳定；若开环对数幅频特性比其对数相频特性后交于横轴，即 ，如图5.4.1(d)所示，则闭环系统不稳定；若

29、 ，则闭环系统临界稳定。或换言之：若开环对数幅频特性达到0分贝，即交于 时，其对数相频特性还在180线以上，即相位还不足180，则闭环系统稳定；若开环相频特性达到180时，其对数幅频特性还在0分贝线以上，即幅值不足1，则闭环系统不稳定。 10/13/2022机械工程5.4.3 Bode判据 根据Nyquist判据和此种对 一般系统的开环系统多为最小相位系统，即P=0，故可按上述条件来判别其稳定性。上述即为P=0的闭环系统稳定的充要条件。 若考虑包括P0时的情况，对数判据则可全面地叙述如下 在Bode图上，当 由0变到 时，开环对数相频特性在0到 的频率范围（即开环对数幅频特性不为负值的范围）内

30、，正穿越和负穿越180轴线的次数之差为P/2时，闭环系统稳定；否则不稳定。 若开环对数幅频特性对横轴有多个剪切频率，如图5.4.2(b)所示，则取剪切频率取大的 判别，因为若系统是稳定的，则用 判别，自然也就是稳定的。10/13/2022机械工程 一般系统的开环系统多为最小相位系统，即P=0，故可按上述5.5 系统的相对稳定性 从Nyquist稳定判据可推知：若P=0的闭环系统稳定，且当Nyquist轨迹离点（-1,j0）越远，则其闭环系统的稳定性越高；开环Nyquist轨迹离点（-1,j0）越近，则其闭环系统的稳定性越低。这便是通常所说的系统的相对稳定性，它通过 对点（-1,j0）的靠近程度

31、来表征，其定量表示为相位裕度 和幅值裕度Kg，如图5.4.1所示。10/13/2022机械工程5.5 系统的相对稳定性 从Nyquist稳定判据可推5.5.1 相位裕度 在 为剪切频率 （ ）时，相频特性GH 距180线的相位差值称为相位裕度。图5.4.1(c)所示的系统不仅稳定，而且有相当的稳定性储备，它可以在 的频率下，允许相位再增加 才达到 的临界稳定条件，因此，相位裕度有时又叫做相位稳定性储备。 对于稳定系统， 必在Bode图横轴以上，这时称为正相位裕度，即有正的稳定性储备，如图5.4.1(c)所示；对于不稳定系统， 必在Bode图横轴之下，这时称为负相位裕度，即有负的稳定性储备，如图5.4.1(d)所示。10/13/2022机械工程5.5.1 相位裕度 在 为剪切频率 （