初中数学-圆中角平分线模型

1、图21图21已性交葡圆中角平分线模型广猛说题系列之圆中角平分线模型商机市赞化学校段广猛问颍;如图1所示，6。是RlZiABC的外接圆j且AC=3, BC=4f /ACB的平分线与玲。交于点D,求3的长.解题前（亩题）：RlZkABC及忌。这些最基本的&骨架”都是确定的, 角平分线CD也是确定的，整个图中所有的东西都是确定 的，既然是确定的注定是可解的！苜先；同学们不要畏 惧这些确定性的题目，而且它们往往不仅不可怕反 而可能很“温柔”，注怎2玩她都有可以！即常常可 以做到”一题多解号.此题背置是圆，苜先有个基本功工同受们必须形成条 件反射，即角等一弧等一弦等”的迅速转化，如图2所 示，由CD是/

2、ACB的平分线知.ZAdZBCD,从而有筋=5:弦AIABD .故AABD为等腰直角三角形，ZAOZBCIZaABD3A=45D.解题中（析题）:构思一（员特殊角构解三角形*解题中（析题）:构思一（员特殊角构解三角形*崛）:C _如图3所示，连接AD,则/A/B是确定的,或者说其三角函数值是确定的,和它们所在的直角三角形/ A、三边之比是确定的，目为九4： 5,也可称这种角为立特殊商3 ./ df X另外，由/A645。及AC=3这些确定性条件，结 A . 一 丁3B合全等三角形判定方法yAA/知，ACD是一个确 定的三角舷，从而8也是确定的，解ZkACD即可， 而且:，怎幺确定下来的就怎2求

3、解” i执果素因，由 因导果，因果循环，妙趣横生：这就是我所渭的&基 于确定性思想的因果关系分析法”，它是一种常用的思 考问题、解决问题的方式，同学们应该逐渐学会这种分 析方法.而且它应该也是我们去“画图”的基本原理.再过点A作AE1CD于点&则将目标用/分割为了两个直第三角形，等腰比色氐34及比AEDj 由 AC=. 算可得 AE=GE=, ”再由 AE: ED: AD=3: 4: 5 得 UA V2V2从而CD=CE-ED= =坐.:二巴旅:Z徜倩得一提的是，连接BD,同理也可解色8力求CD,不再赘述，同学们可自行历究.从,而由CE=CF得3-x=4-x,从,而由CE=CF得3-x=4-x

4、,解得睡匚（见平线构“双垂重D ：如图4所示连接DA及DE,贝U DA=DB,且NnDB=g。%见口角平分线乙位核形成条件反射作双垂即过点,D作DI：1CA于点.E, 作 DF_LCB干点 F,则 DE=DF：容易证明四边形CEDF为正方形？知CE=CF- 另外由在母在易证；：RlAAEDRtABFD,设AE=BF=x,贝| CE=3f, CF=4画77三 ,而 CD= CE= i 2 .梅忠三（见等E殖角三角形构施转四）：连接梅忠三（见等E殖角三角形构施转四）：连接DA DB易知,包口为等腰直角三角开火其中D3=DB目ZAKB-孙，登就为 旋转奠定了天然的条件；点D出发有三条线段DAUDB,

5、 可将线段D3绕着点D按顺时针方向旋 转兜。至DB位置，这样线段DC也会相 应旋转90至DE位能，如图5所示：由旋转易知aADC丝为公BDE,:贝 AOBE HZDAC=ZDBE,由外圆的内 接四边形对角互补“如DBC= 180 贝iJ/DSE- ZDBO1 0即 CBE=ig。1VM而公B、E三点共线. 故ADCE为等腰直角三角升源易知CE=CB-BE=7 , 从而CD=CE=-a/2 .22值得一提的是，也可将线段DB绕着点D按逆时针方向旋转。0口至DA位置，则线段.DC也会相应旋转至相应的位置，不再落迷，同学可自行研究，具体可参加本人作麻诙,一 转那些事上厂词构思四（作垂线构胃由CT模型

6、）：_设构思四（作垂线构胃由CT模型）：_设8与AB交于点F,连接OD.则易知OD1AB,再过点C作CE1AB于点E,构 造出“射影型”相似，如图6所示晨则AE、CE、OE、OD均可求j.g7.12由射影正理口算得AE=-，. OE=OA -AE=-f由面积法如C?E=-;510易知ACEFs&DOF;且相似比为兰=耳？则EF CF 24 口 2412,=一丁 M EF= OE= f 从而 DF 254935497 FCD= CF=-” 一口4一上上日| r丁 AC SC AC + BC 7 从而目标线底CD=CE+DE=二 十j= = -j= = -j=这里,：；由A、E向经过等艘KtAAB

7、D直角顶点的线段 DC作“双垂”,构造出一粗全等三角形WAADE丝RtZXDBF （AAS）：,本届即为“一线三直角I是一种应用极其广涕 的基本模型，需要同学们认真反思；琢磨！解题后C思题）：反思是一种重要的习惯，尤其是解题后反思！做一道题就应该真正做到题目中去n真 正反思到题目里来，“闭上眼睛”将题目中的来龙去脉再想一遍，日积月累，学习好习惯 会慢慢地养成，解题能力也一定会悄无声息地在提升！对梅忠一（见“特殊角”梅“解三角形”整，的反思二普通意义上，初中阶段所谓的灯特殊角”特指3口工45% 这三种甭但笔者认为只 要是已知三角困数值的任何一个确定的角都可以理解为所谓强特殊角力，其所在的直角三

8、角形总是相似的，换言之，其所在的直角三角形三边之比也是确定的.同学们亩题时，往 往要先“抓不变量3尤其是抓这些“不变角再结合“比例法”分析图中各线段之间 的比例关系，这时于分析问题、口算结果至关重要.在一个三角形中，通过全等的判定方法一旦确定这个三角形是唯一存在的，那么就可 以在不破坏其“特殊角”的前提下，通过作高线构造直角三角形，通过解直凭三窜?穿出 这个三角形来，我们来看看下面这个最基本的关于“解三角形的模型题：练习如图7所示，在2VPAB中，AB=5? tanZA=- 的长并求出/nPB的度数.简析:对于求PA、PB的长，在不破坏其/A及二B的前提下通过作高线PG,构造 两个小特殊直角三

9、甬形,再结合方程思想”即可，如图7-1所示；要求上APB的度数，最基本的想法是求出其一个三角函数值，但2注PB是钝角劭中 阶段.我们只学过锐角三角图数二可以通过转化求其补角的度数？如图”2中所示的 ZBPH,通过作高线BH,构造通BPH由面积法求BH,再用药股定理求出PH,可发 现BFH为等腰直角三角形/可得/APB为1站口.例题中的“构思一”解法，对于学生而言，难在复杂的图形中识别或构造“解三角形” 这个基本模型，所以平时学习中，务必不能因题目简单就“一带而过”，这些所谓“简单 题“往往就是我们解决复杂问题的“突破口内，在复杂图形中识别或构造这些简单的“基 本模型”才是困难所在！解题后反思正

10、是最好的学习习惯，“哪怕题目再简单j我也要反 思”！这是一种意识，一种品质,一种提升能力的方式与方法！比如下面这题，对很多学 生而言，难度较大，试试看,你还能识别到*不变角L利用比例法口算答案不？(题目来源:高fl陆赞化学校九年级自主练习3 )练习2 ：如图g所示，已知点A(4, 0) ,O为坐标原点,P是线段OA上任意一点【不 含端点O, A),过P、。两点的二次函数1和过P、A两点的二次函数售的图象开口均 向下，它们的顶点分别为B. 0射线C与AC相交于点,D.当口*AIA3B寸，求这两个 二次函接的最大值之和.DD对构思二（见再平分城构“双垂中睡）的反思:角平分线可以说是同学们刚接触几何

11、时最重要的一个概念，也是最基本的一个模型， 见再平分线这个条件，就应该想到作“双垂” $甚至有时候证明角平分线，也需要作“双 垂”.我们一起来看看下面这个关于角平分线的一个所谓的圆中三弦定理”特例：特别说明:以下内容摘自浙江绍兴沈岳夫老师发表于中国数学教官2016年初中版第 12期文章点动图变思构图分类探求寻突破一一对一道九年级期末复习题力肆镣初 感悟.,定理1如图叫在RtAM；中，/配炉段10。为Rt曲;的外接圆，.日平分/加方且交白于点,心 则/；+宛=应 如.（证明边程喀.河兴蔑的读者请目三思考证见）弱化定理1中的条件；如果比卢段“ ，那么公，尔，这三者之间又有着什么样 的数量关系呢，通

12、过类比探究得到L .定理- 2;如图10? AC, BC是9。的两条弦二且./AC片0 , /MB的平分线交巳0于点D,则AC + ECYCD,（透个定理是.圆中三弦定理”的一个特例:2证明：如图K）,连接皿、叫过点口作/KE两边的垂线比和DF,垂足分别是EF.可ijf RtAADERt ABDF,得黜=即,贝IAC 十 EC=AC +它F 十 EF=AC 十 CF 十 AEfE 十 S4KE, 所以4C + RegeCE = -_-.在Rt ACDE中,因为.cos.ZDCE= $所以 在=匚加口3NDCE ,即ACrBC厂肱工痼gQACrBC厂肱工痼=CDcos-；变形得肥+ EO2CD8

13、0二，故命题成立.22通过对定理1；定理2的探究，揭示了命题中条件与隐含条件, 结诒的内在联系,为 寻求解题途径指明了方向，使问题的解法简单流畅、别具一格，达到了化繁为简、化难为 易的目的，而且还可以开拓学生的思路、提高解题能力，对学生的学习兴趣培养也大有程fn 上面是沈老师文章所提，如有冒犯，敬请原谅，沈特是本人的偶像哦！上面模型的证明及例题的“构思二”，都可采用见角平分线构“双垂”模型，再分析 求解，有的时候反过来，需要证明角平分线的话，也可作“双垂”，证相等即可，比如下广国文指i广国文指i（题目来海 部附赞化学树1邠腔品作业改编）练习3：如图11所示 ABC和八BED均为等边三角形，AD

14、与BC交于点P, EC 与BD交于点Q,且与AD交于点M,连接YB,当A、B、E三点共线时，求证二VB平 分/AXIE.简析:先证明dADB二CEE （见图11-1）,进一步证明ZAPB二ZkCQB （见图11-2）/ 再过点H向/心正的两边作双垂（见图114）,可证明EG=RH,从而问题得解-至于BG=BH,可以直接由“全等三角形的对应边上的高对应相等“直观感知，但不好 直接利用这个结论，可以用面积法证一下，也可以,再来一；欠全等证一下，学生可自行体悟！时腿三（见等角三形构旋转”酗的反思：拆去时腿三（见等角三形构旋转”酗的反思：拆去例题图中的0。，保甯模型的*骨架其实这也是一个常见的基本模型

15、工. 维者称上为学共斜边的等腰直角三角形加直角三角形模型与，如下图所示，详见本人作品 旅转诞事.已知直角ZkABC和等腰直角ADBC,则AB-AOAD.D简称“共斜边等腰邕角三角形一直角三角形”模型（异侧型）.已知直角ABC和等腰直角DBC,则AB-AC72AEL再来看一看已知直角ABC和等腰直角DBC,则AB-AC72AEL再来看一看2015年常州中考填空压轴题：练习4：如下图，在。口的内接四边形 朋S中弧磔的中点，则雨的长是1；AS=3, 4Z?=5简称“共斜边等腰直角三角形-直角三角形”模型（同侧型）.关于上面这两个模型，2。16年中考几个地方都有出现，如广州中考压轴题、淮安中考 压轴题

16、，需充分引起同学们平时对于几何基本图形积累的重视，以达到在考试中灵活应对 的自如，尤其是借助旋转那些事，把一些常见的典型模型利用“旋转”思:“日厚 在一起，使自己对于模型应用达到“无模胜有模打的境界！;乙皿=60口 1点.二为。 A&ACNaD简析;此题可借助NBnC=NDACj 见角平分线构双垂模型完成也可借助CB-B,且/BCIAL2口。，“见等腰构旋转模型”完成，均不再窗述.对构思四及构思五的反思：这两种方法都是考察学生平时对一些全等或相似等基本图形的识别与构造，如构思四 中涉及的落射熹型相似“及日字形相似”，如构思五中涉及的门一线三直角”等基本图 形3如何在复杂的图形中识别到这些基本图形，如何在“残缺的”图形中联想构造出这些 基本图形，就是大家学好几何的关键所在;只有对于一些常见基本图形理解透，才能在解题中对这