振动理论及工程应用4-第四章-多自由度系统的振动课件

1、 4.1 多自由度系统自由振动的运动微分方程 4.2 固有频率 主振型 4.3 主坐标和正则坐标 4.4 固有频率相等的情形 4.5 无阻尼系统对初始条件的响应 4.6 质量、刚度的变化对固有频率的影响 4.7 无阻尼振动系统对激励的响应 4.8 有阻尼系统对激励的响应4.9 复模态理论 第4章 多自由度系统的振动 4.1 多自由度系统自由振动的运动微分方程 第4章 多一般情况下，n个自由度无阻尼系统的自由振动的运动微分方程具有以下形式若用矩阵表示，则可写成式中分别是系统的坐标矢量和加速度矢量0方程中各项均为力的量纲，因此，称之为作用力方程。 4.1 多自由度系统自由振动的运动微分方程一般情况

2、下，n个自由度无阻尼系统的自由振动的运动微分方程具有质量矩阵刚度矩阵质量矩阵刚度矩阵刚度矩阵中的元素称刚度影响系数(在单自由度系统中，简称弹性常数)。它表示系统单位变形所需的作用力。具体地说，如果使第j个质量沿其坐标方向产生单位位移，沿其它质量的坐标方向施加作用力而使它们保持不动，则沿第i个质量坐标方向施加的力，定义为刚度影响系数kij；在第j个质量坐标方向上施加的力称刚度影响系数kjj 。由刚度影响系数的物理意义，可直接写出刚度矩阵，从而建立作用力方程，这种方法称为影响系数法。刚度矩阵刚度矩阵中的元素称刚度影响系数(在单自由度系统中，简称刚度矩现分析求出图所示的三自由度系统的刚度矩阵。 画出

3、各物块的受力图根据平衡条件，有首先令在此条件下系统保持平衡，按定义需加于三物块的力现分析求出图所示的三自由度系统的刚度矩阵。 画出各物块的受力画出受力图，则有同理，令画出受力图，有最后令画出受力图，则有同理，令画出受力图，有最后令因此刚度矩阵为刚度矩阵是对称的。实际上任何多自由度线性系统都具有这个性质。即因此刚度矩阵为刚度矩阵是对称的。例 试写出图所示刚体AB的刚度矩阵并建立系统的运动微分方程。解：刚体AB在图面内的位置可以由其质心C的坐标yC(以水平位置O为坐标原点，且水平运动不计)和绕C转角 确定。例 试写出图所示刚体AB的刚度矩阵并建立系统的运动微分方程图为 时的受力图， 分别表示保持系

4、统在该位置平衡，应加在C点的力和力偶矩由刚体AB的平衡条件得到图为 时的受力图， 图为 时的受力图， 分别表示保持系统在该位置平衡，应加在铅直平面内的力偶矩和加在C点的力。由平衡条件得刚度矩阵图为 时的受力图， 得到微分方程得到微分方程例：图是两层楼建筑框架的示意图，假设梁是刚性的，框架中各根柱为棱柱形，下层弯曲刚度为EJ1，上层为EJ2，采用微小水平运动x1及x2为坐标，求系统的刚度矩阵。 解：广义坐标如图示。利用刚度影响系数法求刚度矩阵。由材料力学知，当悬臂梁自由端无转角时，其梁的等效刚度为例：图是两层楼建筑框架的示意图，假设梁是刚性的，框架中各根柱设画出受力图，列平衡方程，可得到设画出受

5、力图，列平衡方程，可得到最后求得刚度矩阵为=设画出受力图，列平衡方程，可得到设画出受力图，列平衡方程，可在单自由度的弹簧质量系统中，若弹簧常数是k，则 就是物块上作用单位力时弹簧的变形，称柔度影响系数，用 表示。具体地说，仅在第j个质量的坐标方向上受到单位力作用时相应于在第i个质量的坐标方向上产生的位移，即定义为 。 n自由度系统的柔度矩阵 为n阶方阵，其元素 称为柔度影响系数，表示单位力产生的位移。在单自由度的弹簧质量系统中，若弹簧常数是k，则 就现分析求出图所示的三自由度系统的柔度影响系数。 当受到F1作用后，第一个弹簧的变形为 ，第二和第三个弹簧的变形为零。首先施加单位力这时三物块所产生

6、的静位移分别是所以三物块的位移都是F1F1现分析求出图所示的三自由度系统的柔度影响系数。 当受到F1作第三个弹簧不受力，故其变形为零。因此有令F2第一和第二弹簧均受单位拉力，其变形分别为第三个弹簧不受力，故其变形为零。因此有令F2第一和第二弹簧均F3再令可得到系统的柔度矩阵为F3再令可得到系统的柔度矩阵为柔度矩阵一般也是对称的。实际上任何多自由度线性系统都具有这个性质。即系统的柔度矩阵为柔度矩阵一般也是对称的。系统的柔度矩阵为用柔度影响系数来建立其运动微分方程系统运动时，质量的惯性力使弹簧产生变形应用叠加原理可得到用柔度影响系数来建立其运动微分方程系统运动时，质量的惯性力使写成矩阵形式位移方程

7、是非奇异的，即 的逆矩阵存在与作用力方程比较写成矩阵形式位移方程是非奇异的，即 的逆矩阵存在与作即当刚度矩阵是非奇异时，刚度矩阵与柔度矩阵互为逆矩阵；当刚度矩阵是奇异时，不存在逆矩阵即无柔度矩阵。此时系统的平衡位置有无限多或者说它有刚体运动。如图示系统具有刚体运动，柔度矩阵不存在。柔度矩阵与刚度矩阵之间的关系即当刚度矩阵是非奇异时，刚度矩阵与柔度矩阵互为逆矩阵；柔度矩例 试求图示悬臂梁的柔度影响系数，并建立其位移方程。(梁的弯曲刚度为EI，其质量不计)解：取y1 、 y2为广义坐标，根据柔度影响系数的定义， 表示在m1处施加单位力(沿y1方向)并在m1处产生的位移。 表示在m2处施加单位力(沿

8、y2方向)并在m2处产生的位移。有按材料力学的挠度公式，则有例 试求图示悬臂梁的柔度影响系数，并建立其位移方程。(梁 表示在m2处施加单位力在m1处产生的位移等于在m1处施加单位力在m1处产生的位移。有柔度矩阵为得系统的位移方程 表示在m2处施加单位力在m1设n自由度系统运动微分方程的特解为即设系统的各坐标作同步谐振动。上式又可表示为 4.2 固有频率 主振型设n自由度系统运动微分方程的特解为即设系统的各坐标作同步谐振将解式代入系统运动微分方程，并消去 ，得到将解式代入系统运动微分方程，并消去 特征矩阵要使A有不全为零的解，必须使其系数行列式等于零。于是得到该系统的频率方程(或特征方程)。式是

9、关于p2的n次多项式，由它可以求出n个固有频率(或称特征值)。因此，n个自由度振动系统具有n个固有频率。特征矩阵要使A有不全为零的解，必须使其系数行列式等于零。于是可得到前乘以下面对其取值情况进行讨论。由于系统的质量矩阵M是正定的，刚度矩阵K是正定的或半正定的，因此有于是，得到可得到前乘以下面对其取值情况进行讨论。由于系统的质量矩阵M是频率方程中所有的固有频率值都是实数，并且是正数或为零。通常刚度矩阵为正定的称之为正定系统；刚度矩阵为半正定的称之为半正定系统。对应于正定系统的固有频率值是正的；对应于半正定系统的固有频率值是正数或为零。一般的振动系统的n个固有频率的值互不相等(也有特殊情况)。将

10、各个固有频率按照由小到大的顺序排列为其中最低阶固有频率p1称为第一阶固有频率或称基频，然后依次称为二阶、三阶固有频率等。 频率方程中所有的固有频率值都是实数，并且是正数或为零。通常刚对应于pi可以求得A(i)，它满足A(i)为对应于pi的特征矢量。它表示系统在以pi的频率作自由振动时，各物块振幅的相对大小，称之为第i阶主振型，也称固有振型或主模态。 对于任何一个n自由度振动系统，总可以找到n个固有频率和与之对应的n阶主振型对应于pi可以求得A(i)，它满足A(i)为对应于pi的特征对于任何一个n自由度振动系统，总可以找到n个固有频率和与之对应的n阶主振型在主振型矢量中，规定某个元素的值为1，并

11、进而确定其它元素的过程称为归一化。 令 ，于是可得第i阶主振型矢量为对于任何一个n自由度振动系统，总可以找到n个固有频率和与之对主振型矢量也可以利用特征矩阵的伴随矩阵来求得。特征矩阵逆矩阵乘以代入比较 所以伴随矩阵的每一列就是主振型矢量或者差一常数因子。 任何非零列成比例主振型矢量也可以利用特征矩阵的伴随矩阵来求得。特征矩阵逆矩阵当运动微分方程是位移方程时，仍可设其解具有特征矩阵频率方程求出n个固有频率，其相应的主振型也可从特征矩阵的伴随矩阵adjL将pi值代入而求出. 代入位移方程当运动微分方程是位移方程时，仍可设其解具有特征矩阵频率方程求解：选择x1、 x2、 x3坐标如图所示。则系统的质

12、量矩阵和刚度矩阵分别为将M和K代入频率方程例 图是三自由度振动系统，设k1= k2= k3= k， m1= m2= m， m3= 2m，试求系统的固有频率和主振型。解：选择x1、 x2、 x3坐标如图所示。则系统的质量矩阵和解方程得到求出系统的三个固有频率为再求特征矩阵的伴随矩阵解方程得到求出系统的三个固有频率为再求特征矩阵的伴随矩阵设取其第三列(计算时可只求出这一列)，将p1值代入，得到第一阶主振型为得到第二、三阶主振型为三个主振型由图所示设取其第三列(计算时可只求出这一列)，将p1值代入，得到第一归一化后，即令= 0主振型也可由式 求得代入可得主振型归一化后，即令= 0主振型也可由式 例

13、在前例中，若k1 =0, 求系统的固有频率和主振型。相当于图所示系统中去掉这个弹簧，这时刚度矩阵为解：特征矩阵为可得到频率方程例 在前例中，若k1 =0, 求系统的固有频率和主振型解出得到三个固有频率分别代入的第三列归一化后，得到三个主振型解出得到三个固有频率分别代入的第三列归一化后，得到三个主振型这种振型是与零固有频率对应的称之为零振型。刚度矩阵 是半正定系统。而且，在其运动方向上系统的外力的合力为零，是动量守恒系统。 这种振型是与零固有频率对应的称之为零振型。刚度矩阵 例 有三个具有质量的小球，置于一根张紧的钢丝上如图所示。假设钢丝中的拉力FT很大，因而各点的横向位移不会使拉力有明显的变化

14、。设m1= m2= m3= m ，尺寸如图所示，试用位移方程求该系统的固有频率和主振型。 解：系统的质量矩阵是 其柔度矩阵可按柔度影响系数求出 例 有三个具有质量的小球，置于一根张紧的钢丝上如图所首先仅在m1质量处施加水平单位力F=1m1位移是m2位移是m3位移是画出m1的受力图。根据平衡条件，得m1由图中三角形的几何关系可解出首先仅在m1质量处施加水平单位力F=1m1位移是m2位移是m写出柔度矩阵系统的特征矩阵为写出柔度矩阵系统的特征矩阵为得频率方程，即得求出各根，按递降次序排列于是得到系统的固有频率得频率方程，即得求出各根，按递降次序排列于是得到系统的固有频为求系统的主振型，先求出adjL

15、的第一列代入各阶主振型归一化为求系统的主振型，先求出adjL的第一列代入各阶主振型归一化n自由度的振动系统，具有n个固有频率和与之对应的n阶主振型。且这些主振型之间存在着关于质量矩阵和刚度矩阵的正交性。 对应于两边左乘转置，然后右乘 相减 4.3 主坐标和正则坐标n自由度的振动系统，具有n个固有频率和与之对应的n阶主振型。表明，对应于不同固有频率的主振型之间，即关于质量矩阵相互正交，又关于刚度矩阵相互正交，这就是主振型的正交性。还可以证明，零固有频率对应的主振型也必定与系统的其它主振型关于质量矩阵和刚度矩阵正交。 Ki称为第i阶主刚度或第i阶模态刚度；Mi称为第i阶主质量或第i阶模态质量。 令

16、j = i,表明，对应于不同固有频率的主振型之间，即关于质量矩阵相互正交 由于主振型的正交性，不同阶的主振动之间不存在动能的转换，或者说不存在惯性耦合。同样可以证明第i阶固有振动的广义弹性力在第j阶固有振动的微小位移上的元功之和也等于零，因此不同阶固有振动之间也不存在势能的转换，或者说不存在弹性耦合。 对于每一个主振动来说，它的动能和势能之和是个常数。在运动过程中，每个主振动内部的动能和势能可以互相转化，但各阶主振动之间不会发生能量的传递。 从能量的观点看，各阶主振动是互相独立的，这就是主振动正交性的物理意义。 由于主振型的正交性，不同阶的主振动之间不存在动能的以各阶主振型矢量为列，按顺序排列

17、成一个nn阶方阵，称此方阵为主振型矩阵或模态矩阵，即根据主振型的正交性，可以导出主振型矩阵的两个性质主质量矩阵主刚度矩阵以各阶主振型矢量为列，按顺序排列成一个nn阶方阵，称此方阵使MP由对角阵变换为单位阵 将主振型矩阵的各列除以其对应主质量的平方根，即这样得到的振型称为正则振型。正则振型的正交关系是第i阶正则振型第i阶固有频率 使MP由对角阵变换为单位阵 将主振型矩阵的各列除以其对应主质以各阶正则振型为列，依次排列成一个nn阶方阵，称此方阵为正则振型矩阵，即由正交性可导出正则矩阵两个性质谱矩阵 以各阶正则振型为列，依次排列成一个nn阶方阵，称此方阵为正在一般情况下，具有有限个自由度振动系统的质

18、量矩阵和刚度矩阵都不是对角阵。因此，系统的运动微分方程中既有动力偶合又有静力偶合。对于n自由度无阻尼振动系统，有可能选择这样一组特殊坐标，使方程中不出现偶合项亦即质量矩阵和刚度矩阵都是对角阵，这样每个方程可以视为单自由度问题，称这组坐标为主坐标或模态坐标。由前面的讨论可知，主振型矩阵AP与正则振型矩阵AN，均可使系统的质量矩阵和刚度矩阵转换成为对角阵。因此，可利用主振型矩阵或正则振型矩阵进行坐标变换，以寻求主坐标或正则坐标。在一般情况下，具有有限个自由度振动系统的质量矩阵和刚度矩阵都1. 主坐标首先用主振型矩阵进行坐标变换，即主坐标矢量 这组坐标变换的物理意义，可由展开式看出1. 主坐标主坐标

19、矢量 这组坐标变换的物理意义，可由展开式看 原物理坐标的各位移值，都可以看成是由n个主振型按一定的比例组合而成。新坐标比例因子 系统各坐标值正好与第一阶主振型相等，即每个主坐标的值等于各阶主振型分量在系统原物理坐标中占有成分的大小。如果令则可得 原物理坐标的各位移值，都可以看成是由n个主振型按一定将式由主振型矩阵的两个性质前乘以由于主质量矩阵和主刚度矩阵都是对角阵，所以方程式中无偶合，且为相互独立的n个自由度运动微分方程。即第i阶主质量或模态质量第i阶主刚度或模态刚度第i阶主质量将式由主振型矩阵的两个性质前乘以由于主质量矩阵和主刚度矩阵都 由物理坐标到模态坐标的转换，是方程解耦的数学过程。从物

20、理意义上讲，是从力的平衡方程变为能量平衡方程的过程。在物理坐标系统中，质量矩阵和刚度矩阵一般是非对角阵，使运动方程不能解耦。而在模态坐标系统中，第i 个模态坐标代表在位移向量中第i阶主振型（模态振型）所作的贡献。任何一阶主振型的存在，并不依赖于其他主振型是否同时存在。这就是模态坐标得以解耦的原因。因此，位移响应向量是各阶模态贡献的叠加的结果，而不是模态耦合的结果。各阶模态之间是不耦合的。 由物理坐标到模态坐标的转换，是方程解耦的数学过程。2. 正则坐标用正则振型矩阵AN进行坐标变换，设 正则坐标矢量前乘以由正则振型矩阵的两个性质2. 正则坐标正则坐标矢量前乘以由正则振型矩阵的两个性质例 试求前

21、例图示系统中的主振型矩阵和正则振型矩阵。由质量矩阵 ，可求出主质量矩阵解：将在前例中求得的各阶主振型依次排列成方阵，得到主振型矩阵例 试求前例图示系统中的主振型矩阵和正则振型矩阵。由质量于是，可得各阶正则振型以各阶正则振型为列，写出正则振型矩阵于是，可得各阶正则振型以各阶正则振型为列，写出正则振型矩阵由刚度矩阵可求出谱矩阵可写出以正则坐标表示的运动方程展开式为由刚度矩阵可求出谱矩阵可写出以正则坐标表示的运动方程展开式为在前面的讨论中，曾假设系统的固有频率均不相等，而每个固有频率对应一个主振型。但复杂系统中也会出现两个或两个以上频率相等或相近的情形，这时相对应的主振型就不能唯一地确定。为了说明这

22、一点，假设频率方程有二重根。可写出线性组合说明对应于p0的主振型不能唯一地确定 两个任意常数 4.4 固有频率相等的情形在前面的讨论中，曾假设系统的固有频率均不相等，而每个固有频率 当系统具有重根时，其等固有频率的主振型要根据各振型间的正交性来确定。 例 图示系统是由两个质量均为m的质点与一无重刚杆组成，且两质点又分别与弹簧常数为k的弹簧相连。试求该系统的固有频率及主振型。 当系统具有重根时，其等固有频率的主振型要根据各振型解：以系统的静平衡位置为坐标原点，建立坐标x1, x2 。写出系统的质量矩阵和刚度矩阵为 得到特征矩阵得到频率方程解出系统的两个固有频率，是重根。 解：以系统的静平衡位置为

23、坐标原点，建立坐标x1, x2 。得求出特征矩阵的伴随矩阵并将两个固有频率代入该矩阵的任一列，结果是两个元素全为零。因此，在重根的情况下无法用伴随矩阵adjB 确定主振型。 需由正交化求得。由观察系统的振动现象可知，刚杆具有两种运动即平动和转动。因此可假设然后用两振型关于M、K的正交性来校核求出特征矩阵的伴随矩阵并将两个固有频率代入该矩阵的任一列，结是该系统的一组正交主振型 需要指出的是，这种相互独立正交的主振型组可以有无穷多组。就好象在平面几何中，一个圆有无穷多组相互垂直的二个直径一样。图所示，为另一组相互正交的主振型，即 是该系统的一组正交主振型 需要指出的是，这种相互独立正交的主例 图所

24、示的系统中，各个质量只沿铅垂方向运动，设k1= k2= k3= k， m1= M，m2= m3= m4= m，试求系统的固有频率和主振型。解：其中例 图所示的系统中，各个质量只沿铅垂方向运动，设k1= k2由特征矩阵建立频率方程为由特征矩阵建立频率方程为由特征矩阵求出特征矩阵的伴随矩阵的第一列由特征矩阵求出特征矩阵的伴随矩阵的第一列求与重根对应的主振型按第一行展开同时应满足正交化求与重根对应的主振型按第一行展开同时应满足正交化同理，可得到满足第三阶主振型的关系式同理，可得到满足第三阶主振型的关系式已知n自由度无阻尼系统的自由振动运动微分方程当t=0时，系统的初始位移与初始速度为求系统对初始条件

25、的响应。求解的方法是：先利用主坐标变换或正则坐标变换，将系统的方程式转换成n个独立的单自由度形式的运动微分方程；然后利用单自由度系统求解自由振动的理论，求得用主坐标或正则坐标表示的响应；最后，再反变换至原物理坐标求出n自由度无阻尼系统对初始条件的响应.。本节只介绍用正则坐标变换求解的方法。 4.5 无阻尼系统对初始条件的响应已知n自由度无阻尼系统的自由振动运动微分方程当t=0时，系统由单自由度系统振动的理论，得到关于对初始条件的响应为由单自由度系统振动的理论，得到关于对初始条件的响应为系统的响应是由各阶振型叠加得到的，本方法又称振型叠加法对于半正定系统，有固有频率 pi = 0系统具有刚体运动

26、振型系统的响应是由各阶振型叠加得到的，本方法又称振型叠加法对于半 例 在前例中，设初始条件是 求系统的响应。 解：已求出系统的正则振型矩阵和质量矩阵 例 在前例中，设初始条件是 得到用正则坐标表示的响应求出系统对初始条件的响应其中得到用正则坐标表示的响应求出系统对初始条件的响应其中 例 三圆盘装在可以在轴承内自由转动的轴上。它们对转轴的转动惯量均为I，各段轴的扭转刚度系数均为 ，轴重不计。若已知运动的初始条件解：系统的位置可由三圆盘的转角 确定，求系统对初始条件的响应。运动微分方程是求主振型 例 三圆盘装在可以在轴承内自由转动的轴上。它们对转轴的转写出特征方程得到系统的频率方程解出三个固有频率

27、写出特征方程得到系统的频率方程解出三个固有频率三个固有频率求出特征矩阵的伴随矩阵的第一列将各频率依次代入，即得各阶主振型三个固有频率求出特征矩阵的伴随矩阵的第一列将各频率依次代入，各阶主振型将三阶主振型为列，依次排列组成主振型矩阵求出主质量矩阵求出正则振型，进一步建立正则振型矩阵各阶主振型将三阶主振型为列，依次排列组成主振型矩阵求出主质量求系统初始条件的正则坐标表示求系统初始条件的正则坐标表示求出响应为若初始条件为求系统的响应求出响应为若初始条件为求系统的响应由于初始条件与第二阶主振型一致，所以，系统将以第二固有频率p2作谐振动。 由于初始条件与第二阶主振型一致，所以，系统将以第二固有频率p一

28、般工程结构和机械的工作状态都要避开共振。因此，在设计过程中，要变更系统的物理参数，如质量、刚度等，使其固有频率适当地偏离激振力的频率。所以，需要探讨固有频率随质量、刚度变更的情况。当K中的元素增大时，pi2将增大；当M中的元素增大时， pi2将减小。 4.6 质量、刚度的变化对固有频率的影响一般工程结构和机械的工作状态都要避开共振。因此，在设计过程中设系统的M矩阵中各元素不变，求K矩阵元素的变化对系统各阶固有频率的影响。设系统中第j个弹性元件kj发生变化，将上式对kj求导数，得式两端前乘以转置系统各阶固有频率的变化率与刚度元素 的变化率成正比。设系统的M矩阵中各元素不变，求K矩阵元素的变化对系

29、统各阶固有系统各阶固有频率的变化率与刚度元素的变化率成正比。同理，设系统刚度矩阵K中各元素保持不变，而质量矩阵M 发生变化，即系统中第个j质量元素mj发生变化， 系统各阶固有频率的变化率与刚度元素的变化率成正比。同理，设系若质量的变化率为正时，固有频率的变化率为负。即质量mj变大时，各阶固有频率相应地要减小。 对mj求导数式两端前乘以转置若质量的变化率为正时，固有频率的变化率为负。即质量mj变大时设n自由度无阻尼振动系统受到激振力的作用它们为同一频率的简谐函数。则系统的运动微分方程为为了求系统对此激振力的响应，现采用主振型分析法和正则振型分析法。利用主坐标变换或正则坐标变换使方程解偶的分析方法

30、，称为主振型分析法或正则振型分析法。 4.7 无阻尼振动系统对激励的响应设n自由度无阻尼振动系统受到激振力的作用它们为同一频率的简谐利用主坐标变换以主坐标表示的受迫振动方程式，它是一组n个独立的单自由度方程，即同单自由度无阻尼受迫振动一样，设其稳态响应是与激振力同频率的简谐函数，即利用主坐标变换以主坐标表示的受迫振动方程式，它是一组n个独立返回原物理坐标这就是系统对简谐激振力的稳态响应。上述方法即为主振型分析法。返回原物理坐标这就是系统对简谐激振力的稳态响应。上述方法即为将正则坐标变换的关系式由正则振型的正交条件可得到解偶的运动微分方程可写成n个独立的方程返回原物理坐标将正则坐标变换的关系式由

31、正则振型的正交条件可得到解偶的运动微可以看出，当激振力的频率等于系统固有频率中任何一个时，以上二式的分母都将为零，这时振幅将会无限增大，即系统发生共振。与单自由度系统不同，n自由度系统一般有n个固有频率，因此可能出现n次共振。可以证明，当系统发生共振时，譬如 ，这时第i阶主共振的振幅会变得十分大，称系统发生了第i阶共振，且系统在第i阶共振时的振动形态接近于第i阶主振型。可以看出，当激振力的频率等于系统固有频率中任何一个时，以上二 例 在图示的三自由度弹簧质量系统中，物块质量均为m，且，试求系统的稳态响应。解：设取广义坐标x1、 x2、 x3 如图所示。系统的运动微分方程为 例 在图示的三自由度

32、弹簧质量系统中，物块质量均为m，且由线性系统的叠加原理，先分别计算系统在F1(t)和F2(t)单独作用下的响应，然后再将两部分叠加起来，最后得到系统对激励 f (t)的响应。由线性系统的叠加原理，先分别计算系统在F1(t)和F2(t)现在求出系统的固有频率和正则振型矩阵利用正则坐标变换得到以正则坐标表示的运动微分方程现在求出系统的固有频率和正则振型矩阵利用正则坐标变换得到以正将qN分成两种情况(用下标1，2分别表示F1(t)、F2(t)单独作用的情况)。将qN分成两种情况(用下标1，2分别表示F1(t)、F2(t由于激振力是不同频率的， F2(t)的频率是F1(t)的三倍，因此系统的总响应不再

33、是简谐的，而是周期性的。由于激振力是不同频率的， F2(t)的频率是F1(t)的三倍在线性振动理论中，一般采用线性阻尼的假设，认为振动中的阻尼与速度的一次方成正比。在多自由度系统中，运动微分方程式中的阻尼矩阵一般是n阶方阵。有C是阻尼矩阵，与刚度影响系数和柔度影响系数类似，阻尼矩阵中的元素cij称阻尼影响系数。它的意义是使系统仅在第j个坐标上产生单位速度而相应于在第i个坐标上所需施加的力。 4.8 有阻尼系统对激励的响应在线性振动理论中，一般采用线性阻尼的假设，认为振动中的阻尼与利用主坐标分析法，用主振型矩阵AP试对阻尼矩阵C进行对角化CP一般不是对角阵1. 将阻尼矩阵假设为比例阻尼假设阻尼矩阵是质量矩阵和刚度矩阵的线性组合a、b是正的常数称为主阻尼矩阵利用主坐标分析法，用主振型矩阵AP试对阻尼矩阵C进行对角化C若用正则振型矩阵变换振型比例阻尼系数或模态比例阻