【人教版】数列的概念优秀课件

1、新课标高中一轮总复习新课标高中一轮总复习等比数列的概念及基本运算等比数列的概念及基本运算1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题.4.了解等比数列与指数函数的关系.1.理解等比数列的概念.1.已知数列an的前n项和Sn=an-3(a为不等于零的实数),那么数列an（ ）DA.是等比数列B.当a1时是等比数列C.从第2项起是等比数列D.从第2项起是等比数列或等差数列1.已知数列an的前n项和Sn=an-3(a为不等于零的 由Sn=an-3,可得 an=a-3 (n=1) (a-1)an-1 (n2)

2、.当a=1时，数列-3,0,0,0，为从2项起的等差数列；当a1时，为从第2项起的等比数列. 由Sn=an-3,可得 an=a-2.已知等比数列an满足a1+a2=3,a2+a3=6,则a2011=（ ）AA.22010 B.22011C.32010 D.32011 令an的公比为q，则a1(1+q)=3，a1q(1+q)=6，则a1=1，q=2，所以a2011=a1q2010=22010.2.已知等比数列an满足a1+a2=3,a2+a3=6,3.若数列an成等比数列,则“a2010a2012=16” 是“a2011=4”的（ ）BA.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不

3、充分也不必要条件 由a2010a2012=16,则a2011=4，充分性不满足;由a2011=4，则a2010a2012=a20112=16.【人教版】数列的概念优秀课件【人教版】数列的概念优秀课件3.若数列an成等比数列,则“a2010a2012=14.（2010江苏溧水模拟）等比数列an中，Sn是数列an的前n项和，S3=3a3，则公式q= .- 或1 当q=1时,an=a1,S3=3a3,则q=1符合题意.当q1时, =3a1q2,解得q=- 或1(舍去).所以q=- 或1.【人教版】数列的概念优秀课件【人教版】数列的概念优秀课件4.（2010江苏溧水模拟）等比数列an中，Sn是数列5.

4、2009年，某内河可供船只航行的河段长为1000 km，但由于水资源的过度使用，促使河水断流，从2010年起，该内河每年船只可行驶的河段长度仅为上一年的 ，则到2018年，该内河可行驶的河段长度为 km.1000【人教版】数列的概念优秀课件【人教版】数列的概念优秀课件5.2009年，某内河可供船只航行的河段长为1000 km， 设an表示第n年船只可行驶河段长度(2009为第一年），则an= an-1，a1=1000，所以an=1000( )n-1，a10=1000( )9.【人教版】数列的概念优秀课件【人教版】数列的概念优秀课件 设an表示第n年船只可行驶河段长度(2等比数列(1)等比数列定

5、义 .(nN*),这是证明一个数列是等比数列的依据，也可由anan+2=an+12来判断.(2)等比数列的通项公式为 .(3)对于G是a、b的等比中项,则G2ab,G= . =q(非零常数)an=a1qn-1【人教版】数列的概念优秀课件【人教版】数列的概念优秀课件等比数列 =q(非零常数)an=a1qn-(4)特别要注意等比数列前n项和公式应分为q=1与q两类.当q=1时,Sn= ;当q时,Sn= .na1或【人教版】数列的概念优秀课件【人教版】数列的概念优秀课件(4)特别要注意等比数列前n项和公式应分为q=1与q两类题型一 等比数列的基本运算例1 在等比数列an中，已知a1+an=66,a2

6、an-1=128,Sn=126,求n和q. 利用等比数列的性质，将a2an-1 转换成a1an，从而求出a1和an，再根据等比数列的通项公式与前n项和公式列方程组求解.【人教版】数列的概念优秀课件【人教版】数列的概念优秀课件题型一 等比数列的基本运算例1 因为a2an-1=a1an,所以a1an=128. a1an=128 a1+an=66, a1=64 a1=2 an=2 an=64将代入Sn= ,得q= ,由an=a1qn-1,得n=6.将代入Sn= ,得q=2,由an=a1qn-1，得n=6.解方程组解得或,【人教版】数列的概念优秀课件【人教版】数列的概念优秀课件 因为a2an-1=a1

7、an,所以a1a (1)对于“知三求二”问题，通常是利用通项公式与前n项公式列方程组求解，但有时计算过程较繁杂.若注意运用等比数列的性质解题，就可化繁为简.(2)当已知a1、q(q)、n时，用公式Sn= 求和较为方便；当已知a1、q（q）、an时，则用公式Sn= 求和较为方便.【人教版】数列的概念优秀课件【人教版】数列的概念优秀课件 (1)对于“知三求二”问题，通常是利用通项公式与前n 一个等比数列有三项，如果把第二项加上4，那么所得的三项就成等差数列，如果再把这个等差数列的第三项加上32，那么所得的三项又成等比数列，求原来的等比数列.【人教版】数列的概念优秀课件【人教版】数列的概念优秀课件

8、一个等比数列有三项，如果把第二 设所求的等比数列为a,aq,aq2,则2(aq+4)=a+aq2,且(aq+4)2=a(aq2+32),解得a=2,q=3或a= ,q=-5.故所求的等比数列为2,6,18或 ,- , . 这种解法利用等比数列的基本量a1,q,先求公比，后求其他量，这是解等差数列、等比数列的常用方法，其优点是思路简单、实用，缺点是有时计算较繁杂.【人教版】数列的概念优秀课件【人教版】数列的概念优秀课件 设所求的等比数列为a,aq,aq2,题型二 等比数列的判定及证明例2 （2010都昌模拟）已知数列an满 an+n (n为奇数） an-2n (n为偶数).(1)求a2,a3,a

9、4,a5；(2)设bn=a2n-2,求证:数列bn是等比数列；(3)在(2)的条件下，求数列an的前100项中所有偶数项的和.足:a1=1， an+1 =【人教版】数列的概念优秀课件【人教版】数列的概念优秀课件题型二 等比数列的判定及证明例2 （(1)因为a1=1,当n=1奇数,a2= a1+1= ; 当n=2偶数，a3=a2-22=- ;同理，a4= ，a5=- .【人教版】数列的概念优秀课件【人教版】数列的概念优秀课件(1)因为a1=1,当n=1奇数,a2= a1+1(2)证明：因为bn=a2n-2，所以 = = = = .又b1=a2-2=- ，所以数列 bn是以b1=- 为首项,公比为

10、 的等比数列.【人教版】数列的概念优秀课件【人教版】数列的概念优秀课件(2)证明：因为bn=a2n-2，【人教版】数列的概念优秀课(3)由(2)得bn=(- )( )n-1=-( )n=a2n-2,所以a2n=2-( )n,所以S=a2+a4+a100=(2- )+2-( )2+2-( )50=250- =99+ .【人教版】数列的概念优秀课件【人教版】数列的概念优秀课件(3)由(2)得bn=(- )( )n-1=-( 本题是以分段形式给出的数列通项，特别要根据n的奇偶选递推式，而不是an+1的下标的奇偶.同时判定等比数列的常用方法有两种：第一种定义法，即证 =q(q是非零常数）；另一种是等比

11、中项法，即证an2=an-1an+1.当已知通项公式或把递推公式看作一整体时，常用定义法.【人教版】数列的概念优秀课件【人教版】数列的概念优秀课件 本题是以分段形式给出的数列通项，题型三 等比数列的最值例3 等比数列an的首项为a1=2010，公比q=- .（1）设bn表示数列an的前n项的积，求bn的表达式；（2）在（1）的条件下，当n为何值时，数列bn有最大项？【人教版】数列的概念优秀课件【人教版】数列的概念优秀课件题型三 等比数列的最值例3 等比数列 (1)因为an=2010(- )n-1,所以bn=a1a2an=2010n(- )0+1+2+(n-1)=2010n . (1)求出an的

12、通项公式，再由bn=a1a2an得表达式.(2)先判断bn的符号，再由|bn|的单调性，进一步探求.【人教版】数列的概念优秀课件【人教版】数列的概念优秀课件 (1)因为an=2010(- (2)因为 = ,所以，当n10时， = 1，所以|b11|b10|b1|；当n11时， = |b12|,又因为b110，b100，b120，所以bn的最大值是b9和b12中的最大者.因为 = =20103( )30=2010( )1031.所以当n=12时,bn有最大项为b12=201012(- )66.【人教版】数列的概念优秀课件【人教版】数列的概念优秀课件(2)因为 = ,【人教版 等比数列的通项公式类

13、同于指数函数，根据公比q与首项a1的正负、大小有不同的单调性: a10 a11 0q1时为单调增数列； a10 q1 0q1为单调减数列；当q0时为摆动数列，应分类讨论其项的符号与绝对值.或当当或【人教版】数列的概念优秀课件【人教版】数列的概念优秀课件 等比数列的通项公式类同于指数函数 （2010安徽师大附中)设数列bn的前n项和为Sn，bn=2-2Sn；数列an为等差数列，且a5=14，a7=20. (1)求数列bn的通项公式； (2)若cn=anbn(n=1,2,3,)，Tn为数列cn的前n项和，求证：Tn .【人教版】数列的概念优秀课件【人教版】数列的概念优秀课件 （2010安徽师大附中

14、)设数列bn (1)由bn=2-2Sn，令n=1，则b1=2-2S1,又S1=b1，所b1= ,当n2时，由bn-1=2-2Sn-1，可得bn-bn-1=-2(Sn-Sn-1)=-2bn，即 = .所以bn是以b1= 为首项， 为公比的等比数列，于是bn=2 .【人教版】数列的概念优秀课件【人教版】数列的概念优秀课件 (1)由bn=2-2Sn，令n=1，则(2)数列an为等差数列，公差d= (a7-a5)=3，可得an=3n-1.从而cn=anbn=2(3n-1) .所以Tn=22 +5 +8 +(3n-1) ,所以 Tn=22 +5 +(3n-4) +(3n-1) ,所以 Tn=23 +3

15、+3 +3 - -(3n-1) ,从而Tn= - - 1，令bn=an+1(n=1,2,).若数列bn有连续四项在集合-53,-23,19,37,82中，则6q= .-9【人教版】数列的概念优秀课件【人教版】数列的概念优秀课件学例1 (2009江苏卷)设an 因为数列bn有连续四项在集合-53,-23,19,37,82中，又an=bn-1，所以数列an有连续四项在集合-54,-24,18,36,81中,且必有正项、负项；又|q|1，所以q0且b1,b,r均为常数)的图象上. (1)求r的值； (2)当b=2时，记bn=2(log2an+1)(nN*).证明：对任意的nN*， 不等式 成立.【人

16、教版】数列的概念优秀课件【人教版】数列的概念优秀课件学例2 (2009山东卷)等比数 (1)因为对任意的nN*,点(n,Sn)均在函数y=bx+r(b0且b1,b,r均为常数)的图象上,所以Sn=bn+r.当n=1时,a1=S1=b+r;当n2时,an=Sn-Sn-1=bn+r-(bn-1+r) =bn-bn-1=(b-1)bn-1.因为b0，且b，所以，当n时，数列an是以b为公比的等比数列.又a1=b+r,a2=b(b-1),所以 =b,即 =b,得r=-1.【人教版】数列的概念优秀课件【人教版】数列的概念优秀课件 (1)因为对任意的nN*,点(n(2)由(1)知，当b=2时，an=(b-

17、1)bn-1=2n-1,bn=2(log2an+1)=2(log22n-1+1)=2n.则 = ,所以 = .下面用数学归纳法证明不等式 = 成立.当n=1时,左边= ,右边= .因为 ,所以不等式成立.【人教版】数列的概念优秀课件【人教版】数列的概念优秀课件(2)由(1)知，当b=2时，an=(b-1)bn-1=2n假设当n=k时不等式成立,即 = 成立.则当n=k+1时,左边= = = = .所以当n=k+1时,不等式也成立.综上，可得不等式恒成立.【人教版】数列的概念优秀课件【人教版】数列的概念优秀课件假设当n=k时不等式成立,即【人教版】数列的概念优秀课件【人本节完，谢谢聆听立足教育，开创未来【人教版】数列的概念优秀课件【人教版】数列的概念优秀课件本节完，谢谢聆听立足教育，开创未来【人教版】数列的概念优秀课1. 一个完美的历史家必须绝对具有足够的想象力2 一个作者的观念看更像是在反映他自己的生活于其中的那个代，而不是他所描写的那个代3. 历史是有个人特征的人物的王国，是本身有价值而又不可能重演的个别