线性控制系统教案5Youla参数化

1、文档编码 : CE6W7A7W5L9 HX4T3T10I10J7 ZB10I4W10I3N8第五章： Youla 参数化和 H-The Youla Parametrization and H-最优掌握 Optimal Control 5.1 稳固分式表示 stable fractional representation-SFR 称 Gs,K 是内部稳固的,或Ks镇静Gs ；u 12e1eG s 1yu2y 2K s 图 5.1 标准反馈系统求出 负反馈条件下 Heu IKG11IKG1K1 s 都是稳固G IKGIGK1SFR 意义下的 单模阵 幺模阵 , unimodular ：U s 与U

2、有理分式,即U s U1 RH ；设G s N s D s 1D s % 1N s % ,K s Y s 1X s X s Y s % % 1,N s D s D s N s Y s X s X s Y s % % % % RH定义：右互质 right coprime 假如N s N s U s D s D s U 只对单模阵U 成立,就称N s 与D s 右互质；这时称G s N s D s 1是不行约的 irreducible 怎样判定 N s 与 D s 右互质？存在稳固分式矩阵 X s Y s 使得 X s N s Y s D s I ；1假如 G s N s D s 是不行约的 ir

3、reducible ,就 G s 的极点是D s 的零点；SFR 表示不是唯独的；按G s ,K s 上面的表示,1YID YDXN1XHeu D YDXNN YDXN1YN YDXN1X定理： 图 5.1 所示反馈系统内部稳固的充要条件 是YDXN 是单模阵,即YDXN,YDXN1RH ；K s 镇静不失一般性,可以设YDXNI ,进而, 可以得到, 假如G s ,就存在N s D s D s % ,N s Y s % ,X s ,X s Y s % % RH,使得G s N s D s 1D s % 1N s % ,K s Y s 1X s X s Y s % % 1,且满意YXDX %I

4、0；N %D %NY %0I全部掌握器的参数化由上式可以得到YRN D %XRD N s % I,R 为任意稳固有理真分式,就全部掌握器的Youla 参数化表示为：S GK:K YRN % 1XRD % ,RRH,detYRN % 0；假如G s 是稳固的, 就闭环系统内部稳固K s 镇静G s 当且仅当QK IGK1是指数 稳固的；按定理 3.5,得出假如 G 稳固 ,闭环系统稳固当且仅当 Q稳固 .这时 I KG 1K Q , I KG 1I QG , I GK 1 G I GQ G ,S I GK 1 I GQ 灵敏度函数；因此可得任意掌握器为 K I QG 1 Q ,即1S G K :

5、 K I QG Q Q RH , det I QG 0-全部掌握器的 Youla 参数化表示；稳固的传递函数集是一个环ring stable fractional representations 例 5.1 G s s2s32s310s1s4s41s2s4s3s4s1 s4s4s2s31s041s1s40s4（问题：上例中G s 的 MFD 描述是怎样的？）1041s040s2s4s2s2s40s1s401s10s1s10s4s10所以K s 210100s4s2s42s42s10s1s10s101000s2s3212检验：0s4ss102s1s4s4s1s4另一方面,s2 s4s30s4s4

6、1,2 s4s1 s4s4s4s10s10就N s D s D s N s Y s % % ,X s ,X s Y s % % 确定；5.2 H-最优化问题H- Optimization problem 不精确已知被控对象的标准反馈结构如图6.1P185；无摄动时如图6.2P186,设P s P 11 P 12 Ky 得到 P 21P 22使得zP wP u ,yP wP u ；使用反馈 uzP 11P K IP K1P 21w:F P K w实际设计中通常要求：minimize lF P K这就是 H-最优化问题H- Optimization problem 本章内容： 1 问题是怎样产生引

7、出 的？2 怎样用状态空间算法求解. 问题求解的思路：第一应使系统稳固,给出全部镇静掌握器的结构给出全部掌握器的参数化表示；然后从掌握器中选出最优的；5.2.1 一个有启示意义的例子：灵敏度最小 A motivating example: sensitivity minimization 图 6.3P187所示, SISO 系统,设d 是未知扰动,但频谱限制在0 b,查找一个掌握器 K 使得扰动对输出 y 的影响最小min imize S , or min imize sup S j 1S I GK -灵敏度函数,在该频率段上幅值最小,但超出该段将导致噪声放大,使稳固性 裕度 变差；通常设计取

8、权函数W j 1, 0 b ; W j = 1, b就最小化问题 minimize sup W j S j ；如 定 义 Q K I GK 1,就 I KG 1K Q,1 1 I KG I QG , I GK G I GQ G ；灵敏度函数1S I GK I GQ ；这时优化问题转化为 minimize supstable Q W I GQ j 应用 Youla 参数化方法使我们转化设计问题作为一个 几乎不受约束的优化问题 Q 任意取,保证系统正就稳固 ；该例显示： Youla 参数化可以简化优化问题；假如 J WS取幅值最小,就最优值 J 是常值,即全通函数；因此,挑选权函数是至关重 *要的

9、,这是一个敏锐的sensible工程问题；留意： 有时最优解是不行实现的；即问题可能无解 解是非正就掌握器；有的问题不用 Youla 参数化求解,不是 H-问题；5.3 H-掌握问题公式化The H- problem formulation 5.3.1 几个 H-问题的例子灵敏度最小 sensitivity minimization lF P K P 11 P K I 12 P K 22 1 P 211 1lF P K W I GK W I GK I GK P 11 W , P 12 WG , P 21 I , P 22 G一般考虑 P 11 , P 是方形情形,当 P 行比列多 P 列比行多

10、 更复杂；加摄动下的鲁棒性 Robustness to additive perturbations 如图 6.4,6.5P190-191 ,摄动的界依靠于与频率有关的函数 jr j , for each 1,就闭环系统鲁棒稳固；由小增益定理,假如K IGK1K IGK1rr1K IGK1r1rK IGK1rK IGK1GK1转化为标准形式lF P KrK I就P 110,P 12rI,P 21I,P 22G混合特性和鲁棒性目标Mixed performance and robustness objective 为了得到好的干扰抑制性能disturbance-rejection perform

11、ance和鲁棒稳固性 robust stability ,通常要求保持IS小 （在量值上）S 小不能同时实现；在不同频率域上加权设F P K lW S 1S W I 2P 11W 1,P 12WG 1,P 21I,P 22G0W G 25.3.2 性能鲁棒：一个未解决的unsolved 问题有些重要的设计问题不能转化为H-问题,如性能鲁棒当存在未建模摄动时；某些性能鲁棒问题可以转化为如下问题：minimize K DDF P K D1其中 D 是对角的,可通过迭代求解D 或 K ,给定 D 求 K 是标准H-问题,给定 K 求 D 是凸 convex优化问题；同时求最优的K 和D 不易实现；5

12、.4 Youla 参数化 The Youla or Q parametrization 5.4.1 fractional representations 分式表示推广 矩阵分式描述 Matrix Fraction Description MFD 到稳固 分式表示G s U sV 1 V % 1 %U s , , , % U s % 是稳固的传递函数,而且 U s V s 右互质,V s % , U s % 左互质；重新定义单模阵 幺模阵 unimodular ；U s V s 右互质：UWX VZXX X1 stable,i.e., , X X1H定理 5.1Bezout s theorem:

13、 U s 和 V s 右互质当且仅当存在X s 和Y s 使得XU YV I；线性系统的分式表示：设 G s 有能稳能检测实现 A B C D ,状态空间表示x & Ax Bu x & A BF x Bvy Cx Du 取反馈 u Fx v,y C DF x Dv1u s F sI A BF B I v s M s v s1y s C DF sI A BF B D v s N s v s1 1就 G s C sI A B D N s M 应证明 N s M s 右互质 后面证 另一方面, 与书中推导不同 x & Ax Bu x & A HC x Hy B HD u 观测器y Cx Du y C

14、x Du进而,得 C sIA HC 1HI y C sI1 A HC BHD D uM s y %N s u %G s M %1 s N s % 5.4.2 全部镇静掌握器的参数化Parametrization of all stabilizing controllers 正反馈系统 图 6.4,图 2.2 P103内稳固等价于IK1IKG11IIKG1K指数稳固；GIG IKGGK1定理 5.2: 设稳固分式表示：GNM1M N % %,KUV1V U % %就闭环系统内稳固当且仅当MU1和V %U %1是稳固的 即是单模阵 ；NVN %M %证明：1 1I K M 0 M UG I 0 V

15、 N V1 1M 0 M U I K I K0 V与 N V右互质,G I 与G I 有相同的稳固性；定理 5.3: 闭环系统内稳固,G NM 1M N % %,K UV 1V U % %,就 M N M N U V U V % % %可以被挑选满意V % U % M U I 0N % M % N V 0 I * 假如 G NM 1M N % %对应能稳能检测实现 , A B C D ,就M A BF B F I , N A BF B C DF D M % A HC H C I , N % A HC B HD C D V % A HC B HD , F I , U % A HC H , F ,0V A BF H , C DF , U A BF H , F ,0M U F I 0A BF , B H , ,N V C DF D IV % U % F I 0N % M % A HC , B HD H ,C ,D I定理 5.4: 设 K 0 U V 0 0 1V U % %,G NM 1M N % %满意V %0 U %0 M U 0 I 0N % M % N V 0 0 I就 G NM 1M N % %的任意 镇静掌握器可以表示为K UV 1V U % % U 0 MQ V 0 NQ 1 V % 0 QN % 1U % 0 QM % 这里,任意