广东省惠州市博罗县杨村中学高三数学文上学期期末试卷含解析

1、广东省惠州市博罗县杨村中学高三数学文上学期期末试卷含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 定义在（0，）上的函数f（x），其导函数是f（x），且恒有f（x）f（x）?tanx成立，则（）Af（）f（）Bf（）f（）C f（）f（）D f（）f（）参考答案：D【考点】利用导数研究函数的单调性【分析】把给出的等式变形得到f（x）sinxf（x）cosx0，由此联想构造辅助函数g（x）=，由其导函数的符号得到其在（0，）上为增函数，则g（）g（），整理后即可得到答案【解答】解：因为x（0，），所以sinx0，cosx0由f（

2、x）f（x）tanx，得f（x）cosxf（x）sinx即f（x）sinxf（x）cosx0令g（x）=，x（0，），则g（x）=0所以函数g（x）=在x（0，）上为增函数，则g（）g（），即，所以，即 f（）f（）故选D2. 已知，且，则向量与夹角的大小为 A. B. C. D.参考答案：C3. 已知函数则下列判断正确的是A.当 时，的最小值为；B.当 时，的最小值为；C.当 时，的最小值为；ks5uvD.对任意的 时，的最小值均为参考答案：A略4. 设，则的大小关系是（ ）A B C D参考答案：5. 已知变量满足：的最大值为A. B. 1C. D.4参考答案：D6. 已知ABC和点M满足

3、0.若存在实数m使得m成立，则m()A2 B3C4 D5参考答案：B7. 已知为虚数单位，复数是纯虚数，则的值为 （ ） A-1 B1 C D参考答案：A略8. 各项均不为零的等差数列中，则等于（ ） A.4018 B.2009 C.2 D.0参考答案：A9. 等差数列的前项之和为，若为一个确定的常数，则下列各数中也可以确定的是（ ）A B C D参考答案：B10. 点在同一个球面上，若球的表面积为，则四面体体积最大值为（ ）A B C. D2参考答案：C二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 设是方程的解，且，则k= 参考答案：略12. 已知直线交抛物线于两点。若该抛物线上

4、存在点，使得为直角，则的取值范围为_。参考答案：【1，+）13. 已知_.参考答案：略14. 以直线坐标系的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线l：y=x与圆C：=4cos相交于A、B两点，则以AB为直径的圆的面积为_参考答案：.15. 已知数列满足，若，则数列的通项 参考答案： ，即 数列 是以2为首项，公比为2的等比数列 故答案为 .点睛：数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项，由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有：求出数列的前几项，再归纳猜想出数列的一个通项公式；将已知递推关系式整理、变形，变成

5、等差、等比数列，或用累加法、累乘法、迭代法求通项16. 某算法的程序框图如右图，若输出的的值为，则正整数的值为 .参考答案：第一次循环，满足条件，;第二次循环，满足条件，;第三次循环，满足条件，;第四次循环，满足条件，;第五次循环，满足条件，第六次循环，不满足条件，输出,所以此时。17. 已知等比数列中，若数列满足，则数列的前项和 参考答案：三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 本小题满分12分)已知公差不为的等差数列的前项和为，且成等比数列.（）求数列的通项公式；（）求数列的前项和公式.参考答案：【解】：（）设等差数列的公差为.因为，所以. 因

6、为成等比数列，所以. 5分由，可得：. 6分所以.7分（）由可知：.9分所以 .11分所以.所以数列的前项和为. 12分略19. 已知m1，直线，椭圆C：，、分别为椭圆C的左、右焦点.（）当直线过右焦点时，求直线的方程;（）设直线与椭圆C交于A、B两点，A、B的重心分别为G、H.若原点O在以线段GH为直径的圆内，求实数m的取值范围.参考答案：解：（）因为直线经过点（，0），所以，得.又因为m1，所以，故直线的方程为.（）设，由，消去x，得，则由，知8,且有由题意知O为的中点.由可知，从而，设M是GH的中点，则M（）.由题意可知，2|MO|GH|, 所以,0,而（）（），所以1且0,从而1m2,

7、故m的取值范围是（1，2）.略20. .已知，函数，其中为自然对数的底数.（）当时，求函数极值；（）求方程的解的个数.参考答案：（）极大值为，无极小值；（）当时，方程有唯一解；当时，方程无解.【分析】（）通过二次求导可判断出在区间上为减函数，根据，可确定的符号，进而得到函数的单调性，根据极值与单调性的关系可知极大值为，无极小值；（）所求的方程解的个数即为零点个数；当时，根据（）的结论可知有唯一零点；当时，根据的单调性和零点存在定理可确定的唯一零点，根据，将表示出来，根据单调性得：；利用导数判断函数单调性，可知，从而得到，进而可知无零点；综合两种情况可得结果.【详解】（）当时，则：令，则：在区间

8、上为减函数又当时，；当时，在区间上为增函数，在区间上为减函数.因此，当时，函数极大值为：，无极小值（）方程的解的个数，即为函数的零点个数当时，由（）知有唯一零点，即有唯一解；当时，由在上为减函数又时，；有唯一零点，设为，且在上单调递增；在上单调递减 由得：.，其中设当时，恒成立在区间上为增函数又当时， 又 此时不存在零点，即方程无解综上所述：当时，方程有唯一解；当时，方程无解.【点睛】本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到根据导数求解函数的单调性、极值和最值、利用导数研究函数零点个数的问题.研究零点个数问题，关键是能够求得函数的单调性，进而根据函数的最值来确定零点个数.21. (本小题满分12

9、分) 已知向量（1）求，并求在上的投影（2）若，求的值，并确定此时它们是同向还是反向？参考答案：（1）1分 2分，4分 在上的投影为6分（2）法一： 8分10分 12分法二：8分10分12分22. 设椭圆的离心率为，圆与x轴正半轴交于点A，圆O在点A处的切线被椭圆C截得的弦长为.(1)求椭圆C的方程；(2)设圆O上任意一点P处的切线交椭圆C于点M、N，求证：为定值.参考答案：(1) (2)见证明【分析】(1)由离心率为得b=c,再根据圆在点处的切线被椭圆截得的弦长为得到点在椭圆上，解方程组即得椭圆的标准方程；（2）先证明当过点与圆相切的切线斜率不存在时，再证明当过点与圆相线的切线斜率存在时，即得证.【详解】(1)设椭圆的半焦距为由椭圆的离心率为，由题知，椭圆的方程为易求得，点在椭圆上，解得，椭圆的方程为.(2)当过点与圆相切的切线斜率不存在时，不妨设切线