03-一次函数直角三角形教师

1、 一次函数&直角三角形第三讲 一次函数概念&直角三角形 Part I ：Function一次函数的图像与性质【新课学习】引例：一根蜡烛现长为16cm, 4小时后还剩6cm, 设x小时后，蜡烛剩余长y (cm).求y关于x的函数解析式，并写出自变量的取值范围。 答：（）【一次函数的概念】 形如 （，为常数）的函数叫做一次函数，定义域是一切实数。 特别地，当b=0时，形如（）的函数叫做正比例函数.故正比例函数是一次函数，一次函数不一定是正比例函数.形如 （是常数）的函数叫做常值函数. 表示：不论自变量怎样变化，函数值总是常数.【一次函数的图像】请用“列表、描点、连线”的方法作出下列函数的图像，并总

2、结如何既快又准的作出一次函数的图像。（1） （2） （图略）【结论】 一次函数（）的图像是 一条直线 ； 该直线与y轴交点为（0，b），b称为该直线在y轴上的 截距 。练习： 直线与x轴的交点坐标为_（-2,0）_，与y轴的交点坐标为_（0,4）_，与两坐标轴围成的三角形面积为_4_. 已知直线和，求：它们与x轴所围成的三角形的面积； 它们与y轴所围成的三角形的面积.解：（1）3；（2）6 若某直线在y轴上的截距是6，且经过点（4 ，2），求该直线的函数解析式.解： 若某直线经过点A（2 ，5）、B（1 ，7），求该直线的函数解析式解：代入，则 所求函数： 直线l与直线的交点的横坐标为2，与直

3、线的交点的纵坐标为7，求直线l的解析式。解：【探究】在同一坐标系下画出 , , 的图像，观察图像特点，总结规律。【结论】 一次函数 （）的图像可由正比例函数 的图像平移得到：当时，向上平移个单位； 当时，向下平移个单位； 两条直线与平行的条件是；练习： 直线沿y轴向 上 平移 2 个单位得到直线. 把直线沿y轴向下平移5个单位，则所得直线的函数解析式是_. 已知直线与直线没有交点，则k_5_. 一次函数的图像与直线平行，且经过点（1，2），求此函数的解析式.解：设所求函数： 把（1，）代入，则， ，【一次函数的性质】一次函数（）的图像在直角坐标平面内的位置情况如下：（1）当k 0, b 0时，

4、图像经过第一、二、三象限； y随x的增大而增大；（2）当k 0, b 0时，图像经过第一、三、四象限； y随x的增大而增大；（3）当k 0时，图像经过第一、二、四象限； y随x的增大而减小；（4）当k 0, b 0时，图像总经过一、三象限， y随x的增大而增大；当k 0时，图像总经过二、四象限， y随x的增大而减小.练习：已知一次函数的图像不经过第四象限，求k的取值范围。解：一次函数的图像与y轴的交点在x轴的上方，且y随着x的增大而减小，求m的取值范围.解：直线经过第一、三、四象限，那么直线不经过第_一_象限.已知一次函数，若y随x的增大而减小，则该函数图像经过第_一、二、四_象限.【巩固与提

5、高】 若函数的图像与坐标轴围成的三角形面积为6，求k的值.解：设直线与轴交点为，（0，3） 与轴交点为（，0） （4，0）或（，0） 当为（4，0）时. 令， 令轴交点为 ， 若函数的图像与坐标轴围成的三角形面积为4，求b的值.解：令 令 与坐标轴交于（0，）、 已知直线l1过点A（0 ，2）、B（2 ，2），直线l2过点A，且l1、l2与x轴围成的三角形面积为4，求l1和l2的函数解析式.解： l1：l2：或直线过、且平行于直线，O为坐标原点，求AOB的面积。 解： 令 5. 某机动车出发前油箱内有油42升，行驶若干小时后，途中在加油站加油若干升。油箱中余油量Q（升）与行驶时间t（时）之间的

6、函数关系如图5所示，根据下图回答问题：（1）机动车行驶 5 小时后加油；（2）中途加油 24 升；（3）写出直线CD的关系式 y= -6x+66 Q（升Q（升）t（时）CA42363024181261 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11OBD 图5 图66.图中表示一次函数与正比例函数（、是常数，）图象的是（ C ）yyxyyyxxxooooABCDDCPBA7.如图，在矩形中，AB=2，动点P从点B出发，沿路线作匀速运动，那么的面积S与点P运动的路程之间的函数图象大致是（ B ）DCPBAOO3113SxAO113SxO3Sx3O113SxBCD28.如图，三个大小相同的正方形拼成六

7、边形，一动点从点出发沿着 方向匀速运动，最后到达点.运动过程中的面积（）随时间（t）变化的图象大致是（ B ）Part II ：The Geometric直角三角形直角三角形性质：直角三角形中，两个锐角互余。在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。特殊的直角三角形：在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半；反过来，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30。在直角三角形中，如果一个锐角等于45，那么这个三角形是等腰直角三角形。勾股定理及逆定理直角三角形两直角边的平方和，等于斜边的平方；反之，若三角形一边的平方等于另两边的平方和，则这个三角形是

8、直角三角形。【含30的直角三角形】如图，在ABC中，C=90，A=30，AB的垂直平分线交AC与D，交AB与E。求证：AD=2DC。证明：连接BD, 由于ED是AB的垂直平分线，所以EDAB,AD=BD，即ABD=A=30在RtABC中，A=30则B=60所以DBC=30，故BD是B的角平分线,DE=DC.在RtABC中，A=30，所以AD=2DE=2DC如图，OC平分，P为OC上任意一点，PDOA交OB于D，PEOA于E。若OD=4cm，求PE的长。如图，在中，是高，是的中点，的延长线交于点，且，若，求的长。证明， 是的中点，又在中，易知,.【直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半】如图，已知

9、在钝角ABC中，AC、BC边上的高分别是BE、AD，BE、AD的延长线交于点H，点F、G分别是BH、AC的中点.BEFHDABEFHDAGC图 （2）连结FG，试问FDG能否为等腰直角三角形？若能，试确定ABC的度数，并写出你的推理过程；若不能，请简要说明理由.证明：（1）AC、BC边上的高分别是BE、AD，ADBD，AEBHACD和BDH和AEH是Rt 点F、G分别是BH、AC的中点. AGCGDG，BFHFDF GADGDA，FDHFHDAEH90，GADFHD90GDAFDH90，GDF90（2）FDG能为等腰直角三角形。若FDG为等腰三角形，则DGDF，即ABDHBD，此时E点与B点重

10、合。即ABBH，ABC45。如图：在内，D是AC上任意一点，DE于E,M、N分别是BD、CE的中点.求证：证明：连接EM,MCDE垂直AB于E,DEB为Rt，M是BD的中点，EM=DB,同理在RtDCB中，M为DB的中点CM=DB,CM=EM=DB,又N为EC中点MN为CE的垂直平分线即MNCE在ABC中，ACB=90，D是AB边的中点，点F在AC边上，DE与CF平行且相等。求证：AE=DF 证明：连接EFDECF，EDFCFDDEFC，DFFD，DEFFCD（SAS）DEFFCD，CDEFDECF，DEFEFA，FCDEFA，ACB90，D是AB中点，CDAD，DAFDCFEFA，EFAD又

11、AFFA，DAFEFA（SAS），AEDF【等腰直角三角形】如图，在ABC中，ACB=90，D、E为AB上的点，且AE=AC，BD=BC，EFCD于F。求证：CF=EF。证明：由于，故而EFCD于F，所以CEF是等腰直角三角形。即CF=EF。如图，ABC是等边三角形，DBC是以BC为斜边的等腰直角三角形，AECD与E。求证：AE=ED。证明：连接AD。易证ABDACD（SAS）,即BAD=CAD=30 又ACD =ABD =ABCDBC =6045=15 在RtAEC中，EAC =9015=75 所以EAD =7530=45 在RtAED中，EAD =45 所以AED等腰直角三角形，即AE=E

12、D。如图，C为线段AB上的点，过A，B，C分别作AB的垂线AD，BE，CF，使AD=BC，BE=AC，CF=AB。求证：AFD=BFE。证明：连接AE,BD。由于AD=BC，BE=AC，CF=AB易证ABDBCF，ABEACF可得BD=BF, ABD=CFB，即DBF=ABD+CBF=CFB+CBF=90同理可得AE=AF,且EAF=90所以AEF，BDF都是等腰直角三角形.AFD=AFEDFE=45DFEBFE=DFBDFE=45DFE 所以AFD=BFE【综合运用】如图：在中，D为垂足，E是AB的中点，EFBC,交AC于点F, 求证：证明：连结DEEF平行于BC（已知）AFE=C（两直线平

13、行，同位角相等）A=2C（已知）A=2AFE（等量代换）BDAC（已知）ABD为直角三角形E是AB的中点（已知）DE是ABD的中线（中线定义）AB=2DE（直角三角形斜边的中线是斜边的一 半）ADE为等腰三角形A=ADEADE=DEF+DFE（三角形的一个外角等于与其不相邻的两个内角之和）A=DEF+DFE2DFE=DEF+DFE即DFE=DEFDE=DF（等角对等边）所以DF=AB如图，P为边BC上一点，且PC=2PB，已知，求的度数。四边形ABCD中，。求AD的长。【课后作业】1.已知一次函数的图象如图1所示，那么的取值范围是（ A ）ABCD图2图22将直线y2x向右平移2个单位所得的直

14、线的解析式是（ C ）。A、y2x2 B、y2x2 C、y2(x2) D、y2(x2)3.如图2，一次函数的图象经过A、B两点，则关于x的不等式的解集是 x2 OxyAB2OxyAB2图3交于点，则该一次函数的表达式为（ B ）ABCD5.一农民带了若干自产的土豆进城出售，为了方便，他带了一些零钱备用，按市场价售出一些后，又降价出售，售出土豆千克数与他手中持有的钱数（含备用零钱）的关系如图所示，结合图象回答农民自带的零钱是5元；降价前他每千克土豆的出售的价格是 2 元；降价后他按每千克0.4元将剩余土豆售完，这时他手中的钱（含备用零钱）是26元，那么他一共带了45千克土豆。已知不论取何值，一次函数的图像都过一定点，求该定点的坐标。 答：一次函数与在同一坐标系中的图像可能是（ C ）如图，直线l1：与x轴、y轴分别交于A、B两点，直线l2：与x轴、y轴分别交于C、D两点，且l1、l2交于点P. 求四边形PCOB的面积. 解：中，令令 ，0），（0，2） 中，令，令 （0，）， 联立， 如图，在中，AB=AC，AC的垂直平分线EF交AC于点E，交BC于F，求证：BF=2CF。在中，试说明是直角三角形。证明：过作平分交于，再过点作于，则垂直平分，又，所以，则，所以如图，正方形ABCD中，点M为AB的中点，点N是EC的中点，求证：。如图