(完整版)线性代数重要知识点及典型例题答案

1、第一章 行列式N 阶 行 列 式 ： 行 列 式 中 所 有 不 同 行 、 不 同 列 的 n 个 元 素 的 乘 积 的 和a (a a anj j.j)12ij1j 2 j2njn1nj j j12nDT）Dk kk( MM Ai jijijijD0 x (j 2n) D DjDj10Daaaaaaaaaa112131121311212223313233aa a a2232233312a13aaaa:aijjia:aijjiaaa1121311213a0方法：用ka把a : a221 a0 a33:第二章 矩阵A n)*n(ka )kAij *nlA*B(a ) *(b ) ( a b)

2、ik lkj l*nik kj *n1 或(A ) AT T(AB) A BTTT() kA(AB) B A)TTTTT AA Akk21k21(A ) Akkk k1212 N k 、n0 A 是 N N B 的 A A B)1 1 k 3 K I ODrO Or 若A若A）1 2(ka ) k(a )就相等，矩阵是一个数表，对应元素相等才相等；矩阵，行列式ij nij n k anijijnn 则A与B 则A与BA(A ) AA111() AA11kA T11TA(A ) (A )T(AB) B AA与B111(AB) A BA与BA为NA11 A1A A1AA A为NA*11A12A21

3、22 1和A BA1A1BC1则D1DO COC1AA111A2A21 A， 则A1A3A31A4A41 A A AIA AA1 A、 *、* 1 An1A1 A* A、 A*、*1AA T* B A、 * T*1 A0A A1*A I AA1A*A1A |I I | A A1nn a设A是 A ijm*nmAnA第三章 线性方程组 n 当r =Nnn: 179） , ,. , ,.12s1j2jr , ,. , ,.12s1j2jr秩A为r()rA。则是 k n个n , ,. . ) . )rrTTTTTTT12n1212nn判断是否为线性相关的方法 ：.kk k .kk k1 2n1 2n

4、P 183r )nn个mP TTT18012nr )nTTT12n 0 0TTTTTT123123 , ,. , ,. s12s1223s1s , ,. , , ,.线性相关，则向量 12s12s , ,.12s , .12 12 k . cc c c , ,.cc1122ss12s , .12 12若 v ）Ar()rn若 v第四章 向量空间 ab a b .a b=T1 12 2n n2 k , , , , rsrs( k , l ) k l , ),Rn,iijjijiji1j1i1j1,)0 ， T A A IT AAA11； 1ATA A aij第五章 矩阵的特征值和特征向量A 是

5、N 使 X 为 A A * *.12n XA 0 将 I求ii c 1( I) ( 不全为零)Nc cn2ic n( 0) 若是A1则A1则A mm则kA若A2 或1若A2 或1若A ka a迹A=aNAA与A1NAB是N P1AP BA与B BA PBP1 B(P ) BP A则P1AP1 113 、 传 递 性 ： 若 、 则 P11APP BP C1-122(PP) A(PP)C11 21 2 A与B B1P AP BP A P B A11111 r()r(B) B A PB PP1AP则100100 1PPP111OAP I IINA与NA有N与 Pxii与Pn A有nA（）定 理：

6、n 阶 方阵 A的 充要 条件是 对于每 一个 K 重 特征根 ， 都有iir( I A) nKii I 1 1 1J的nnJ1JJ （ J2iJn JAnP1。第六章 二次型nn 是nn A与BA B。 M A ijij0 1 1 11 0 1 11 1 0 11 1 1 0例121（）2C112 0 1 1 11 0 1 11 1 11 1 1( M 1 0 1 0 1 2 1,A211 1 0 11 1 1 01 1 00 0 1Bnn a a A , j A a a A ,i n)A nni1j1k jk j Ak i Anna A ; a A ij kj00k iij iki1j13

7、例 2 设某 阶行列式的第二行元素分别为对应的余子式分别为3,则此行列式的值为. (1)A 2A 3A (1) M 2(1) M 3(1) M解 D21222321222321222334310例3x问x . 解 ,故1243(3)42x0 x1壱拾 A.Tkk ka aa2a2a2a例4a aa （a 3 aa）a2aaa2a 2a6 12 2a2a2aaaaaaa 2(2) a2aaa12.aa2a 2aa Baabaccab c例5121 11 111 ）baab c222222313 a b ca b a ca b a c3解1111111a b c2222222 DD壱拾壱1 1 1

8、 41 1 3 11 2 1 11 1 1 1例6求41 1 1 4 1 1 1 40 2 31 1 3 1 0 0 2 30 21 0 1 0 3 (0 0 36解1 2 1 1 0 1 0 31 1 1 1 0 0 0 3123 23 3例73 249 49 9.367 67 7 3 3 3 9 9 9 解(1)( 7 7 7x a a aa x a aa a x aa a a x例8 x a a a xa a a a xaaxa0a0a0a x a a xa x a a000解 Da a x a xa a x axa00a a a x xa a a x0 xa(xa)(xa).a b 0

9、0 00 00 00 a b0 0 a例9Dn0 0 0a bb 0 00 a壱拾弐aA bA =aM +b(1) M a (1) bn1nnn11b 0 00 a0 00 12 00 0例D60 56 00 00 00 00 00 12 01 00 20 00 0 (1)3(1)(6)6!解 D60 56 00 00 00 05 00 6(2)(5)0 0 (3)(4)1 x x x321 2 4 81 3 9 271 4 16 64例11设D(x)D 3D(x)0(x)x 1 2 4 A ( 1 3 9 (32)(42)(42x351 4 D(x)x)(3xx)(3D(x)0 x 2, 3

10、, 4.xx312 壱拾参,B1矩阵A 1 23 41 2 34 5 6 B C 例1设矩阵A,，）ACBBACABCCAB B1 2 01 0 0 2 1 0B 0 2 1 2A B 例2设矩阵A，0 0 10 1 3 1 2 02 0 0 3 2 0 2B 2 1 0 0 4 2 2 5 2解 A. 0 2 70 2 60 0 1 12 BA B例3设矩阵A ， T 23 2 解 TB (1,2)8. 3 (AB) A +ABBAB (AB)(A-B) A +BA- AB-B ;(22222(AB) ABAB AB A B ;(AE) A 2AEkkk221 12 22 2ABOOAB A

11、O,B.A,B.1 1 (AB) A B ; () A ;(ABC) C B ATTTTTTTTT A(A A)TAT,B,C(ABC)例4矩阵A ）T壱拾四A B CTC B ATTTTTTC A BTA C BTTTT B 令A例5设5.T 1 1 1 2 2 23 3 3解AT ( )( )( )( )A5TTTTTTTTTT111 1 11 1 1 ( ) (1, 1,1) 2 2 (1, 1,1) 2 2 2 2 2 2 2 . T5T55 333 3 33 3 3 1 1 132 2 2 2 .3 3 3例6A ）nA TTATA AT(A A ) A (A ) A A A A .

12、 A A故 TTTTTTTT(A A ) A A (A A . AA故TTTTT(AA ) AA . AA故 A ATTTTTB1 1例7A,E为2B AA E 求 3 2 , B22 3 1 1 1 11 1 1 0 B A23A2E32 0 12 3 2 32 3 1 4 3 3 2 00 2 2 8 76 92 0 A A; A A AB A B ;Tn壱拾伍1A A ; A ; A An1.k1kA例7设A为n A ） A AnAAn C1 23 41 24 5例8矩阵A,BA B 1T112 A B A( . A B1TT1B( 32.3AAA0A1A A .1AAA21A22111

13、A12AA An2na b11 d b 当adbc0c dc a adbc A A A E；A An1； A 与A 1,BE,BA B,B A.nA 1111(A ) ;0) A ;(AB) B A(A ) (A )1 ;A11 1；.1 1111T1TAA(CA)B CAA0壱拾六B AAAA A B A B A B 1 A ,B B , 12 3 ； AA2A B A B A B B 3123AAAA TT TTkTT1Tm2AA2k A1Am2AATA TTk2k,A , ,A A12kA OO1 A1OO1O A1O A1OO22O OA OOA 1kka bA例9A ）c d dbd

14、cc ab a d cdb ab a c A1 0 0 2 2 0例10 AA A=3 3 3 A A A E. 6 0 06E 0 6 00 0 62 0 0 3 6 3例11 A5 3 2解A A 6 363121 2(2) 例12设A为2A）13 4壱拾七1 2223 42 3 41 2111 21 211解由13 4D1 0 1A 2 1 0 ,求A1.例13设 解1 0 1 1 0 01 0 1 1 0 01 0 1 2 2 1 0 (3) 0 1 2 2 1 0 20 0 2 7 2 11111 2711 22A8E O, (AE) 则 1 例14 A2 ,B若A AB E 则n

15、, ,BA B,B .1n2A8E O A A3A3E5E 0(AE)(A3E)5E，解 由A2得2(A3E)1(AE) E(AE) (A3E).即1551(AE) (A3E).15(AE) O A例 设A是n 2E ,B则B B1 A , . 若 A1(AE) OA 2AE 0 2(A2E) E证 2 (A2E)故 A A.1OmEA 例 设n A Am(E A) E A A A12m1(E A)(E A A A ) E 2m1(E A)(E A A A )证 2m1 E A A A A A22m E A Em.(E A) E A A A故12m1 kE O Ar ArO O,A B AB

16、与 nmP,P, ,PnQ ,Q , ,Q 3)对任意m A 12k12l,壱拾九E OPP P AQQ Q .r1 2k12lO On A Bm, , ,Pn 4)矩阵m阶 与 P P12kQ ,Q , ,Q PPP AQQ Q B.12l,12k12l例17 ）0 1 1 0 11 00 0 0 0 1 1 0 00 1 00 1 00 0 31 0 01 0 1 1 0 00 1 01 0 1Caaa aaaa例A Paaa 2a a 2aa 2aaaaa,则P【】aa1 0 01 0 21 0 02 1 01 2 00 1 00 1 00 1 02 0 10 0 1 0 0 10 0

17、1 B k1 k2 Ar r1O ArnnA弐拾1 0 1 0 0 2 3 4例AA）0 0 0 52323 kD1 0 1 0 2 0 ( )B A EBr B 例A0 0 1 0 0 1解B AE 0 1 00 0 0r(B)21 2 1 3 4 8 4 12例Aa3 6 3 a()1；.()2 1 2 1 31 2 1 3 1 2 1 3( A 4 8 4 12 0 0 00 0 0 0 a9解( 3 6 3 a0 0 0 a9 0 0 00 当a 9 秩()1 a 9秩()2例22设A为nC是nA BACr AAr3例23设 A2A）1 1 11 1 10 0 00 1 10 0 00

18、 0 0弐拾壱1 1 11 1 12 2 23 3 32 2 20 0 0 B 12解 B. B X A B X BAA B X A1BAB;1;1.112122 11 3B B .X例 A ，5 32 0 1 3 1 3 15 2 12 5 6 2 解X BA 1 2 0 A 1 0 ,B例设A 3 为3EABE A B 0 2 0 ,A 21 0 1 B. E A B ABB A2E解 AB2(AE)B A2E (AE)(AE)1 0 1 0 0 0 0 AE 0 2 0 0 1 0 0 1 0 ,AE 1 0 1 0 0 1 1 0 0 2 0 B AE 0 3 0 .1 0 2 1 0

19、 1 2 0 1 1 0 0 E 0 2 0 0 3 0 0 1 0 1 0 1 1 0 2 0 0 1 弐拾弐3 0 3 1 0 0 4 0 3 0 6 0 0 1 0 0 7 0 3 0 3 0 0 1 3 0 4 2 0 2 2 0 4 0 3 2 A B0 4 0 0 3 0 0 7 0 2 0 2 1 0 2 3 0 4 E A2B AB2 33 10 1 11 2 0,B ,C ,D ,X例 已 知 A矩 阵满 足 方 程1 02 11 2 01 0 1AX BX DC X 。 BX DC 得(AB)X DC解 由AX故X(AB) (DC)11 21 3 1B,DC . A1 10

20、 2 11 2 1 3 11 2 1 3 AB DC 1 1 0 2 1 1 0 2 11 2 1 3 11 2 1 3 10 1 1 5 20 1 1 5 21 0 1 7 30 1 1 5 21 7 3 X1 5 2弐拾参 n (3,4, (1,0,3), (0,2, 5),例12312则 n3 解 123 031 1 1212 T( )TTT 2 4 5 0 1 312 5 311 2 11 (1, 1, ) 故2311 (1, 1, ) .23 (1,1,1), (1,1,0) , (1,0,0) , (0,1,1) , , ,例 2 则 由TTTT123123 x x2 x 解 11

21、2331 1 1 01 1 1 0 1 1 0 1 0 01 1A1231 0 0 10 1 1 11 1 1 01 1 0 11 0 0 1 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 00 0 1 0 0 1 0 0 1 13 13n弐拾四, , , , 设nm12m12m m0, 1122m, , , m0 12m1122m 0, , , 12m12m, , , (2) m个nm 12mi, , , (2)即m12m, , ,例 3）12s, , ,12ssss, , ,12, , ,12, , ,12 C, , ,例4 12s, , ,12ssss, , ,12, , ,12, , ,

22、1s 12 12,解1212121010 ,1 ,1312 ,123000, ,但 123 C例 , , 12112212 0k证 设 k1122 , 1 12212则k1 )k )012212弐拾伍(k k (k k 0即121122k k 0,0.k 12kk 01211221 0k k 0 ,1kk122122 (3,1, ), (4, ,0), (1,0, ) aaa例 a.123 n个n 0;3 4 1314 1(a 1004a2a 2a(a0解DaaT2TT123a 0 a2a 4a 0 a 且a 2. a 0, 且a 2. , , , , , , , , 12m12m12m (

23、, , , ), 1,2, , a aa i in mii1i2(a ,a , ,a ,a),i 1,2, ,mii1i2ini(n1) 0；1)一个向量 n , , ,12n 0. A12n , , 12n2 0 x x x112nn弐拾六, , , (2)m例 7.设 n12m m,k , ,k k 0 k12miii1 A ( , , ), ( , , ), ( , , , ), ( , , , ) a b c a b c a b c d a b c d例 8 111122221111122222（） , , 12122 ,1 , 1222,1 , 12,1 , 12 B, , , ,

24、,例 1232344123 , , , ,所以证 1 23412341234, ,123, , , ,证2 12323234故 , , 423123, , , , ,T设 T .如果（ 1） 2 12r12r, , , , ,T12r12r弐拾七1 0 1 3例10A 1 6 2, , 4 , ,例11设12344123, ,组）1234 解 , , ,4123123 0 , ,2kk k设故1122334123411233 02 k k k4411233112233(k ( k ( k 311122233,k k k k k k111222333 0 , , , , , 1231234123

25、123, , , 12341234 C例 (1, 1,2,1) , (2, 2,4, 2) , (3,0,6, 1) , (0,3,0, 4) TTTT1234 1 2 3 01 2 3 01 2 0 30 0 3 3( 解 A(2 4 6 00 0 0 012341 2 1 40 4 4 41 2 3 00 1 1 11 2 0 30 1 0 2(1)(1)(0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 00 0 0 0弐拾八1 0 0 10 1 0 20 0 1 1 0 0 0 03 , , ，1234123 nnnR .n V是 R V是 R nnV., , ,Rn, R n12m, ,

26、,12mx(x,x ,x x ,x ,x V x(x,x ,x x ,x ,x 例 设V11231232123123V x(x,x , ,x ) x x x 0312n12n ( , , ,0), ( , , ,0), x x x y y yV k 在V11231231 ( x y x y x y,0)V,1122331k (kx,kx ,kx ,0) V1231V1x(x,x , ,x ) x x x V312n12nx(x,x ,x x ,x ,x V ,但对V而21231232 (1,1,0,2) . VVV222 , , ,向量空间VV12r 0 r2 xx x112rr(x,x ,

27、,x )称为 12rx(x,x x ,x例 向量空间V1212 弐拾九 解 2是 V (1,1,1), (1,2,0), (3,0,0) 例 是R3123 1 1 31 2 01 0 03 1 10 2 10 0 1 60解 TTT123, ,故R3123xx2 x TTTT112331 1 3 81 1 3 8 1 2 0 7 0 1 3 1ATTTT1231 0 0 30 1 3 51 1 3 8 1 1 3 8 0 1 3 1 0 1 3 1 0 0 6 6 0 0 1 1 得x13,x 2,x 1.23(3, ）123(3,. (1,1,1), (1,2,0), (2,3,1)例 12

28、3 (1,1,1), (1,2,0) (1,1,1), (1,2,0), (2,3,1) 是12123 (1,1,1), (1,2,0), (2,3,1)2.123 a x a x a x b11 112 2nn1a x a x a x b 21 121 22n n2a x a x a x b1 1m2 2mn nm参拾aaa b x 1112n1 b1 xaa22a AxbA,b,X 212n22 . a1am2abx n mmnx2 x bx112nna 1j a (j 1,2, ,n)2 j ja mjAX0有非零解的充分必要条件是r() 0 A0.AX0AnnAXA是mnmn例1设A为

29、mnAx0）AAAA A例2. 设 是 AxA0A r() AxbAA是 Ax0n3Ax0An3. r()300 x x x 123 x x 例 x.1232x x x 01230 1 1 x x x 123 x x 01 1 0 x1232x x x 02 1 1123参拾壱 1 11 1(1 1 1 1 0 (1)(4)而2 1 12 2 00 x x x12301或 4. x x x1232x x x 0123 1或 4. 设 , Ax01C Ax0CCC212AX0, ,0设AX12s, ,AX0 , ,（1）12s12s, ,12s如果齐次方程组有非零解（即r()nAX0nr()AX

30、0nr()AX0 x x=0例4 312.x x 023 1 1 03 321个2 解 0 1 1 1, Ax0例5已知1234 , , , 12233441 , , , 12233441, ,12341234, 与12341234 4 4 参拾弐 , Ax0 ,故,0Ax解的解,12341234, , ,故与 ,故12341234123412341234Ax0 .又因为, ,所以1234,Ax0 D 123412341234 D例6.设n rA()nn ,， Ax0Ax0）, , , , , , 解 D0, ,AX0基础解系，则它的通解为3）齐次方程组 AX的通解公式如果是12nr, , ,

31、C CxC C CC nr1 122nr nr12 0 x xx512x x0例 6 x123x x x 0345 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 解A 1 1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 0 ,x ,x取x , x x13425参拾参 1 10 0 , 取1 200 01 1 1 10 x k0 ( ,kk k 1 21 2 00 10 , Ax0bb Ax Ax1212,1k k k1Axb k1221 122 是 Ax 0 是bAxAxb(1,0,1) ,x (3,4,5)例 7

32、x是 3 Ax bTT120组 Ax x x (2,4,6)解 T21(2,4,6) T0 Axb 例 8 Ax Axb A bA mn 是 nm AX则r(A)r(A)nr(A)r(A)n AX bAXb参拾四r(A)r(A)AXbb( ) ( )r A r A .AXAXA0.b1 231例 9 3Axb A 0 212 ，A0 0a(a a1 a ABB当a 0( )2, ( )3r A r A 解 a 0.例 如果非齐次线性方程组 Axb有解,则它有惟一解的充分必要条件是其导出组Ax0.解 Axb( ) ( ) 有惟一解的充分必要条件是r A r A Ax0 AXbx C C C1 1

33、22nr nr其中 AXbr r(A), ,12nrAX0例 设3 Axb(1,0,2) ,1,3)r()2， TTA,k ,k ,k）12A. k (1,0,2) k 1,3)B. (1,0, 2) k1,3)TTTT12C. (1,0,2) k(0,1,1)D. (1,0,2) k(2,1,5)TTTT参拾伍 (1,0,2) , (1, 1,3) (0,1, 1) Ax b解 TTTAx0Ax0为 3 r()2 (0,1, 1) (1,0,2) TTAxb(1,0,2) k(0,1,1)为Ax bTT Cx 2x=3124x 7x x 10例 设 3123x x b232x 3x ax 4

34、123,b a 1 2 0 31 2 0 31 2 00 1 10 0 0324 7 1 100 1 1 2(解A(0 1 10 1 12bbb2 3 a 40 1 a 20 0 a1 01 2 00 1 1320 01 0 a0 0 0 b2 b20即 当b2,a b20,a10即当 b当 b2,a 1 b20,a10即 2 , ,xx3取x 120 2 1 1 2 1.2x C C 0 1 (2,1,b) (1,1,1), (2,3, )a b, a例12 12ab4a b0ab4a b0参拾六 1xxTTT1221 2 21 3 11 a b10212 1 TTT 12 0 a2 b2

35、1 221 22 0 11 0 1 1 0 0 ab40 0 b2a2 ab4 C A 是 n A A 0E A E()x0的值 是 n AA 例1 设A为 3E为 32E3A0A 【】32232332 0为A E A .22解2E3A0 EAA .33 B1 0 1 0 1 00 x 例2 A1 0 x0.A 为A E1 0 11 0 11 10A 0 1 0 0 1 0 x10解A1 x1 0 x1 0 x故x1.1例3 设3阶矩阵A A.参拾七aa 1a a aa aaaa1 a a a a a a aa 解 因为3 A aa 1a a a 21a aaaaa1 a a a 2 2 1

36、2. 2a a aa 2A . 21 1 1 10 2 1 1例4设矩阵AA）0 0 3 10 0 0 3A1234 1, 2, 3 3 解 A12343431 111 2 1 1 0 32 110 1 1 10 3EA0 33 1 0 0 0 000 330 0 0 0r(3E)3(3E)x03 A3A . CA 与AT, 0k kkA 的特征向量，k k k121211221122阵A, , 设nA的n12n(1) trAa a a ;12n1122nn A.1 2nA f A f()( )5）设 Af(x)a x a xk1 a .k01k1 0A1参拾八例5设nA n A2E2E.解f

37、() A2E,则f(x) x2,因为 A有一个特征值为2A2E,故 必有一个特征值为f(2242(2 )1例6设A为nA A1 若 A 1122A 4 A .(2 )解A 1414.2AO0 2A 或 .例7 A是nA2( )()f A ( )O a A a A a Ef 设 为Af Amm1mm10 22A A证 设 为A222AO 0 0或 2A22,BnP,B P APA与B设A 1 , 与 与 A BA BA B，1 2n n, , , trB trA a a a且trA,其中trAA121122nn12nA的 n1 0,B1 1 A与B A与B AA与B0 10 例8 设3阶矩阵A与

38、BABtr(B)【】 3 2 参拾九解 B B故 tr(B)0123 A例9 设3阶矩阵A与BA2,2,3. 则1 ）B117 1( )f()A f 1 解 因为3 A与BB与AB2,2,31 1 11 1 1 1B1 , , . B .12 2 32 2 3 12 A例10若2阶矩阵AB 2 0EEA， 为 2）2 31 01 01 41 41 01 02 42 4() f(B)与 A与B f1 00 12 0 1 0解 1 EB EB1, 4 与 A B ，故2 3 2 4 12EA与EBEA 解21 01 0 EAEA 0 42 41 01 0AE与0 42 4 C四拾AA, ,A的 A

39、有 n 12n, p , , p, ,的 n .若令n p A12n12np P p p12n 00010 P1AP2.0 0nA有 n AA例11 A）nA A有nB A有nD A0C A B1 1 A0 11 1 0 1 0 1 EA 0 11 0 00 0 1 1故(E)x0A0 11 1A0 P p p p ，例 A0,1,1 ）p , p , p1231230 0 00 0 0 0 1 0AP 0 1 0 PP1P110 0 10 0 10 0 0 0 1 0010 0 , p , p 0,1,1A p1230 0 00 0 0P 0 1 0 P 0 1 0 .110 0 10 0

40、四拾壱 C4 10 03 0A 1 P1APD.例 PD60 0解A 4 0EA 1 3 0 ( ( 2)( .260 0,2, 1.A123 0 当时14 10 01 0 01 0 01 0 0EA 1 3 0 2 5 0 0 5 0 0 1 06 0 01 3 00 3 00 0 00,xxp 0 ) 0 E A x A属取x 12311 01当 2时22 10 01 5 01 5 0EA 1 5 0 0 0 0 0 15 16 0 20 15 0 0 0 5 ,xxp 1取x 123215 当 1时35 01 2 0 1 2 0EA 1 2 0 1 2 0 0 16 0 16 0 10

41、0 02 ,xx 1取x p 123312 0 5 20 0 0 p p p 0 1 1 ,D 0 2 0取P,1231 15 120 0 1四拾弐 P1.4 0 0 5 2 0 2 13 0 0 1 1 0 2 1 60 01 12 0 12 0 5 2 0 0 0 0 10 2 0 1 1 0 2 0 0 2 1 1 15 120 0 1 0 30 12 P APD 1 1, 2, 1 例 设 3 阶 矩 阵 A的 特 征 值 为 :且 已 知 A属 于 特 征 值的 特 征 向 量 为 (1,0,0) , (0,1,1) A.1231(0,1,1) ; 2 ATTT12323, , A

42、A An123123,123 0 01 0 0P 有 P112320 0 3 0 01AP 00 P1故20 0 30 1 01 0 1 ,1 0 0 0 2 0 .解 令 P1231 0 10 0 2 A P1.0 1 0 1 0 01 0 1 0 1 0 P E 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 11 0 1 0 0 1111 0 0 01 0 1 0 1 01 0 1 0 1 0220 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 00 0 2 0 1 11 11 10 0 1 00 0 1 02 22 2 12102 1 0 0 P1

43、1 10 2 2 四拾参121121002 0 00 1 0 1 0 00 2 0 223 1故APP 1 0 1 0 2 0 1 0 0 1 0 2 1 0 0 01 2 21 0 10 0 21 11 0 21 1001 30 2 2 2 2 2 21 2 (1,0) , (1,1) .例 2 A 与 A；TT12 A5 050 51 5510 0 5221 2 (1,0) , (1,1) .解因 为 2 阶 矩 阵 A的 特 征 值 为与 ， 对 应 的 特 征 向 量 分 别 为取TT121 01 1 P P AP10 10 2121 01 1 1 0 1 1 1 3APP 1 .0

44、20 10 2 0 1 0 21 0P P1 0(P P)1 01 0P1 PP1 055P1 50 2 1P1P10 20 20 20 21 1 1 0 1 11 33 0 10 32 0 10 32 1 25 0,B , (1,1) 例 A ATT4 32 11211 (3,1) , (0,1) , 5, A B B P P1AP B.TT221211 221 15 0 A 有 Q AQ解 A， Q112 10 112211213 05 0 Q BQ Q1，1 10 1212225 0QQ Q Q AQQ故 B1211210 2211 11 0 12 3QQ P12， 2 1 3 1 3

45、3 1 31 B.则 P1AP四拾四a b 1 a1 b , a b a b a b,(,) 22T 1 12 2n na nb n,) a a a21222n0 5 (1, 3,2) , ( 1,2,0) ,) 例 3TT 1,)3,2) 2 7解 0 7111 ,2例 , 与123x 1 x,解 设 与 212 x 3x x x 0123x 2x 3x 0123 1 621 2 61 16例 四拾伍11 10 ， .0112 00 1 1112 1 011 ( , )1 , 1 k 解 取2 0(,)1 2021122121 111000 0 11 6 2 11 1,6则1 2122 22

46、0 6 0 0 E1）正交矩阵的定义；如果n A T A AA AA 1 ；T,BnARn A A 的P P1APAP P1AP 0, 2A ( ) 例 设 3 A0）123B132四拾六2 0 0 0, 20 0 0 A解 3 AA必1230 0 02 0 00 0 0( )1 A .0 0 0 B1 22 1例 A P1APP 1 2E( 1) 2 ( 1)( 3) A 解 222 111, 3.A22 21 11 E A E A2 20 0111 (E)x0 .故 p 取x ,x , p2为 1 1111 A112 21 1 33 E A E A当2 20 0111(3E)x0p 2取x

47、 x p2为A属1112 311111 2222ppp P p p p, p1211111p12 122 2222 1 0且P1AP0 3 四拾七(x,x , x )x Ax f AT12n(x ,x ,x )x x x 2x x 4x x例1 f212223）1231 21 31 2 42 1 04 0 11 2 40 1 00 0 11 1 01 1 20 2 11 1 21 1 02 0 1 2 1 1 3 4例 2.1 4 5 f(x,x ,x )为123 解 f(x ,x ,x )2x 3x 5x 2x x 2x x 8x x212223123121323 设A与B P n,BP A

48、PT A与B(x,x , x )x Axx（其中 P 为可逆阵）则对于二次型 f，做非退化的线性变换变换T12nf(x,x , x ) x Axy (P AP)yTTT12n(x ,x , ,x ) x Axx1定理 fT12nf(x,x , ,x ) y y y2 ，2212n1122nn, ,A的n12nAP 0010 P AP2T0 0n, ,A的nA12n 00010 20 0n四拾八 例 3 ( , , )2 x f x x x2xx 2x xx x1231 21 32 3 0 1 1 1 0 1解 A1 1 0 A1 1 2 1 1 1 1 1 EA1 1 1 1 2 1 ( 2)

49、1 1 2 1 1 1 1 110 0 1A0, A 1, 2.E( 0 1( 2)( 2，0令当1231 1 11 1 1 1 1 1 1 0 0 0E A 121 1 0 0 0 1 1 (E)x0 1 , 0, p p A pp 12120 1 1 122 1 1 1 2 2 1 2 1 1 2 1 E A当31 1 2 2 1 11 1 21 1 2 0 3 3 0 1 10 3 3 0 0 0 1(E)x0 p 1 p 23A331 2 1 (p ,)121 , p , 21 0 1 将 ppp ,)21211221 1 0 11 1 四拾九1 1 1 263 111 p1, , .

50、 1223 26323p3 1021 6 3 111 263111 P x26312321063f yy2y .221223 111 263111P x26321063f yy2y .221223 例 f(x ,x ,x )x2 4x x 2x x 4x x 222312311 32 3 (x,x ,x ) x 4x x 2xx 4x x解 f2122231231 32 3x 2xx x 4x 4x x2123221 32 3(x x ) (2x ) 2(2x )x x x22232313223(x x ) (2x x ) x22231323y x x1132x x 令 y f yyy2.32

51、122223y x331y ,x (y y ),x y y x，2332231131 0 1x y 12111 即x x 0y . 222 xy 0 0 133(x,x ,x ) 2xx 2xx 6x x例 5 f123121 32 3伍拾x y y112y y解 令x212x y33f(x,x ,x ) 2xx 2xx 6x x 123121 32 32(y y )2(y y y y )6(y y y y )2122132313232y 2y 4y y 8y y212213232(y 2y y y )2y 8y y 2y 2123222313232(y y ) 2(y 2y ) 6y 222

52、313232z 2z 6z .212223z y yx z z 3z1131123y 2yx z z zz2232123z yx z3333 fnx AxTf z zz z ,22122k1krk和 k r1 r k1 r(x,y,z)x y例6 f p ）2 解1B(x,x ,x )2x 3x 4x例7 3 f21222 【3】123z z zz z zz z zz z z212223212223212223212223 (x,x ,x )2x 3x 4x f21222 3123z21z22z23D伍拾壱0 0 1 0 1 0例8设矩阵AxT）1 0 0z2 z2 z2z z z212223

53、123z zz z zz212223212223 01解法1 E0 1 0 ( 1) ( 1)A 2 1 0A1z zz212223z z z212223x 2xx解法2 x AxT221 3y y ,x y y ,x y令x11231223y 2(y y )(y y )2y 2y y则 x AxT232122231212z z z21222 .3 Cx Ax n fAT0(0) xx AxT Af0(0) xx AxT 称 f A f(x ,x , ,x ) xAxn.12nf(x ,x , ,x ) xAxA12nf(x ,x , ,x ) xAxA12nf(x ,x , ,x ) xAx

54、A123nnn；n n(x ,x ,x ) 3x x ax 2ax x例 f212223a 1231 2伍拾弐3 a 03 02a a 1 0解 A 0 a0 0 a a 0a 3.4 A与 B 伍拾参线性代数（经管类）考点逐个击破第一章 行列式（一）行列式的定义.1二阶行列式a a 11 a a(i, j 由 4 a21a a a a a a11a a1211 2212 2121222三阶行列式a a a1112 a a a13(i, j 由 9 a2122a a a23313233.3余子式及代数余子式a a a121113 a a a D32122a a a23333132 a i j

55、a Ma a22a aa aa aM M M23 ，12a a13 ，12a a13112131323332332223( MAa A .i jijij MA MA M A， D3五四a a aD a aa a A a A a A3 a a a 我 们 把 它 称 为按 第 一 列 的 展 开 式 ， 经 常 简 写 成D3 33D a A (i1a M31 111i1i1n 阶行列式 a a D11111a a a1112na a a a A a A a An D21222nn11 1121 211 1a a a1n2nn(i, j 1,2, ,n) A .aijij5特殊行列式a a11a

56、12n0 aa2na aa2211 22nn0 0anna00011aa22a aa 2111 22nna a1annn2a000110 aa aa2211 22nn0 0ann（二）行列式的性质DT 1 D 2 k D ，. 3 . 1 . 2 .五五 4 . 5 D an Dijn D a A a A ( , )a A i n1 1i2 i2或 D a A ( , )a A j a A2 j 2 jn1j 1j D i D j . a 2 n Dijna A a A 0(i k)即 a A1 k1i2 k2 a A a A 0(j s)或 a A1j 1s2 j 2s （三）行列式的计算（

57、 k （2 1 4 13 1 2 1例 1 D4 5 2 3 27 0 2 51 12 .五六2 1 4 12 1 4 15 6 2按第二列展开1 5 07 2 53 1 2 1 行 1行 5 0 6 2D 4 5 2 3 2 行 (2)行 1 0 5 07 0 2 5 7 0 2 55 231 2列 5列1 0 0 按第二行展开8137 57 37 5a b b bb a b b例 2 D4b b a bb b b a1 0 值.abb aa b b b ab b b b1 b b b1 a b b1 b a b1 b b ab a b b ab a b b(ab)b b a b ab b

58、a bb b b a ab b b a1bb b0 ab 00(ab)000 ab 00 0 ab (ab)(ab)3 2 D41 b b b b1 bbb ba b b bb a b bb b a bb b b a0 a b b b 0 b a b b0 b b a b0 b b b a1 ab 00 05行D 1 0 ab 0 041 01 00 ab 000 abbaba，1b 0即 a.ab五七bab01bbbbab 000b0000 ab 00 1(ab) (ab)(ab)4b a 000 ab 00 0 ab111x xx (x x )(x x )(x x )例 3 V312321

59、3132x12x2x223（四）克拉默法则 n n a x a x a x b,11 112 2nn1a x a x a x b ,21 122 22n2na x a x a x b1 1n2 2nn nnDa 0 x , j ,n DjDijjn D j b.D,b ,bj12n 2 n n a x a x a x 0,11 112 2nna x a x a x 0,21 122 22nna x a x a x 01 1n2 2nn n0 0 D x xx12n0Dn n .五八第二章 矩阵（一）矩阵的定义1矩阵的概念n( a i, ; , )m j n 行 mn由 mija a a1112

60、1na aa A21222na a amn1m2n m 行 n mnA a当 m为 n n ijn nO或 O n23个常用的特殊方阵：a0 0110 a 0n A220 0 ann1 000 0n En0 01a0 0a a11a12n110 a aa a 0,n 222n21220 0aa a ann1n2nn矩阵与行列式的差异 n * ”.（二）矩阵的运算五九矩阵的同型与相等(a )B(b ) m k， n A 与 B A， mnkb A与 B A B阵若 A与 Ba.矩阵的加、减法(a )B(b )设 A， mn nAB(a b )AB(a b ) n n A与 B.数乘运算(a )k