数学建模-微分方程模型课件

1、数学建模 微分方程模型关晓飞同济大学数学科学学院数学建模 微分方程模型一、什么是微分方程？最最简单的例子一、什么是微分方程？最最简单的例子引例 一曲线通过点（1，2），且在该曲线任一点M( x ,y )处的切线的斜率为2x，求该曲线的方程。解 因此，所求曲线的方程为 若设曲线方程为 ， 又因曲线满足条件 根据导数的几何意义可知未知函数满足关系式： 对（1）式两端积分得： 代入（3）得C1 引例 一曲线通过点（1，2），且在该曲线任一点M( x 回答什么是微分方程： 建立关于未知变量、未知变量的导数以及自变量的方程 回答什么是微分方程： 二、微分方程的解法积分方法，分离变量法二、微分方程的解法积

2、分方法，分离变量法可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程.解法为微分方程的解.分离变量法可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程.解法为微分方程的解例1 求解微分方程解分离变量两端积分典型例题例1 求解微分方程解分离变量两端积分典型例题过定点的积分曲线;一阶:二阶:过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线.初值问题: 求微分方程满足初始条件的解的问题.过定点的积分曲线;一阶:二阶:过定点且在定点的切线的斜率为定例2. 解初值问题解: 分离变量得两边积分得即由初始条件得 C = 1,( C 为任意常数 )故所求特解为例2. 解初值问题解: 分离变量得两边积分得即由初始条件得练 习 题练 习

3、题数学建模-微分方程模型课件练习题答案练习题答案三、建立微分方程数学模型1、简单的数学模型2、复杂的数学模型三、建立微分方程数学模型1、简单的数学模型2、复杂的数学模型1、简单的数学模型1、简单的数学模型 利用微分方程求实际问题中未知函数的一般步骤是： (1) 分析问题，设所求未知函数，建立微分方程，确定初始条件； (2) 求出微分方程的通解； (3) 根据初始条件确定通解中的任意常数，求出微分方程相应的特解 利用微分方程求实际问题中未知函数的一般步骤是： 实际问题需寻求某个变量y 随另一变量 t 的变化规律 ：y=y(t).直接求很困难 建立关于未知变量、未知变量的导数以及自变量的方程 建立

4、变量能满足的微分方程 ？哪一类问题 实际问题需寻求某个变量y 随另一变量 t 的直接在工程实际问题中 “改变”、“变化”、“增加”、“减少”等关键词提示我们注意什么量在变化. 关键词“速率”, “增长” ,“衰变” ,“边际的” ,常涉及到导数. 建立方法常用微分方程运用已知物理定律 利用平衡与增长式 运用微元法应用分析法机理分析法在工程实际问题中 “改变”、“变化”、“增加”、“建立微分方程模型时应用已知物理定律，可事半功倍一、运用已知物理定律建立微分方程模型时应用已知物理定律，一、运用已知物理定律例1 铀的衰变规律问题：放射性元素由于不断地有原子放射出微粒子变成其他元素，铀的含量不断的减少

5、，这种现象称为衰变，由原子物理学知道，铀的衰变速度与当时未衰变的原子的含量M成正比，已知t0时刻铀的含量为 ，求在衰变过程中铀的含量M（t）随时间t的变化规律。例1 铀的衰变规律问题：放射性元素由于不断地有原子放射出微铀的衰变速度就是 对时间t的导数 ， 解 因此，由于衰变速度与其含量成正比，可知未知函数满足关系式： 对上式两端积分得： 是衰变系数且初始条件分离变量得代入初始条件得所以有，这就是铀的衰变规律。铀的衰变速度就是 对时间t的导数 例2 一个较热的物体置于室温为180c的房间内，该物体最初的温度是600c，3分钟以后降到500c .想知道它的温度降到300c 需要多少时间？10分钟以

6、后它的温度是多少？一、运用已知物理定律 例2 一个较热的物体置于室温为180c的一、运用已 牛顿冷却（加热）定律：将温度为T的物体放入处于常温 m 的介质中时，T的变化速率正比于T与周围介质的温度差. 分析：假设房间足够大，放入温度较低或较高的物体时，室内温度基本不受影响，即室温分布均衡,保持为m，采用牛顿冷却定律是一个相当好的近似.建立模型：设物体在冷却过程中的温度为T(t)，t0， 牛顿冷却（加热）定律：将温度为T的物体 分析：假设房“T的变化速率正比于T与周围介质的温度差” 翻译为数学语言建立微分方程其中参数k 0，m=18. 求得一般解为“T的变化速率正比于T与周围介质的温度差” 翻译

7、为数学语言建 ln(Tm)=k t+c,代入条件: 求得c=42 ， , 最后得 T(t)=18+42 , t 0. 结果 ：T(10)=18+42 =25.870，该物体温度降至300c 需要8.17分钟. ln(Tm)=k t+c,代入条件: T(t)=1另一个例子：已知物体在空气中冷却的速率与该物体及空气两者温度的差成正比设有一瓶热水，水温原来是100，空气的温度是20，经过20小时以后，瓶内水温降到60，求瓶内水温的变化规律 另一个例子：已知物体在空气中冷却的速率与该物体及空气两者温度例3：已知物体在空气中冷却的速率与该物体及空气两者温度的差成正比设有一瓶热水，水温原来是100，空气的

8、温度是20，经过20小时以后，瓶内水温降到60，求瓶内水温的变化规律 解 可以认为在水的冷却过程中，空气的温度是不变的 由题意，得 其中 k 是比例系数( k 0 ) 由于是单调减少的，即 设瓶内水的温度 与时间之间的函数关系为 ， 则水的冷却速率为 , (1) 所以(1)式右边前面应加“负号”初始条件为例3：已知物体在空气中冷却的速率与该物体及空气两者温度的差成对(1)式分离变量，得 于是方程(1)的特解为 两边积分 得 即把初始条件 代入上式，求得 C = 80 ， 其中比例系数 k 可用问题所给的另一条件 来确定， 即 解得 因此瓶内水温 与时间 的函数关系为对(1)式分离变量，得 二.

9、 利用平衡与增长式 许多研究对象在数量上常常表现出某种不变的特性，如封闭区域内的能量、货币量等. 利用变量间的平衡与增长特性,可分析和建立有关变量间的相互关系. 二. 利用平衡与增长式 许多研究对象在数量上常常表现出解例1 某车间体积为12000立方米, 开始时空气中含有 的 , 为了降低车间内空气中 的含量, 用一台风量为每秒2000立方米的鼓风机通入含 的 的新鲜空气, 同时以同样的风量将混合均匀的空气排出, 问鼓风机开动6分钟后, 车间内 的百分比降低到多少?设鼓风机开动后 时刻 的含量为在 内,的通入量的排出量解例1 某车间体积为12000立方米, 开始时空气中含有 的通入量的排出量的

10、改变量6分钟后, 车间内 的百分比降低到的通入量的排出量的改变量6分钟后, 车间内 的二. 利用平衡与增长式 例2 简单人口增长模型 对某地区时刻 t 的人口总数N(t)，除考虑个体的出生、死亡，再进一步考虑迁入与迁出的影响.二. 利用平衡与增长式 例2 简单人口增长模型 对某地区时 在很短的时间段t 内，关于N(t)变化的一个最简单的模型是： t时间内的人口增长量=t内出生人口数t内死亡人口数+ t内迁入人口数t内迁出人口数 t时间内的净改变量=t时间内输入量t时间内输出量般化更一基本模型 在很短的时间段t 内，关于N(t)变化的一个 t时三. 微元法 基本思想： 通过分析研究对象的有关变量

11、在 一个很短时间内的变化情况.三. 微元法 基本思想： 例 一个高为2米的球体容器里盛了一半的水，水从它的底部小孔流出，小孔的横截面积为1平方厘米. 试求放空容器所需要的时间.2米对孔口的流速做两条假设 ： 1t 时刻的流速v 依赖于此刻容器内水的高度h(t). 2 整个放水过程无能量损失。 例 一个高为2米的球体容器里盛了一半2米对孔口的流速做两条分析：放空容器？容器内水的体积为零容器内水的高度为零 模型建立：由水力学知：水从孔口流出的流量Q为通过“孔口横截面的水的体积V对时间t 的变化率”，即分析：放空容器？容器内水的体积为零容器内水的高度为零 S孔口横截面积（单位：平方厘米） h(t)

12、水面高度（单位：厘米） t时间（单位：秒）当S=1平方厘米，有h(t)h+hr1r2水位降低体积变化S孔口横截面积（单位：平方厘米） h(t) 水面高度（单 在t，t+t 内，水面高度 h(t) 降至h+h(h10ti 11-1/i0t 1di/dt 1/ i(t)先升后降至0P2: s01/ i(t)单调降至01/阈值P3P4P2S0si101D模型4SIR模型相轨线 及其分模型4SIR模型预防传染病蔓延的手段 (日接触率) 卫生水平(日治愈率) 医疗水平传染病不蔓延的条件s01/ 的估计 降低 s0提高 r0 提高阈值 1/ 降低 (=/) , 群体免疫模型4SIR模型预防传染病蔓延的手段

13、 (日接触率) 模型4SIR模型被传染人数的估计记被传染人数比例xs0i0P1i0 0, s0 1 小, s0 1提高阈值1/降低被传染人数比例 xs0 - 1/ = 模型4SIR模型被传染人数的估计记被传染人数比例x 03) 经济增长的条件产值Q(t)增长dQ/dt 03) 经济增长的条件劳动力增长率小于初始投资增长率每个劳动力的产值 Z(t)=Q(t)/L(t)增长dZ/dt03) 经济增长的条件劳动力增长率小于初始投资增长率每个劳动力的产值 Z(t)=Q3 正规战与游击战战争分类：正规战争，游击战争，混合战争只考虑双方兵力多少和战斗力强弱兵力因战斗及非战斗减员而减少，因增援而增加战斗力与

14、射击次数及命中率有关建模思路和方法为用数学模型讨论社会领域的实际问题提供了可借鉴的示例第一次世界大战Lanchester提出预测战役结局的模型3 正规战与游击战战争分类：正规战争，游击战争，混合战一般模型 每方战斗减员率取决于双方的兵力和战斗力 每方非战斗减员率与本方兵力成正比 甲乙双方的增援率为u(t), v(t)f, g 取决于战争类型x(t) 甲方兵力，y(t) 乙方兵力模型假设模型一般模型 每方战斗减员率取决于双方的兵力和战斗力 每方非战斗正规战争模型 甲方战斗减员率只取决于乙方的兵力和战斗力双方均以正规部队作战 忽略非战斗减员 假设没有增援f(x, y)=ay, a 乙方每个士兵的杀

15、伤率a=ry py, ry 射击率， py 命中率正规战争模型 甲方战斗减员率只取决于乙方的兵力和战斗力双方均0正规战争模型为判断战争的结局，不求x(t), y(t)而在相平面上讨论 x 与 y 的关系平方律 模型乙方胜0正规战争模型为判断战争的结局，不求x(t), y(t)而在游击战争模型双方都用游击部队作战 甲方战斗减员率还随着甲方兵力的增加而增加 忽略非战斗减员 假设没有增援f(x, y)=cxy, c 乙方每个士兵的杀伤率c = ry pyry射击率py 命中率py=sry /sxsx 甲方活动面积sry 乙方射击有效面积游击战争模型双方都用游击部队作战 甲方战斗减员率还随着甲方兵0游

16、击战争模型线性律 模型0游击战争模型线性律 模型0混合战争模型甲方为游击部队，乙方为正规部队乙方必须10倍于甲方的兵力设 x0=100, rx/ry=1/2, px=0.1, sx=1(km2), sry=1(m2)0混合战争模型甲方为游击部队，乙方为正规部队乙方必须10倍于4 药物在体内的分布与排除 药物进入机体形成血药浓度(单位体积血液的药物量) 血药浓度需保持在一定范围内给药方案设计 药物在体内吸收、分布和排除过程 药物动力学 建立房室模型药物动力学的基本步骤 房室机体的一部分，药物在一个房室内均匀分布(血药浓度为常数)，在房室间按一定规律转移 本节讨论二室模型中心室(心、肺、肾等)和周

17、边室(四肢、肌肉等)4 药物在体内的分布与排除 药物进入机体形成血药浓度(单位 中心室周边室给药排除模型假设 中心室(1)和周边室(2),容积不变 药物在房室间转移速率及向体外排除速率，与该室血药浓度成正比 药物从体外进入中心室，在二室间相互转移,从中心室排出体外模型建立 中心室周边室给药排除模型假设 中心室(1)和周边室(2),线性常系数非齐次方程对应齐次方程通解模型建立线性常系数非齐次方程对应齐次方程通解模型建立几种常见的给药方式1.快速静脉注射t=0 瞬时注射剂量D0的药物进入中心室,血药浓度立即为D0/V1给药速率 f0(t) 和初始条件几种常见的给药方式1.快速静脉注射t=0 瞬时注

18、射剂量D0的2.恒速静脉滴注t T, c1(t)和 c2(t)按指数规律趋于零药物以速率k0进入中心室0Tt2.恒速静脉滴注t T, c1(t)和 c2(t)按指数规吸收室中心室3.口服或肌肉注射相当于药物( 剂量D0)先进入吸收室，吸收后进入中心室吸收室药量x0(t)吸收室中心室3.口服或肌肉注射相当于药物( 剂量D0)先进入参数估计各种给药方式下的 c1(t), c2(t) 取决于参数k12, k21, k13, V1,V2t=0快速静脉注射D0 ,在ti(i=1,2,n)测得c1(ti)由较大的 用最小二乘法定A,由较小的 用最小二乘法定B,参数估计各种给药方式下的 c1(t), c2(

19、t) 取决于参参数估计进入中心室的药物全部排除参数估计进入中心室的药物全部排除 过滤嘴的作用与它的材料和长度有什么关系 人体吸入的毒物量与哪些因素有关，其中哪些因素影响大，哪些因素影响小。模型分析 分析吸烟时毒物进入人体的过程，建立吸烟过程的数学模型。 设想一个“机器人”在典型环境下吸烟，吸烟方式和外部环境认为是不变的。问题5 香烟过滤嘴的作用 过滤嘴的作用与它的材料和长度有什么关系 人体吸入的毒物量与模型假设定性分析1）l1烟草长， l2过滤嘴长， l = l1+ l2， 毒物量M均匀分布，密度w0=M/l12）点燃处毒物随烟雾进入空气和沿香烟穿行的数量比是a:a, a+a=13）未点燃的烟

20、草和过滤嘴对随烟雾穿行的毒物的(单位时间)吸收率分别是b和4）烟雾沿香烟穿行速度是常数v，香烟燃烧速度是常数u， v uQ 吸一支烟毒物进入人体总量模型假设定性分析1）l1烟草长， l2过滤嘴长， l =模型建立0t=0, x=0，点燃香烟q(x,t) 毒物流量w(x,t) 毒物密度1) 求q(x,0)=q(x)模型建立0t=0, x=0，点燃香烟q(x,t) 毒物流t时刻，香烟燃至 x=ut1) 求q(x,0)=q(x)2) 求q(l,t)t时刻，香烟燃至 x=ut1) 求q(x,0)=q(x)2)3) 求w(ut,t)3) 求w(ut,t)4) 计算 Q4) 计算 Q结果分析烟草为什么有作

21、用?1）Q与a,M成正比， aM是毒物集中在x=l 处的吸入量2) 过滤嘴因素，, l2 负指数作用是毒物集中在x=l1 处的吸入量3）(r) 烟草的吸收作用b, l1 线性作用结果分析烟草为什么有作用?1）Q与a,M成正比， aM是毒物带过滤嘴不带过滤嘴结果分析4) 与另一支不带过滤嘴的香烟比较，w0, b, a, v, l 均相同，吸至 x=l1扔掉提高 -b 与加长l2，效果相同带过滤嘴不带过滤嘴结果分析4) 与另一支不带过滤嘴的香烟比较6 人口预测和控制 年龄分布对于人口预测的重要性 只考虑自然出生与死亡，不计迁移人口发展方程6 人口预测和控制 年龄分布对于人口预测的重要性 只考人口发

22、展方程一阶偏微分方程人口发展方程一阶偏微分方程人口发展方程已知函数（人口调查）生育率（控制人口手段）0tr人口发展方程已知函数（人口调查）生育率（控制人口手段）0生育率的分解总和生育率h生育模式0生育率的分解总和生育率h生育模式0人口发展方程和生育率总和生育率控制生育的多少生育模式控制生育的早晚和疏密 正反馈系统 滞后作用很大人口发展方程和生育率总和生育率控制生育的多少生育模式人口指数1）人口总数2）平均年龄3）平均寿命t时刻出生的人，死亡率按 (r,t) 计算的平均存活时间4）老龄化指数控制生育率控制 N(t)不过大控制 (t)不过高人口指数1）人口总数2）平均年龄3）平均寿命t时刻出生的人

23、，7 烟雾的扩散与消失现象和问题炮弹在空中爆炸，烟雾向四周扩散，形成圆形不透光区域。不透光区域不断扩大，然后区域边界逐渐明亮，区域缩小，最后烟雾消失。建立模型描述烟雾扩散和消失过程，分析消失时间与各因素的关系。问题分析无穷空间由瞬时点源导致的扩散过程，用二阶偏微分方程描述烟雾浓度的变化。观察的烟雾消失与烟雾对光线的吸收，以及仪器对明暗的灵敏程度有关。7 烟雾的扩散与消失现象和炮弹在空中爆炸，烟雾向四周扩散，模型假设1）烟雾在无穷空间扩散，不受大地和风的影响；扩散服从热传导定律。2）光线穿过烟雾时光强的减少与烟雾浓度成正比；无烟雾的大气不影响光强。3）穿过烟雾进入仪器的光线只有明暗之分，明暗界限由仪器灵敏度决定。模型建立1）烟雾浓度 的变化规律热传导定律：单位时间通过单位法向面积的流量与浓度梯度成正比 模型假设1）烟雾在无穷空间扩散，不受大地和风的影响；扩散服从曲面积分的奥氏公式1）烟雾浓度 的变化规律曲面积分的奥氏公式1）烟雾浓度 初始条件Q炮弹释放的烟雾总量 单位强度的点源函数 对任意t, C的等值面是球面 x2+y2+z2=R2; RC 仅当 t, 对任意点(x,y,z), C01）烟雾浓度 的变化规律 初始条件Q炮弹释放的烟雾总量 单位强度的点源函数 对2）穿过烟雾光强