一元函数微分学一

1、 15/15一元函数微分学一 第二章 一元函数微分学 2.1 导数与微分 （甲） 内容要点 一、导数与微分概念 1、导数的定义 设函数)(x f y =在点0 x 的某领域内有定义，自变量x 在0 x 处有增量x ?，相应地函数增量)()(00 x f x x f y -?+=?。如果极限 x x f x x f x y x x ?-?+=?)()(lim lim 0000 存在，则称此极限值为函数)(x f 在0 x 处的导数（也称微商），记作0()f x ，或0 x x y = ， x x dx dy =， )(x x dx x df =等，并称函数)(x f y =在点0 x 处可导。如

2、果上面的极限不存在，则 称函数)(x f y =在点0 x 处不可导。 导数定义的另一等价形式，令x x x ?+=0，0 x x x -=?，则 0000 ()() ()l i m x x f x f x f x x x -= - 我们也引进单侧导数概念。 右导数：0 000000()()()() ()lim lim x x x f x f x f x x f x f x x x x + + +?-+?-=-? 左导数：0 000000()()()() ()lim lim x x x f x f x f x x f x f x x x x - - -?-+?-=-? 则有：)(x f 在点0

3、 x 处可导)(x f ?在点0 x 处左、右导数皆存在且相等。 2导数的几何意义与物理意义 如果函数)(x f y =在点0 x 处导数0()f x 存在，则在几何上0()f x 表示曲线)(x f y =在点（)(,00 x f x ）处的切线的斜率。 切线方程：000()()()y f x f x x x -=- 法线方程：00001 ()()()0)() y f x x x f x f x -=- - 设物体作直线运动时路程S 与时间t 的函数关系为)(t f S =，如果0()f t 存在，则0()f t 表示物体在时刻0t 时的瞬时速度。 3函数的可导性与连续性之间的关系 如果函数

4、)(x f y =在点0 x 处可导，则)(x f 在点0 x 处一定连续，反之不然，即函数 )(x f y =在点0 x 处连续，却不一定在点0 x 处可导。例如，|)(x x f y =，在00=x 处连 续，却不可导。 4微分的定义 设函数)(x f y =在点0 x 处有增量x ?时，如果函数的增量)()(00 x f x x f y -?+=?有下面的表达式 0()()y A x x o x ?=?+? （0?x ） 其中)(0 x A 为x ?为无关，()o x ?是0?x 时比x ?高阶的无穷小，则称)(x f 在0 x 处可微， 并把y ?中的主要线性部分x x A ?)(0称

5、为)(x f 在0 x 处的微分，记以0 x x dy =或0 ) (x x x df =。 我们定义自变量的微分dx 就是x ?。 5微分的几何意义 )()(00 x f x x f y -?+=?是曲线)(x f y =在点0 x 处相应 于自变量增量x ?的纵坐标)(0 x f 的增量，微分0 x x dy =是曲线 )(x f y =在点)(,(000 x f x M 处切线的纵坐标相应的增量。 6可微与可导的关系 )(x f 在0 x 处可微?)(x f 在0 x 处可导。 且0 00()()x x dy A x x f x dx =?= 一般地，)(x f y =则()dy f x

6、 dx = 所以导数()dy f x dx = 也称为微商，就是微分之商的含义。 7高阶导数的概念 如果函数)(x f y =的导数()y f x =在点0 x 处仍是可导的，则把()y f x =在点0 x 处的导数称为)(x f y =在点0 x 处的二阶导数，记以0 x x y =，或0()f x ，或 2 2x x dx y d =等，也 称)(x f 在点0 x 处二阶可导。 如果)(x f y =的1-n 阶导数的导数存在，称为)(x f y =的n 阶导数，记以)(n y ， )() (x y n ，n n dx y d 等，这时也称)(x f y =是n 阶可导。 二、导数与微

7、分计算 1导数与微分表 2导数与微分的运算法则 （1）四则运算求导和微分公式 （2）反函数求导公式 （3）复合函数求导和微分公式 （4）隐函数求导法则 （5）对数求导法 （6）用参数表示函数的求导公式 （乙） 典型例题 一、用导数定义求导数 例 设)()()(x g a x x f -=，其中)(x g 在a x =处连续，求()f a 解：()()()()0 ()lim lim ()x a x a f x f a x a g x f a g a x a x a =- 二、分段函数在分段点处的可导性 例1 设函数 ?+=1 ,1,)(2x b ax x x x f 试确定a 、b 的值，使)(

8、x f 在点1=x 处可导。 解：可导一定连续，)(x f 在1=x 处也是连续的。 由 1lim )(lim )01(2 1 1 =- -x x f f x x b a b ax x f f x x +=+=+ +)(lim )(lim )01(1 1 要使)(x f 在点1=x 处连续，必须有1=+b a 或a b -=1 又 2111()(1)1(1)lim lim lim(1)21 1x x x f x f x f x x x =+=- 1 11()(1)1(1) (1)lim lim lim 111 x x x f x f ax b a x f a x x x + +-= 要使)(x

9、 f 在点1=x 处可导，必须(1)(1)f f -+=，即a =2. 故当1211,2-=-=-=a b a 时，)(x f 在点1=x 处可导. 例2 设1 lim )()1()1(2+=-x n x n n e b ax e x x f ，问a 和b 为何值时，)(x f 可导，且求()f x 解：1x 时，+=- ) 1(lim x n n e ， 1=,1,12,1,1, 1,)(2x x x x x x f 2,1, ()2,1,x x f x x ?=? x ，求 dx dy 解：x x y x ln ln = 对x 求导，得 11()ln x x y x x x y x =+

10、再令x x y =1，x x y ln ln 1=，对x 求导， 11 1 ln 1y x y =+， ()(ln 1)x x x x x =+ 于是 x x x x x x x x x dx dy 1ln )1(ln -+= （0 x ） 例3 设)(x y y =由方程x y y x =所确定，求dx dy 解：两边取对数，得y x x y ln ln =， 对x 求导，ln ln y x y x y y x y + =+ (ln )ln x y y x y y x -=-，22n ln y xy y y x xy x -=- 例4 设 ? ? ?+=?t u t t u du u e y

11、 udu e x 20)1ln(sin 2 2 求dy dx 解：)21ln(2sin sin 2222 4t e t e t te dt dy dt dx dy dx t t t +-= 四、求切线方程和法线方程 例1 已知两曲线)(x f y =与2 arctan 0 x t y e dt -= ? 在点（0，0）处的切线相同，写出此切线方 程，并求2lim ()n nf n 。 解：由已知条件可知0)0(=f ，(arctan )2 2 (0)11x x e f x -= =+ 故所求切线方程为x y =，2 ()(0) 2lim ()lim 22(0)2n n f f n nf f n

12、 n -=?= 例2 已知曲线的极坐标方程cos 1-=r ，求曲线上对应于6 =处的切线与法线的直角 坐标方程。 解：曲线的参数方程为?-=-=-=-= cos sin sin sin )cos 1(cos cos cos )cos 1(2y x 1sin cos 2sin sin cos cos 6 226 6 =+-+-= = = = d dx d dy dx dy 故切线方程)4323(14321+-?=+- x y 即 04 5 343=+- -y x 法线方程 13()24 y x - +=- 即 04 1 341=+-+y x 例 3设)(x f 为周期是 5 的连续函数，在0=

13、x 邻域内，恒有 (1s i n )3(1s i n )f x f x x x +-=+。其中0) (lim =x x x ，)(x f 在1=x 处可导， 求曲线)(x f y =在点（)6(,6f ）处的切线方程。 解：由题设可知)1()6(f f =，(6)(1)f f =，故切线方程为 (1)(1)(6)y f f x -=- 所以关键是求出)1(f 和(1)f 由)(x f 连续性)1(2)sin 1(3)sin 1(lim 0 f x f x f x -=-+ 由所给条件可知0)1(2=-f ， 0)1(=f 再由条件可知8)sin ) (sin 8(lim sin )sin 1(

14、3)sin 1(lim 00=+=-+x x x x x x f x f x x 令8) 1(3)1(lim ,sin 0=-+=t t f t f t x t ，又0)1(=f 上式左边=) () 1()1(lim 3)1()1(lim 00t f t f t f t f t t +-+ =(1)3(1)4(1)f f f += 则4(1)8f = (1)2f = 所求切线方程为)6(20-=-x y 即 0122=-y x 五、高阶导数 1求二阶导数 例1 设)ln(22a x x y +=，求y 解：y x = + 2 2 2 2 2 2 1)1(1a x a x x a x x +=

15、+ += 32223 22) (2)(21a x x x a x y +-=?+-=- 例2 设2ln(1)x arctan t y t =?=+? 求 2 2dx y d 解：t t t t dt dx dt dy dx dy 211122 2 =+= 2 222 ()()2 /2(1)11dy dy d d d y dx dx dx t dx dx dt dt t =+ 例3 设)(x y y =由方程12 2=+y x 所确定，求y 解：022=+yy x ，y x y - = 222 1x y y xy y y y y + ?-=-=- 2233 1 y x y y +=-=- 2求n

16、 阶导数（2n ，正整数） 先求出, y y ，总结出规律性，然后写出)(n y ，最后用归纳法证明。 有一些常用的初等函数的n 阶导数公式 （1）x e y = x n e y =)( （2）)1,0(=a a a y x n x n a a y )(l n )(= （3）x y sin = )2sin()( n x y n += （4）x y cos = )2 cos() ( n x y n += （5）x y ln = n n n x n y =)!1()1(1)( 两个函数乘积的n 阶导数有莱布尼兹公式 )()() ()(0 )() () (x v x u C x v x u n k

17、k n k k n n =-= 其中)! (! k n k n C k n -= ，)()()0(x u x u =，)()()0(x v x v = 假设)(x u 和)(x v 都是n 阶可导 例1 设k x y =（k 正整数），求) (n y （n 正整数） 解：? ?+-=-k n k n x n k k k y n k n , 0, ,)1()1() ( 例2 设x x y n -=1，求)(n y （n 正整数） 解：)1(11 11)1(21+-=-+-= -x x x x x x y n n n 1 )(1)() 1(! )1(+-= -=n n n x n x y 例3 设

18、2 132 y x x =-+，求) (n y （n 正整数） 解：11)1()2(1 1 21)2)(1(1=-= x x x x x x y 22(2)(1)y x x -= 33(1)(2)(2)(1)y x x -= ()(1)(1)(1)!(2)(1)n n n n y n x x -+-+= 例4 设x x y 44cos sin +=，求)(n y （n 正整数） 解：2 2)22cos 1()22cos 1( x x y +-= x x 4c o s 4143)2c o s 22(412 +=+= )2 4cos(4)24cos(4411)(n x n x y n n n +=

19、+?=- 例5 设x e x y 23=，求)(n y （n 正整数） 解：用莱布尼兹公式 )(2)(30 ) ()()(k n x k n k k n n e x C y -= ) 3(2)2(2)1(22)(23)(66 ) 2)(1()(62)1()(3)(?-+-+ +=n x n x n x n x e n n n e x n n e nx e x )2)(1()1(612822323-+-+=-n n n x n n nx x e x n 2.2 微分中值定理 本节专门讨论考研数学中经常考的四大定理：罗尔定理，拉格朗日中值定理，柯西中 值定理和泰勒定理（泰勒公式）。 这部分有关考题

20、主要是证明题，其中技巧性比较高，因此典型例题比较多，讨论比较详细。 （甲） 内容要点 一、罗尔定理 设函数)(x f 满足 （1）在闭区间b a ,上连续； （2）在开区间（b a ,）内可导； （3）)()(b f a f = 则存在),(b a ，使得()0f = 几何意义：条件（1）说明曲线)(x f y =在)(,(a f a A 和)(,(b f b B 之间是连续曲线；包括点A 和点B。 条件（2）说明曲线)(x f y =在B A ,之间是光滑曲线，也即每一点都有不垂直于x 轴的切线不包括点A 和点B 。 条件（3）说明曲线)(x f y =在端点A 和B 处纵坐标相等。 结论说

21、明曲线)(x f y =在点A 和点B 之间不包括点A 和点B 至少有一点，它的切线平行于x 轴。 二、拉格朗日中值定理 设函数)(x f 满足 （1）在闭区间b a ,上连续； （2）在开区间（b a ,）内可导 则存在),(b a ，使得 ()() ()f b f a f b a -=- 或写成()()()()()f b f a f b a a b -=-k ，有? -=k x dx x f xe k f 10 1)()1(， 求证存在)1,0(使1()(1)()f f -=- 证：由积分中值定理可知存在10,c k 使得)01)()(11 01-=-?k c f ce dx x f xe

22、 c k x 令)()(1x f xe x F x -=，可知)1()1(f F = 这样1 110 (1)(1)()()()x c k F f k xe f x dx ce f c F c -=? ，对)(x F 在1,c 上用罗尔定理 （三个条件都满足）存在)1,0()1,(?c ，使()0F = 而111()()()()x x x F x e f x xe f x xe f x =-+ 11 ()()(1)()0F e f f -=-= 又01-e ，则1 ()(1)()f f =- 在例3的条件和结论中可以看出不可能对)(x f 用罗尔定理，否则结论只是()0f =，而且条件也不满足。

23、因此如何构造一个函数)(x F ，它与)(x f 有关，而且满足区间上罗尔定理的三个条件，从()0F =就能得到结论成立，于是用罗尔定理的有关证明命题中，如何根据条件和结论构造一个合适的)(x F 是非常关键，下面的模型，就在这方面提供一些选择。 模型：设)(x f 在,b a 上连续，（b a ,）内可导，0)()(=b f a f 则下列各结论皆成立。 （1）存在),(1b a 使11()()0f lf +=（l 为实常数） （2）存在),(2b a 使1 222()()0k f k f -+=（k 为非零常数） （3）存在),(3b a 使333()()()0f g f +=（)(x g

24、 为连续函数） 证：（1）令)()(x f e x F lx =，在,b a 上用罗尔定理 ()()()lx lx F x le f x e f x =+ 存在),(1b a 使()()()011111 =+=f e f le F l l 消去因子1 l e ，即证. （2）令()()k x F x e f x =，在,b a 上用罗尔定理 1()()() k k k x x F x kx e f x e f x -=+ 存在),(2b a 使2212222()()()0k k k F k e f e f -=+= 消去因子k e 2 ，即证。 （3）令)()()(x f e x F x G

25、=，其中()()G x g x = () () ()()() ()G x G x F x g x e f x e f x =+ 由3()0F = 清去因子) (3G e ，即证。 例4 设)(x f 在1,0上连续，在（0，1）内可导，0)1()0(=f f ，1)2 1 (=f ，试证： （1）存在)1,2 1(，使=)(f 。 （2）对任意实数，存在),0(，使得()()1f f -= 证明：（1）令x x f x -=)()(，显然它在0, 1上连续，又 021)21(,01)1(=x f ； （2）在),(b a 内存在，使 ) (2)(2 2 f dx x f a b b a = -

26、? ； （3）在),(b a 内存在与（2）中相异的点，使 222()()()b a f b a f x dx a -= -? 证：（1）因为a x a x f a x -+ ) 2(lim 存在，故0)2(lim =-+ a x f a x ，由)(x f 在b a ,上连续，从而0)(=a f . 又()0f x 知)(x f 在),(b a 内单调增加，故 ),(,0)()(b a x a f x f = （2）设)()()(,)(2b x a dt t f x g x x F x a = =? ， 则()()0g x f x =，故)(x F ，)(x g 满足柯西中值定理的条件，于是

27、在),(b a 内 存在点，使 22 2()() ()()() ()()()x b a x a a a F b F a b a x g b g a f t dt f t dt f t dt =-= = - -? ?， 即 ) (2)(2 2 f dx x f a b b a = -? （3）因)()(0)()(a f f f f -=-=，在,a 上应用拉格朗日中值定理，知在 (,)a 内存在一点，使()()()f f a =-，从而由（2）的结论得 22 2()() ()b a b a f a f x dx -= -? ， 即有 2 2 2()()()b a f b a f x dx a -

28、=-?. 三、泰勒公式 例1 设)(x f 在-1，1上具有三阶连续导数，且0)1(=-f ，1)1(=f ，(0)0f =. 求证：)1,1(-?，使3)(=f . 证：麦克劳林公式 ()()()()()3 2! 3!2000 x f x f x f f x f + += 其中1,1x -，介于0与x 之间。 (0)0f = 2311(0)1 0(1)(0)(1)()(1)(10)2!6f f f f =-=+ -+-，则称()0 x f 为函数()x f 的一个极小值，称0 x 为函数()x f 的一个极小值点。 函数的极大值与极小值统称极值。极大值点与极小值点统称极值点。 2、必要条件（

29、可导情形） 设函数()x f 在0 x 处可导，且0 x 为()x f 的一个极值点，则()00f x = 我们称满足()00f x =的0 x 为()x f 的驻点，可导函数的极值点一定是驻点，反之不然。 极值点只能是驻点或不可导点，所以只要从这两种点中进一步去判断。 3、第一充分条件 设()x f 在0 x 处连续，在0如果在()00,x x -内的任一点x 处，有()0f x ，而在()+00,x x 内的任一点x 处，有()0f x 如果在()00,x x -内的任一点x 处，有()0f x ，则()0 x f 为极小值，0 x 为极小值点； 如果在()00,x x -内与()+00,

30、x x 内的任一点x 处，()f x 的符号相同，那么 ()0 x f 不是极值，0 x 不是极值点 4、第二充分条件 设函数()x f 在0 x 处有二阶导数，且()00=x f ，()00f x ，则 当 ()00f x ，()0 x f 为极小值，0 x 为极小值点 三、函数的最大值和最小值 1求函数)(x f 在,b a 上的最大值和最小值的方法。 首先，求出)(x f 在),(b a 内所有驻点，和不可导点k x x .,1。 其次计算)(),(),(.,),(1b f a f x f x f k 最后，比较)(),(),(.,),(1b f a f x f x f k ，其中最大者

31、就是)(x f 在,b a 上的最大值M ；其中最小者就是)(x f 在,b a 上的最小值m 。 2最大（小）值的应用问题 首先要列出应用问题中的目标函数及其考虑的区间，然后再求出目标函数在区间内的最大（小）值。 四、凹凸性与拐点 1凹凸的定义 设)(x f 在区间上连续，若对任意不同的两点21,x x ，恒有 )()(21)2( 2121x f x f x x f + （)()(2 1 )2(2121x f x f x x f +x 时，2 2)1x (lnx )1(-x 证：令2 2 )1x (lnx )1x ()x (f = 只需证明0 x 时，0)x (f 易知0)1(f =，1()2ln 2f x x x x x =-+- ， 0)1(f=，由于f (x)的符号不易判断，故进一步考虑 21 f (x)2lnx 1x