《平面向量的运算》平面向量及其应用课件(第4课时向量的数量积)x

1、6.2平面向量的运算6.2.4向量的数量积6.2平面向量的运算1.向量的夹角定义：已知两个非零向量a和b，O是平面上的任意一点，作 =a， =b，则AOB=(0)叫做向量a与b的夹角(如图所示).1.向量的夹角平面向量的运算平面向量及其应用课件(第4课时向量的数量积)x(1)范围：向量a与b的夹角的范围是0.(2)当=0时，a与b同向；当=时，a与b反向.(3)如果a与b的夹角是 我们说a与b垂直，记作ab.(1)范围：向量a与b的夹角的范围是0.【思考】(1)等边ABC中，向量 所成的角是60吗？提示：向量 所成的角是120.【思考】(2)向量夹角的范围与异面直线所成的角的范围相同吗？提示：

2、向量的夹角和直线的夹角范围是不同的，它们分别是0，和 (2)向量夹角的范围与异面直线所成的角的范围相同2.向量的数量积的定义已知两个非零向量a与b，它们的夹角为，我们把数量|a|b|cos 叫做a与b的数量积(或内积)，记作ab，即ab=|a|b|cos .规定：零向量与任一向量的数量积为0.2.向量的数量积的定义【思考】(1)把“ab”写成“ab”或“ab”可以吗，为什么？提示：不可以，数量积是两个向量之间的乘法，在书写时，一定要严格，必须写成“ab”的形式.【思考】(2)向量的数量积运算的结果仍是向量吗？提示：向量的数量积运算结果不是向量，是一个实数.(2)向量的数量积运算的结果仍是向量吗

3、？3.投影向量的概念如图所示： =a， =b，过B作BB1垂直于直线OA，垂足为B1，则 叫做b在向量a上的投影向量，得| |=|b|cos |.3.投影向量的概念平面向量的运算平面向量及其应用课件(第4课时向量的数量积)x4.向量的数量积的性质设a与b都是非零向量，为a与b的夹角.(1)垂直的条件：abab=0.(2)当a与b同向时，ab=|a|b|；当a与b反向时，ab=-|a|b|.4.向量的数量积的性质(3)模长公式：aa=|a|2或|a|= (4)夹角公式：cos =_.(5)|ab|a|b|.(3)模长公式：aa=|a|2或|a|= 【思考】(1)对于任意向量a与b，“abab=0

4、”总成立吗？提示：当向量a与b中存在零向量时，总有ab=0，但是向量a与b不垂直.【思考】(2)当“cos = ”为负值时，说明向量a与b的夹角为钝角，对吗？提示：不对，cos = =-1时，向量a与b的夹角为180.(2)当“cos = ”为负值时，说明向量a与b的5.向量数量积的运算律(1)ab=ba(交换律).(2)(a)b=(ab)=a(b)(结合律).(3)(a+b)c=ac+bc(分配律).5.向量数量积的运算律【思考】“若ab=ac，则b=c”成立吗？提示：不成立.【思考】【素养小测】1.思维辨析(对的打“”，错的打“”)(1)两个向量的数量积是向量.()(2)对于向量a，b，若

5、ab=0，则a=0或b=0.()(3)(ab)2=a22ab+b2.()【素养小测】提示：(1).两个向量的数量积没有方向，是实数，不是向量.(2).ab=0，还可能有ab.(3).提示：(1).两个向量的数量积没有方向，是实数，不是向量.2.在ABC中，BC=5，AC=8，C=60，则 =()A.20B.-20C.20 D.-20 2.在ABC中，BC=5，AC=8，C=60，则 【解析】选B. =| | |cos 120=58 =-20.【解析】选B. =| | |cos 13.若|a|=2，|b|=3，a，b的夹角为120，则a(4b)的值为()A.12B.-12C.12 D.-12 3

6、.若|a|=2，|b|=3，a，b的夹角为120，则a【解析】选B.由题意，得a(4b)=4(ab)=4|a|b|cos =423cos 120=-12.【解析】选B.由题意，得a(4b)=4(ab)=类型一向量数量积的计算及其几何意义【典例】1.(2018全国卷)已知向量a，b满足|a|=1，ab=-1，则a(2a-b)=() A.4B.3C.2D.0类型一向量数量积的计算及其几何意义2.如图，四边形ABCD是边长为2的菱形，BAD=60，E，F分别为BC，CD的中点，则 =()2.如图，四边形ABCD是边长为2的菱形，BAD=60，平面向量的运算平面向量及其应用课件(第4课时向量的数量积)

7、x3.已知|a|=3，|b|=5，且ab=-12，则a在b方向上的投影为_，b在a方向上的投影为_.3.已知|a|=3，|b|=5，且ab=-12，则a在b方【思维引】1.利用向量数量积的定义与运算律计算.2.先分别用基向量 表示 再利用向量数量积的定义与运算律计算.3.向量a在向量b方向上的投影为|a|cos = 向量b在向量a方向上的投影为|b|cos =【思维引】【解析】1.选B.因为|a|=1，ab=-1，所以a(2a-b)=2a2-ab=21-(-1)=3.【解析】2.选D.在菱形ABCD中，边长为2，BAD=60，所以 =22cos 60=2，又因为 所以 2.选D.在菱形ABCD

8、中，边长为2，BAD=60，所以3.设a与b的夹角为，则有ab=|a|b|cos =-12，所以向量a在向量b方向上的投影为|a|cos = = 向量b在向量a方向上的投影为|b|cos = = =-4.3.设a与b的夹角为，则有答案：- -4答案：- -4【内化悟】如何解决几何图形中向量数量积的计算？提示：一般选择已知长度与夹角的向量作基底，用基底表示要求数量积的向量，再计算.【内化悟】【类题通】求平面向量数量积的方法(1)若已知向量的模及其夹角，则直接利用公式ab=|a|b|cos .求解时要注意灵活使用数量积的运算律.【类题通】(2)若所求向量的模与夹角未知，应先选取已知模与夹角的两个向

9、量，表示出所求向量，再代入运算.(2)若所求向量的模与夹角未知，应先选取已知模与夹角的两个向【习练破】1.已知等腰ABC的底边BC长为4，则 =_.【习练破】【解析】如图，过A作ADBC，垂足为D.【解析】如图，过A作ADBC，垂足为D.因为AB=AC，所以BD= BC=2，于是| |cos ABC=| |= | |= 4=2.所以 =| | |cosABC=24=8.答案：8因为AB=AC，所以BD= BC=2，2.已知|a|=10，|b|=4，a与b的夹角=120.求：(1)ab.(2)a在b方向上的射影.(3)(a-2b)(a+b).(4)(a-b)2.2.已知|a|=10，|b|=4，

10、a与b的夹角=120.【解析】(1)ab=|a|b|cos 120=104 =-20.(2)a在b方向上的射影为|a|cos 120=10 =-5.(3)(a-2b)(a+b)=a2+ab-2ab-2b2=a2-ab-2b2=|a|2-|a|b|cos 120-2|b|2=100-104 -242=88.【解析】(1)ab=|a|b|cos 120=104(4)(a-b)2=a2-2ab+b2=|a|2-2|a|b|cos 120+|b|2=100-2104 +42=100+40+16=156.(4)(a-b)2=a2-2ab+b2=|a|2-2|a|【加练固】(2019烟台高一检测)在ABC

11、中，已知| |=| |，AB=1，AC=3，M，N分别为BC的三等分点，则 =()【加练固】【解析】选B.因为| |=| |，所以BAC=90.又因为M，N分别为BC的三等分点，【解析】选B.因为| |=| |，所平面向量的运算平面向量及其应用课件(第4课时向量的数量积)x类型二与向量模有关的问题【典例】1.(2017全国卷)已知向量a，b的夹角为60，|a|=2，|b|=1，则|a+2b|=_ .类型二与向量模有关的问题2.(2019沂南一中高一检测)已知向量a，b满足|b|=5，|2a+b|=5 |a-b|=5 则|a|=_.2.(2019沂南一中高一检测)已知向量a，b满足|b|=【思维

12、引】利用模长公式：aa=|a|2或|a|= = 解决.【思维引】利用模长公式：aa=|a|2或|a|= 【解析】1. =(a+2b)2=|a|2+2|a|2b|cos 60+ =22+222 +22=4+4+4=12，所以 答案：2 【解析】1. =(a+2b)22.由已知有 将b2=|b|2=25代入方程组，解得|a|= 答案： 2.由已知有 【内化悟】根据模长公式，求向量的模的问题应首先做怎样的转化？提示：求模问题一般转化为求模的平方.【内化悟】【类题通】关于向量模的计算(1)利用数量积求模问题，是数量积的重要应用，解决此类问题的方法是对向量进行平方，将向量运算转化为实数运算.【类题通】(

13、2)拓展公式：(ab)2=|a|22ab+|b|2，(a+b)(a-b)=|a|2-|b|2.(2)拓展公式：【习练破】已知a，b满足|a|=4，|b|=3，夹角为60，则|a+b|=() A.37B.13C. D. 【习练破】【解析】选C.|a+b| 【解析】选C.|a+b| 【加练固】已知向量a，b满足|a|=|b|=5，且a与b的夹角为60，求|a+b|，|a-b|，|2a+b|.【加练固】【解析】因为|a+b|2=(a+b)2=(a+b)(a+b)=|a|2+|b|2+2ab=25+25+2|a|b|cos 60=50+255 =75.所以|a+b|=5 |a-b|2=(a-b)2=(

14、a-b)(a-b)=|a|2+|b|2-2ab=|a|2+|b|2-2|a|b|cos 60=25，【解析】因为|a+b|2=(a+b)2=(a+b)(a+b所以|a-b|=5.|2a+b|2=(2a+b)(2a+b)=4|a|2+|b|2+4ab=4|a|2+|b|2+4|a|b|cos 60=175.所以|2a+b|=5 所以|a-b|=5.类型三向量的夹角与垂直问题角度1求向量的夹角【典例】(2019四平高一检测)已知a，b均为非零向量，且|a|=|b|=|a-b|，则向量a与a+b的夹角为_.类型三向量的夹角与垂直问题【思维引】利用夹角公式：cos = 计算.【思维引】利用夹角公式：c

15、os = 计算.【解析】设a与a+b的夹角为，因为|a|=|b|=|a-b|，所以a2=b2=(a-b)2=a2+b2-2ab，故ab= |a|2，所以|a+b|= |a|，【解析】设a与a+b的夹角为，cos = 所以a与a+b的夹角为30.答案：30cos = 【素养探】解决向量的夹角与垂直问题时，常常需要结合图形分析问题，突出体现了数学抽象和直观想象的核心素养.若将本例条件改为“|a|=3|b|=|a+2b|”，试求a与b夹角的余弦值.【素养探】【解析】设a与b夹角为，因为|a|=3|b|，所以|a|2=9|b|2.又因为|a|=|a+2b|，所以|a|2=|a|2+4|b|2+4ab=

16、|a|2+4|b|2+4|a|b|cos =13|b|2+12|b|2cos ，【解析】设a与b夹角为，因为|a|=3|b|，即9|b|2=13|b|2+12|b|2cos ，故有cos =- 即9|b|2=13|b|2+12|b|2cos ，角度2向量垂直的应用【典例】已知非零向量m，n满足4|m|=3|n|，m，n的夹角为，cos = .若n(tm+n)，则实数t的值为 ()A.4B.-4C. D.- 角度2向量垂直的应用【思维引】利用向量垂直的充要条件求参数.【思维引】利用向量垂直的充要条件求参数.【解析】选B.由4|m|=3|n|，可设|m|=3k，|n|=4k(k0)，又因为n(tm

17、+n)，所以n(tm+n)=ntm+nn=t|m|n|cos +|n|2=t3k4k +(4k)2=4tk2+16k2=0.所以t=-4.【解析】选B.由4|m|=3|n|，【类题通】1.求向量夹角的基本步骤【类题通】2.向量垂直问题的处理思路解决与垂直相关题目的依据是abab=0，利用数量积的运算代入，结合与向量的模、夹角相关的知识解题.2.向量垂直问题的处理思路【习练破】1.在四边形ABCD中， 且 =0，则四边形ABCD是()A.矩形B.菱形C.直角梯形D.等腰梯形【习练破】【解析】选B.因为 即一组对边平行且相等， =0，即对角线互相垂直，所以四边形ABCD为菱形.【解析】选B.因为

18、即一组对边平行且相等，2.(2019全国卷)已知非零向量a，b满足|a|=2|b|，且(a-b)b，则a与b的夹角为()2.(2019全国卷)已知非零向量a，b满足|a|=【解析】选B.设夹角为，因为(a-b)b，所以(a-b)b=ab-b2=0，所以ab=b2，所以cos = = 又0，所以a与b的夹角为 ，故选B.【解析】选B.设夹角为，因为(a-b)b，所以(a-【加练固】已知非零向量a，b满足a+3b与7a-5b互相垂直，a-4b与7a-2b互相垂直，求a与b的夹角.【加练固】【解析】设a与b的夹角为，由已知条件得 即 -得23b2-46ab=0，【解析】设a与b的夹角为，所以2ab=b2，代入得a2=b2，所以|a|=|b|，所以cos = 因为0，所以= .所以2ab=b2，代入得a2=b2，类型四利用向量的模长公式求力的大小【物理情境】一质点受到平面上的三个力F1，F2，F3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状