2021年山东省青岛市崂山区第四中学高三数学理月考试题含解析

1、2021年山东省青岛市崂山区第四中学高三数学理月考试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设A（0，1），B（1，3），C（1，5），D（0，1），则等于（）A2B2C3D3参考答案：C【考点】98：向量的加法及其几何意义【分析】根据向量的坐标运算和向量的共线定理即可求出【解答】解：A（0，1），B（1，3），C（1，5），D（0，1），=（1，2），=（1，4），=（0，2）=（0，6）=3（0，2）=3，故选：C【点评】本题考查了向量的坐标运算和向量的共线定理，属于基础题2. 函数的零点所在的大致区间是 （ ）

2、A B(1,2) C D参考答案：B略3. 已知直线x+y=a与圆x2+y2=1交于A，B两点，O是坐标原点，向量满足，则实数a的值为（）A1B2C1D2参考答案：C【考点】直线与圆的位置关系【专题】综合题；方程思想；演绎法；直线与圆【分析】先由向量关系推出OAOB，结合直线方程推出A、B两点在坐标轴上，然后求得a的值【解答】解：由满足，得，因为直线x+y=a的斜率是1，所以A、B两点在坐标轴上并且在圆上；所以（0，1）和（0，1）点都适合直线的方程，a=1；故选C【点评】本题考查直线和圆的方程的应用，向量的模的有关知识，是基础题4. 设p：，q：x2+x60，则p是q的（）A充分不必要条件B

3、必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件参考答案：考点：充要条件；一元二次不等式的解法；绝对值不等式的解法专题：计算题分析：先将分式不等式转化为整式不等式组，解二次不等式及绝对值不等式组成的不等式组，化简命题p；解二次不等式化简命题q；判断出p，q对应的集合的包含关系，判断出p是q的什么条件解答：解：解得1x1或x2或x2即命题p：1x1或x2或x2x2+x60，x2或x3即命题q：x2或x3x|x2或x3?x|1x1或x2或x2，所以p是q的必要不充分条件故选B点评：解分式不等式关键是将其转化为整式不等式、考查判断一个命题是另一个命题的什么条件，应该先化简两个命题5. 关于函数有下述四

4、个结论：（ ）f(x)是偶函数； f(x)在区间上是单调递增函数；f(x)在R上的最大值为2； f(x)在区间上有4个零点.其中所有正确结论的编号是（ ）A. B. C. D. 参考答案：C【分析】根据函数的奇偶性、单调性、最值和零点对四个结论逐一分析，由此得出正确结论的编号.【详解】的定义域为.由于，所以偶函数，故正确.由于，所以在区间上不是单调递增函数，所以错误.当时，且存在，使.所以当时，；由于为偶函数，所以时，所以的最大值为，所以错误.依题意，当时，所以令，解得，令，解得.所以在区间，有两个零点.由于为偶函数，所以在区间有两个零点.故在区间上有4个零点.所以正确.综上所述，正确的结论序

5、号为.故选：C【点睛】本小题主要考查三角函数的奇偶性、单调性、最值和零点，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.6. 设i是虚数单位，复数是纯虚数，则实数A. B.2C. D. 参考答案：D略7. 记等比数列的前项和为，若，则 （ ）A2B6C16D20参考答案：D略8. 有下列四个命题： p1：； p2：已知a0，b0，若a+b=1，则的最大值是9； p3：直线过定点(0，-l)； p4：区间是的一个单调区间 其中真命题是 (A)p1,p4 (B)p2,p3 (c)p2,p4 (D)p3,p4参考答案：9. 中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线C的两条渐近线与圆都相切，则双曲线C的离心率是

6、（ ）A2或 B2或 C. 或 D或参考答案：A10. 已知，若，则的值为（ ）A8 B9 C.10 D11参考答案：C二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知函数，若函数的零点所在的区间为，则 .参考答案：1略12. 关于x、y的方程组的增广矩阵经过变换后得到，则=参考答案：【考点】几种特殊的矩阵变换【分析】由题意可知矩阵为，对应的方程组为：，则，代入方程组，即可求得m和n的值，即可求得矩阵的值【解答】解：矩阵为，对应的方程组为：，解得：，由题意得：关于x、y的二元线性方程组的解为：，解得：，=，故答案为：13. 向量=（2，3），=（1，2），则2的模等于参考答案：【

7、考点】平面向量的坐标运算【分析】求出2的坐标，带入模的公式计算即可【解答】解： =（2，3），=（1，2），2=（2，3）（2，4）=（4，1），故2的模是： =，故答案为：【点评】本题考查了平面向量的坐标运算与模长的应用问题，是基础题目14. 已知等差数列的首项及公差都是整数，前项和为，若，设的结果为 。参考答案：15. 若向量满足，且与的夹角为，则_参考答案：16. 的展开式中的常数项为 .（用数字作答） 参考答案：17. 二次函数与在它们的一个交点处切线互相垂直，则的最小值为 高参考答案：三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. （本小题满分1

8、2分）数列满足：对任意的正整数，若，则，且（）求证：；（）求数列的通项公式；（）记，求证：参考答案：（）证明：由 ，得，即4分（）由得：，令，则：由于，所以： ，所以： ，即： ，所以：=，所以 （）8分（）=所以 12分略19. （13分）定义：将一个数列中部分项按原来的先后次序排列所成的一个新数列称为原数列的一个子数列已知无穷等比数列的首项和公比均为 （）试求无穷等比子数列（）各项的和； （）已知数列的一个无穷等比子数列各项的和为，求这个子数列的通项公式； （）证明：在数列的所有子数列中，不存在两个不同的无穷等比子数列，使得它们各项的和相等参考答案：解析：（）依条件得：则无穷等比数列各项的

9、和为： 3分（）解法一：设子数列的首项为，公比为，由条件得：，则，即 ， 而 ，则 所以，满足条件的无穷等比子数列存在且唯一，它的首项公比均为，其通项公式为， 7分解法二：由条件，可设此子数列的首项为，公比为由 又若，则对每一，都有 从、得；则；因而满足条件的无穷等比子数列存在且唯一，此子数列是首项公比均为无穷等比子数列，通项公式为， 7分（）假设存在原数列的两个不同的无穷等比子数列，使它们的各项和相等设这两个子数列的首项与公比分别为和，其中且或，则 若且，则，矛盾；若且，则，矛盾；故必有且，不妨设，则 或，两个等式的左,右端的奇偶性均矛盾故不存在原数列的两个不同的无穷等比子数列，使得它们的各

10、项和相等 13分20. 已知函数（0，）的部分图像如图所示 （1）求的表达式;（2）求函数在区间上的最大值和最小值参考答案：由,因此,又,即，而,故,故（82）1）可知，由,则最大值为,最小值为（13分）21. 如图所示，已知圆为圆上一动点，点是线段的垂直平分线与直线的交点 （1）求点的轨迹曲线的方程；（2）设点是曲线上任意一点，写出曲线在点处的切线的方程；（不要求证明）（3）直线过切点与直线垂直，点关于直线的对称点为，证明：直线恒过一定点，并求定点的坐标参考答案：解：（1）点是线段的垂直平分线, 动点N的轨迹是以点C（1，0），A（1，0）为焦点的椭圆.椭圆长轴长为焦距2c=2. 曲线E的方程为（2）曲线在点处的切线的方程是.（3）直线的方程为，即 . 设点关于直线的对称点的坐标为, 则，解得 直线PD的斜率为 从而直线PD的方程为： 即, 从而直线PD恒过定点