量子力学2015第3章一维定态问题

1、2、设粒子处于一维无限深方势阱中，证明处于定态的粒子。讨论的情况，并与经典力学计算结果比较。解 根据题意得定态波函数为： 当时，在经典情况：在区域内间隔中找到粒子的几率为，故有 3、设粒子处于无限深方势阱中，粒子波函数为，为归一化常数。试求：(1)、归一化常数，(2)、粒子处于能量本征态的概率及粒子的平均能量； (3)、设粒子处于基态，在时刻阱宽突然变为，粒子波函数未来得及改变，即 ，问是否还是能量本征态？求测得粒子能量仍为的概率。解 (1)、由归一化条件得：(2)、由及得。计算能量的平均值及能量的平方的平均值: 或者, 利用公式: 以及 得(3)、粒子处于阱宽为势阱中时，能级和本征函数分别为

2、 、可见不是能量本征态。当粒子能量为时，对应波函数为由及得 所以，测得粒子能量仍为的概率。4、一维无限深方势阱中的粒子，设初始时刻处于状态，其中和分别为基态和第一激发态。求(1)、和；(2)、能量平均值和能量平方平均值；(3)、能量的涨落；(4)、计算体系的特征时间(即几率密度随时间变化的周期)及的值。解 由题意得：粒子处在能量本征态下具有的能量为。(1)、将初始状态波函数按能量本征态展开知，在本题中展开系数为： 、。对于任意时刻时状态为。(2)、解法一由得。同理， 由得。解法二 由平均值公式及能量本征函数的正交归一性得 (3)、将上面得到的结果代入得(4)、由上面求出的几率密度表达式得所以，

3、特征时间，从而。5、一维无限深方势阱中的粒子，设处于态。求粒子的动量分布。解 根据题意知，波函数和能级分别为： 和由傅立叶变换得粒子的动量几率分布函数为：6、求不对称势中粒子的能量本征值。 或者证明: 对于的状态，能量具有关系式：，其中。解 当粒子处在束缚态。能量本征方程为: 令及, 则能量本征方程变为 满足束缚条件的解为: 由处波函数及一阶导数连续得: 由得令，则上式变为， 这就是能量关系式， 其中和是待定常数。下面求角度和，由得 ，代入能量关系式，得到最终结果为 。9、设粒子在一维无限深势阱中运动。求粒子作用于阱壁上的平均压力。解 在阱宽为无限深势阱中运动粒子的能量为。设阱壁分别在和处，粒

4、子对阱壁的平均作用力为。假定处阱壁在该力作用下沿正方向移动了距离。粒子对外做功为，它等于粒子的能量减少，即。10、把传导电子限制在金属内部的是金属内势的一种平均势，对下列一维模型，试计算情况下，接近金属表面的传导电子的反射率。解 能量本征方程为由于粒子从左边入射，故。(1)、，令及，则能量本征方程变为 其解为： 在点波函数及其一阶导数连续得：接近金属表面的传导电子的反射率为 11、对于任意型的一维位垒（如右图所示），仅就粒子的入射能量时，证明：关系式总是自动满足。式中反射系数，是透射系数。证明 由于势垒是一条任意的曲线， 没有给定， 则不能确定。 因而无法计算各种几率流密度。但由图可知：以及及。由能量本征方程为得 ，其中和由此可得。由粒子几率流守恒可知：15、设，求反射系数。解 能量本征方程为作变量替换：令，则及，此时能量本征方程变为 , 其中及。当时，相当于。此时渐进方程为： ， 解得 。对 波函数做变换：令，有及代入能量本征方程得令，则上式变为超几何微