第二章-线性系统理论-27最优控制

1、1 第2章 线性系统理论2主要内容2.1基本概念2.2状态空间表达式的建立2.3线性变换2.4运动分析2.5综合问题2.6状态重构与状态观测器2.7最优控制32.7最优控制一、概述二、研究最优控制的前提条件三、静态最优化问题的解四、线性二次型最优控制问题 所谓最优化，原非新鲜概念，人们在从事某项工作时，总是想着采取最合理的方案或措施，以期收到最好的效果，这里就包含着最优化问题。 求解动态最优化问题的方法主要有古典变分法，极小(大)值原理及动态规划法等。 动态最优化问题可以分为确定性和随机性两大类。在确定性问题中，没有随机变量，系统的参数都是确定的。本书只讨论确定性最优控制问题。一、概述2.7

2、最优控制对连续时问系统对离散时间系统（6）在研究确定性系统的最优控制时，前提条件是：1.给出受控系统的动态描述，即状态方程2.明确控制作用域 在工程实际问题中，控制矢量 往往不能在 空间中任意取值，而必须受到某些物理限制，例如，系统中的控制电压，控制功率不能取得任意大。即 要满足某些约束条件，这时，在 空间中，把所有满足上式的点 的集合，记作：二、研究最优控制的前提条件2.7 最优控制（7）这时，在 空间中，把所有满足上式的点 的集合，记作：(8)U称为控制集。把满足（9）的 称为容许控制。3明确初始条件 通常，最优控制系统的初始时刻 是给定的。如果初始状态 称固定始端。如果 是任意的，则称自

3、由始端。如果 必须满足某些约束条件：2.7 最优控制相应的始端集为：此时， 则称为可变始端。4明确终端条件 类似于始端条件，固定终端是指终端时刻 和终端状态 都是给定的。 自由端则是在给定 情况下， 可以任意取值不受限制。可变终端则是指 的情况。其中2.7 最优控制是由约束条件 所形成的一个目标集。5给出目标泛函，即性能指标对连续时间系统，一般表示为：对离散时间系统，一般表示为： 上述形式的性能指标，称为综合型或鲍尔扎型。它由两部分组成，等式右边第一项反映对终端性能的要求，例如对目标的允许偏差、脱靶情况等，称为终端指标函数；第二项中L为状态控制过程中对动态品质及能量或燃料消耗的要求等，称为动态

4、指标函数。2.7 最优控制若不考虑终端指标函数项 则有： 这种形式的性能指标称为积分型或拉格朗日型。若不考虑动态指标函数项， 则形如：称为终端型或梅耶型。2.7 最优控制三、静态最优化问题的解 静态最优化问题的目标函数是一个多元普通函数，其最优解可以通过古典微分法对普通函数求极值的途径解决。动态最优化问题的目标函数是一个泛函数，确定其最优解要涉及古典变分法求泛函极值的问题。1 一元函数的极值 设 为定义在闭区间 上的实值连续可做函数，则存在极值点 的必要条件是：（21）为极小值点充要条件是：2.7 最优控制为极大值点充要条件是： 因为 的极小值和 的极大值等效，所以今后所有推导和结论，均以圾小

5、化为准。2 多元函数的极值 设 元函数 这里 为 维列向量。它取极值的必要条件是：2.7 最优控制至于取极小值的充要条件，尚需满足：或函数的梯度为零矢量。即下列海赛矩阵为正定矩阵。2.7 最优控制3 具有等式约束条件的极值 上面讲的是无约束条件极值问题的求解方法。对于具有等式约束条件的极值问题，则要通过等效变换，化为无约束条件的极值问题来求解。设罐头桶的几何尺寸：高为 半径为 则容积为：（29）给定铁皮面积A=常量。要使罐头桶容积为最大，必然要受条件：（30）的约束： 解此类问题的方法有多种，如嵌入法(消元法)和拉格朗日乘子法(增元法)等。2.7 最优控制1.嵌入法 先从约束条件式(30) 解

6、出一个变量，例如 等，然后代入目标函数式(29)得：(31)这样就变成一个没有约束条件的函数式。显然，式(31)取极值的条件为：可解出极值点： 又因为 故上述极值点为极大值点。罐头桶的最大容积为：2.7 最优控制将约束条件式乘以乘子 ，与目标函数相加构成一个新的可以调整函数H： 它的极值条件为：联解上式可得：2.拉格朗日乘子法2.7 最优控制更为一般形式：等式约束条件：式中：x为n维列矢量，u为r维列矢量，g为n维矢量函数。构造拉格朗日函数：式中： 与g 为同维的列矢量。 目标函数存在极值的必要条件：式中： 2.7 最优控制四、线性二次型最优控制问题1 二次型性能泛函二次型性能泛函的一般形式如

7、下：2 有限时间状态调节器问题 状态调节器的任务在于，当系统状态由于任何原因偏离了平衡状态时，能在不消耗过多能量的情况下，保持系统状态各分量仍接近于平衡状态。在研究这类问题时，通常是把初始状态矢量看作扰动，而把零状态取作平衡状态。于是调节器问题就变为寻求最优控制规律u，在有限的时间区间 内，将系统从初始状态转移到零点附近，并使给定的性能泛函取极值。2.7 最优控制3 无限时间状态调节器问题对于无限时间状态调节器，这里要强调以下几点： 1)适用于线性定常系统，且要求系统完全能控，而在有限时间状态调节器中则不强调这一点。 2)在性能泛函中，由于 ，而使终端泛函 失去了意义，即 3)与有限时间状态调

8、节器一样，最优控制也是全状态的线性反馈，结构图也与前面的相同。但是，这里的P 是nn 维的实对称常矩阵，是黎卡捉矩阵代数方程的解。因此，构成的是一个线性定常闭环系统。 4)闭环系统是渐近稳定的，即系统矩阵 的特征值均具负实部，而不论原受控系统A的特征值如何。2.7 最优控制例2.33 设系统状态方程为不受约束，性能指标为：寻求最优控制 ，使性能指标 为最小。2.7 最优控制解: 本例的有关矩阵为：可见 及 矩阵均为正定的，并因此系统可控，故存在唯一的最优控制。 2.7 最优控制首先由黎卡提代数方程求解 上式给出方程：2.7 最优控制由此解得：为了保证 的正定性要求，最后解得2.7 最优控制代入

9、 ，可得2.7 最优控制4 输出调节器问题 1.输出调节器的任务是当系统受到外扰时，在不消耗过多能量的前提下，维持系统的输出矢量接近其平衡状态。1.线性时变系统输出调节器问题给定一个能观的线性时变系统：性能泛函为：2.7 最优控制于是可以用状态调节器上式来确定最优控制：式中， 为下列黎卡提距阵微分方程的解：边界条件：给定一个完全能控、能观的线性定常系统：2. 线性定常系统输出调节器问题2.7 最优控制性能泛函为：式中， 任意取值； 为正定对称矩阵； 为正定或半正定矩阵。要求在系统方程约束下，寻求最优控制为：而 是下列黎卡提代数微分方程的解：2.7 最优控制例2.34 设系统动态方程为：不受约束，性能指标为：要求最优控制 ，使性能指标 为最小。2.7 最优控制 解: 显然，系统是可控及可观测的。并 ，满足正定要求。将以上系统数代黎卡提代数方程：解得：为保证 的正定性，取最后得最优控制为：2.7 最优控制设完全能控、能观系统的动态方程为：性能指标为二次型：式中， 为正定(或半正定)对称阵； 为正定对称阵。最优控制为： 是下列黎卡提代数微分方程的解：