第四讲 黄金分割及数学的真、善、美

1、第四讲 黄金分割及数学的真、善、美提纲：1、引 言2、黄金分割的简单性质3、正五边形中的黄金分割4、黄金分割与斐波那契数列5、黄金分割与优选法6、余音：数学的真、善、美艺术与生活中黄金比的美一、引言黄金分割是具有悠久历史同时却永葆青春的数学珍品。 “几何学有两大财富：一个是毕达哥拉斯定理，另一个是按照中外比划分一个线段。第一大财富可称得上是黄金定理，而第二大财富则可称之为珍珠定理。”德国天文学家 开普勒几何原本第二篇问题11：分割一已给直线，使整段与其中一分段所成矩形等于另一分段上的正方形。 AB C D E F G H 几何原本第六篇中的定义：分一线段为二线段，当整体线段比大线段等于大线段比

2、小线段时，则称此线段被分为中外比（extreme and mean ratio）。需指出的是：黄金分割这一名称只是在它十分出名之后，即到19世纪初期才出现的。二、黄金分割的简单性质ACBEF1上图E点位线段AC的黄金分割点0.5黄金比的几何画法黄金分割点（比）A B C1解得 其正根为 即 有 黄金比的连分数表示：黄金比的根式表示： 由 还可得 三、正五边形中的黄金分割B C D E F G H I J A命题3.1：正五边形边长与对角线之比为黄金比B C D E F G H I J A四、黄金分割与斐波那契数列斐波那契兔子问题： 兔子出生以后两个月就能生小兔，若每次不多不少恰好生一对（一雌一

3、雄），且每月生一次。假如养了初生的小兔一对，则一年以后共可有多少对兔子（如果生下来的小兔都不死的话）？用表示一对小兔子，用表示一对大兔子 。且用下图a表示一对小兔子一月后长成一对大兔子，图b表示一对大兔子一月生一对小兔子。(a) (b) 命题4、1：当即n个1其中 为斐波那契数列的第n项。斐波那契数列的通项公式 ：斐波那契数列的一些有趣性质:命题4.4：成立命题4.3：成立命题4.5：成立命题4.2：成立命题4.6：成立命题4.6的一个简单应用：七个依次的矩形之和等于一个大的正方形。 1321 813 58 352312 11爬楼梯问题：上楼梯时，从楼梯外只能进入第1梯，跨入楼梯后若允许每次跨

4、一梯或两梯，问：可以用多少种方法，跨到第n梯？ 2 3 4 5 1 n-2 n-1 n 蜜蜂进蜂房问题：一只蜜蜂从蜂房A出发，想爬到第1,2,3，n号蜂房，但只允许它自左向右（不许反向倒走），问它爬到第n号蜂房的路线数可以有多少条？1436257An推广的斐波那契数列：卢卡斯数列 从任何两个前小后大的正整数开始，往后的每一个数是该数之前两个数的和，由此构成的无穷数列称为推广的斐波那契数列。 1,3,4,7,11,18，29，现称为卢卡斯数列。它与黄金分割同样有密切的联系。五、黄金分割点与优选法中国数学家 华罗庚 假设在区间【0,1】上有一个单峰函数，我们要求其达到极大值的点。可以通过在区间上不

5、断取点进行比较后得到。 在区间上取两个点的原则是：这两个点应该关于区间的中点对称配置，同时，其中的任何一个点应同时是缩小区间中的一个这样的点。用优选法在一个区间中所选的两个点，就是此区间上的左、右黄金分割点。换言之，优选法是基于黄金分割的优选法。黄金分割点具有再生性。余 音：数学的真、善、美思 索：黄金分割是美的，同时亦是有用的（善的），它的美和善来自何方？黄金分割的美和善来自于它的真。即它是本存在于自然界与人类社会许多事物之间的确定的数量关系。当人们通过深入的观察，把这种数量关系抽象出来后，就成为了具有普遍联系性的知识和有用的一种思想方法。而美的东西与有用的东西之间常常是有联系的。因此，黄金分割正是集真、善、美与一体的数学艺术品。 数学教学应当是在激起学生的学习兴趣后，在学习数学知识中以“求联”为目的，在此基础上尽量“求全”。这样才能达到在对一些基本知