新人教版-八年级数学上-全等三角形-全章课件超

1、第十二章 全等三角形八年级数学上12.1全等三角形能够完全重合的两个图形叫做全等形。像上面能够完全重合的三角形叫ABCABCABCABCABCABCABCABCBACABC全等三角形互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角。记做：ABCABC 读做：ABC全等于ABC根据上图指出对应顶点、对应边和对应角。1、观察上图中的全等三角形应表示为: 。ABCDEF注意：记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。2、根椐全等三角形的定义试想它们的对应边、对应角有什么关系？ 请完成下面填空： ABC DEF（已知） AB DE，BC EF，AC DF

2、A D，B E，C F。3、由此可得全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等全等三角形的对应角相等思考一： 若你手上有一张长方形纸片，如何是长方形变成两个最大的全等三角形，而总面积又没有 变化？思考二：拓展与延伸 下图是一个等边三角形，你能把它分成两个全等三角形吗？你能把它分成三个全等三角形吗？四个呢？例 如图已知 AOC BOD求证：ACBDABCD2 如图ABCCDA，AB=CD，用等式写出两个三角形其它的对应边和对应角。3 如图：已知ABDACE，且AB=AC，用等式写出两个三角形的其它对应边和对应角。CEBAD公共角为对应角ABDEC4 如图ABCEDC，A=E，用等式写出两个三角形其

3、它的对应角和对应边。对顶角为对应角5 如图：ABCABD，且AC=AD，用等式写出这两个三角形的其它对应边和对应角。 公共边为对应边ABCD三、请指出下列全等三角形的对应边和对应角1、 ABE ACF对应角是： A和A、 ABE和ACF、 AEB和AFC；对应边是AB和AC、AE和AF、BE和CF。2、 BCE CBF对应角是： BCE和 CBF、 BEC和CFB、 CBE和 BCF。对应边是：CB和BC、CE和BF、CF和BE。3、 BOF COE对应角是: BOF和COE、 BFO 和CEO、 FOB和EOC。对应边是：OF和OE、OB和OC、BF和CE。3、如图 ABD CDB，若AB=

4、4，AD=5，BD=6，则BC= ，CD= 。4、如图ABD EBC，AB=3cm,BC=5cm,求DE的长课堂小结1、能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形2、全等三角形的对应边相等、对应角相等3、全等三角形用符号“”表示，且一般对应顶点写在对应位置上4 、找全等三角形对应边和对应角的方法：达标测试1、能够 的两个图形叫做全等形。两个三角形重合时，互相 的顶点叫做对应顶点。记两个全等三角形时，通常把表示 顶点的字母写在 的位置上。ABCDE2、如图ABC ADE若D= B， C= AED，则DAE= ； DAB= 。 全等三角形的运用举例例1 已知如图ABCDFE，A=96，B=25，DF=

5、10cm。求 E的度数及AB的长。BACEDF例2 已知如图 CDAB于D，BEAC于E，ABEACD，C=20，AB=10，AD=4，G为AB延长线上的一点。求 EBG的度数及CE的长。ECADBGF例3如图：已知ABCADE，BC的延长线交DA于F，交DE于G，ACB=105，CAD=10，D=25。求 EAC，DFB，DGB的度数。DGEACFB2. 叫做全等三角形。1. 能够完全重合的两个图形叫做 。全等形4.全等三角形的 和 相等对应边对应角对应顶点全等三角形知识回顾 能够完全重合的两个三角形3.“全等”用符号“ ”来表示，读作“ ”对应边对应角全等于 其中：互相重合的顶点叫做 互相

6、重合的边叫做互相重合的角叫做 1.与图1所示图形全等的图形是2.将图2所示绕A点顺时针转90所得到的图形是图1AABCBACDBCD图2DB 3. ABCFED写出图中所有相等的线段，相等的角； 图中线段、角除相等外，还有什么关系吗？ A B C D E F 随堂练习百 “练” 成 钢不要漏掉BD=ECABFE ACFD4.如图,矩形ABCD沿AM折叠,使D点落在BC上的N点处,如果AD=4cm,DM=3cm, DAM=39,则AN=_cm, NM=_cm, NAB=_ _.MDANBC4cm3cm）3943 3912.2全等三角形的判定学习 目标1掌握三角形全等的“边边边”定理2了解三角形的

7、稳定性3经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程 预习 探路1你能用尺规作两个三角形全等吗？2什么是”边边边”定理.你能说说它的作用吗?AB=DE BC=EF CA=FD A= D B=E C= FABCDEF 1、 什么叫全等三角形？能够重合的两个三角形叫 全等三角形。2、 全等三角形有什么性质？ 创设情境ABCDEFAB=DE CA=FD BC=EF A= D B=E C= F1.满足这六个条件可以保证ABC DEF吗？2.如果只满足这些条件中的一部分,那么能保证ABC DEF吗?思考：1.只给一条边时；331.只给一个条件452.只给一个角时；45结论:只有一条

8、边或一个角对应相等的两个三角形不一定全等.探究一两边；两角。一边一角； 2.如果满足两个条件，你能说出有哪几种可能的情况？如果三角形的两边分别为4cm，6cm 时6cm6cm4cm4cm结论:两条边对应相等的两个三角形不一定全等.三角形的一条边为4cm,一个内角为30时:4cm4cm3030结论:一条边一个角对应相等的两个三角形不一定全等.45304530如果三角形的两个内角分别是30，45时结论:两个角对应相等的两个三角形不一定全等.根据三角形的内角和为180度，则第三角一定确定，所以当三内角对应相等时，两个三角形不一定全等两个条件两角；两边；一边一角。结论：只给出一个或两个条件时，都不能保

9、证所画的三角形一定全等。一个条件一角；一边；你能得到什么结论吗？三角；三边；两边一角；两角一边。 3.如果满足三个条件，你能说出有哪几种可能的情况？探索三角形全等的条件已知两个三角形的三个内角分别为30，60 ，90 它们一定全等吗？这说明有三个角对应相等的两个三角形不一定全等三个角已知两个三角形的三条边都分别为3cm、4cm、6cm 。它们一定全等吗？3cm4cm6cm4cm6cm3cm6cm4cm3cm三条边先任意画出一个ABC，再画出一个ABC ,使AB= AB ,BC =BC, A C =AC.把画好ABC的剪下，放到ABC上，他们全等吗？画法: 1.画线段 BC =BC;2.分别以

10、B ， C为圆心,BA,BC为半径画弧,两弧交于点A;3. 连接线段 AB ， AC .探究二上述结论反映了什么规律？三边对应相等的两个三角形全等。简写为“边边边”或“SSS”边边边公理 注： 这个定理说明，只要三角形的三边的长度确定了，这个三角形的形状和大小就完全确定了，这也是三角形具有稳定性的原理。如何用符号语言来表达呢?在ABC与DEF中ABCDEFAB=DEAC=DFBC=EFABCDEF（SSS）判断两个三角形全等的推理过程，叫做证明三角形全等。全等三角形的判定定理1：三边对应相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或“SSS”。 理性提升ABCDEF在ABC和 DEF中 ABC DE

11、F（SSS） AB=DE BC=EF CA=FD思考：你能用“边边边”解释三角形具有稳定性吗？ 判断两个三角形全等的推理过程，叫做证明三角形全等。例11. 如下图，ABC是一个刚架，AB=AC，AD是连接A与BC中点D的支架。 求证： ABD ACD 要证明 ABD ACD，首先看这两个三角形的三条边是否对应相等。 理性提升 方法构想例11. 如下图，ABC是一个刚架，AB=AC，AD是连接A与BC中点D的支架。 求证： ABD ACD 理性提升证明：D是BC的中点BD=CD在ABD与ACD中AB=AC（已知）BD=CD（已证）AD=AD（公共边）ABDACD（SSS） 例2:如图，AB=AC

12、，AE=AD，BD=CE，求证：AEB ADC。CABDE 方法构想两个三角形中已经的两组边对应相等,只需要再证第三条边对应相等就行了.证明：BD=CE BD-ED=CE-ED， 即BE=CD。CABDE在AEB和ADC中，AB=ACAE=ADBE=CD AEB ADC (sss) 例2:如图，AB=AC，AE=AD，BD=CE，求证：AEB ADC。我们利用前面的结论，还可以得到作一个角等于已知角的方法。例3：已知AOB求作：AOB=AOB作法：1、以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C、D； 2、画一条射线OA，以点O为圆心，OC长为半径画弧，交OA于点C； 3、以点C为圆

13、心，CD长为半径画弧，与第2步中所画的弧交于点D； 4、过点D画射线OB，则AOB=AOBCCOABDOABD分析已有条件,准备所缺条件：证全等时要用的间接条件要先证好；三角形全等书写三步骤：写出在哪两个三角形中 摆出三个条件用大括号括起来 写出全等结论全等三角形证明的基本步骤： 小结归纳11、已知：如图，AB=AD，BC=CD， 求证：ABC ADCABCD 随堂练习2、如图，AB=CD，AC=BD，ABC和DCB是否全等？试说明理由。 ABCD证明：在ABC与ADC中 AB=AD BC=DC AC=AC ABC ADC解：ABC与DCB全等，理由如下：在ABC与DCB中 AB=CD BC=

14、CB AC=BD ABC DCB 中考链接1 已知如图：AC=FE，BC=DE，点A，D，B，F在一条直线上，AD=FB求证：ABC FDE， 当堂测试如图，已知AB=CD，AD=CB，E、F分别是AB，CD的中点，且DE=BF.求证：ADECBF,A=CADBCFEADECBFA=C证明:点E,F分别是AB,CD的中点AE= AB, CF = CDAB=CD AE=CF在ADE与CBF中 AE=CFAD=CBDE=BF1. 三边对应相等的两个三角形全等（边边边或SSS）；2.证明全等三角形书写格式：准备条件； 三角形全等书写的三步骤。3、证明是由题设（已知）出发，经过一步步的推理，最后推出结

15、论正确的过程。 小结归纳2全等三角形判定创设情景 因铺设电线的需要，要测量A、B两点的距离。（如图），因无法直接量出A、B两点的距离，现有一足够的米尺，且池塘右面是开阔平地，你能想办法测出A、B两点之间的距离吗？。AB知识回顾 三边对应相等的两个三角形全等（可以简写为“边边边”或“SSS”）。ABCDEF用 数学语言表述：在ABC和 DEF中 ABC DEF（SSS） AB=DE BC=EF CA=FD探究1：画三角形，寻找全等的条件对于三个角对应相等的两个三角形全等吗？ABCDE如图， ABC和ADE中，如果 DEAB，则A=A，B=ADE，C= AED，但ABC和ADE不重合，所以不全等。

16、三个角对应相等的两个三角形不一定全等画一个三角形，使它得的三角分别为400、600、800你还能从身边找到这样的反例吗？做一做：画ABC,使AB=3cm，AC=4cm，A=45 。画法：2. 在射线AM上截取AB= 3cm3. 在射线AN上截取AC=4cm1. 画MAN= 454.连接BCABC就是所求的三角形把你们所画的三角形剪下来与同桌所画的三角形进行比较，它们能互相重合吗？探究2三角形全等判定方法2用符号语言表达为：在ABC与DEF中AB=DEB=EBC=EFABCDEF（SAS）ABCDEF 两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。简写成“边角边”或“SAS”概念运用：1.在下列推理

17、中填写需要补充的条件，使结论成立：如图，在AOB和DOC中，AO=DO（已知）_ = _ （ )BO=CO(已知）ABCDEF（ ）SAS对顶角相等AOBDOC2.在下列推理中填写需要补充的条件，使结论成立：如图，在AEC和ADB中，_=_（已知）A = A （公共角)_=_(已知）AECADB（ ）AEADACABSAS3.在下列推理中填写需要补充的条件，使结论成立：如图在ABD和DCB中，AD=CB（已知）_ = _ （已知)BD=_( ）ABDCDB（ SAS ）ADBCBDDB公共边总结体会：1.已知：如图， AB=CB ， ABD= CBD ABD 和 CBD 全等吗？学以致用分析:

18、 ABD CBD边:角:边:AB=CB(已知)ABD= CBD(已知)？ABCD(SAS)BD=BD(公共边）证明：在 ABD 和 CBD 中 BA=BC（已知） ABD=CBD（已知） BD=BD(公共边） ABD CBD（SAS）追问：例1的已知条件不改变, 问AD=CD吗?BD平分ADC吗？ 已知：如图， AB=CB ， ABD= CBD 。问AD=CD， DB平分 ADC 吗？例题推广ABCDABCD变式： 已知:AD=CD， BD 平分 ADC 。 问A= C 吗？2.已知：如图， AO=BO ，DO=CO求证：ADCB归纳：判定两条线段相等或二个角相等可以通过从它们所在的两个三角形

19、全等而得到。练习：1.如图，AC=BD，CAB= DBA，你能判断BC=AD吗？说明理由。ABCDABCD2.已知：四边形ABCD中，ABCD，且AB=CD求证：AD=BC综合提高已知：AB=AD，CB=CD.求证：ACBD.分析：欲证ACBD，只需证AOB= AOD，这就要证明 ABO ADO，它已经具备了两个条件： AB=AD，OA=AO,所以只需证BAO= DAO，为了证明这一点，还需证明ABC ADC.证明：在ABC 和ADC中，AB = AD (已知），CB = CD（已知），AC = AC (公共边） ABC ADC（SSS）， BAO = DAO (全等三角形的对应角相等）在AB

20、O 和ADO中，AB = AD (已知）， BAO = DAO (已证），AO= AO (公共边） ABO ADO（SAS）， AOB = AOD (全等三角形的对应角相等） AOB = AOD=90. ACBD(垂直定义）. 又AOB + AOD =180(邻补角定义）如右图，问题探究 因铺设电线的需要，要测量A、B两点的距离。（如图），因无法直接量出A、B两点的距离，现有一足够的米尺，且池塘右面是开阔平地，你能想办法测出A、B两点之间的距离吗？。AB问题探究小明的设计方案：先在池塘旁取一个能直接到达A和B处的点C，连结AC并延长至D点，使AC=DC，连结BC并延长至E点，使BC=EC，连结

21、DE，用米尺测出DE的长，这个长度就等于A，B两点的距离。请你说明理由。BAEDC 以2.5cm，3.5cm为三角形的两边，长度为2.5cm的边所对的角为40 ，情况又怎样？动手画一画，你发现了什么？ABCDEF2.5cm3.5cm40403.5cm2.5cm结论：两边及其一边所对的角相等，两个三角形不一定全等探究2 三边对应相等的两个三角形全等（可以简写为“边边边”或“SSS”）。ABCDEF在ABC和 DEF中 ABC DEF（SSS）AB=DEBC=EFCA=FD用符号语言表达为： 三角形全等判定方法1知识回顾: 三角形全等判定方法2用符号语言表达为：在ABC与DEF中ABCDEF（SA

22、S） 两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。(可以简写成“边角边”或“SAS”)知识回顾:FEDCBAAC=DFC=FBC=EF知识梳理:ABDABCSSA不能判定全等1.若AB=AC，则添加一个什么条件可得ABD ACD?ABD ACDAB=ACABDCBAD= CADSA S考考你AD=ADBD=CDS2.如图，要证ACB ADB ，至少选用哪些条件?ABCDACB ADBSASAB=ABCAB= DABAC=ADSBC=BD？三角形全等的判定(ASA,AAS)回首往事：1.什么样的图形是全等三角形？2.判断三角形全等至少要有几个条件？答：至少要有三个条件边边边公理： 有三边对应相等的

23、两个三角形全等。边角边公理： 有两边和它们夹角对应相等的两个三角形全等。ABCABC问题： 如果已知一个三角形的两角及一边，那么有几种可能的情况呢？答：角边角（ASA） 角角边（AAS） 先任意画出一个ABC，再画一个A/B/C/，使A/B/=AB， A/ =A， B/ =B (即使两角和它们的夹边对应相等)。把画好的A/B/C/剪下，放到ABC上，它们全等吗？探究5BAC画法：1、画A/B/AB；2、在 A/B/的同旁画DA/ B/ =A ， EB/A/ =B， A/ D，B/E交于点C/。通过实验你发现了什么规律？ACBABCED已知：任意 ABC，画一个 A/B/C/，使A/B/AB，

24、A/ =A， B/ =B ： A/B/C/就是所要画的三角形。A=A （已知 ） AB=AC（已知 ）B=C（已知 ）在ABE和ACD中 ABEACD（ASA）用数学符号表示: 两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 (可以简写成“角边角”或“ASA”）。探究反映的规律是：如图，应填什么就有 AOC BOD:A=B,（已知） ,1=2, （已知）AOCBOD (ASA)AO=BO 两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 (可以简写成“角边角”或“ASA”）。12例题讲解例1.已知：点D在AB上，点E在AC上，BE和CD相交于点O，AB=AC，B=C。 求证：(1)AD=AE; (2)BD=

25、CE。 证明 ：在ADC和AEB中A=A（公共角）AC=AB（已知）C=B（已知）ACDABE（ASA）AD=AE（全等三角形的对应边相等）又AB=AC（已知） BD=CE1.如图,O是AB的中点，A= B， AOC与BOD全等吗?为什么？OABCD两角和夹边对应相等BODAOCDD(已知)(中点的定义)(对顶角相等)解：在 中2. 如图，点B、E、C、F在一条直线上，ABDE，ABDE，AD 求证：BE=CF帮帮我 小明踢球时不慎把一块三角形玻璃打碎为两块,他是否可以只带其中的一块碎片到商店去,就能配一块于原来一样的三角形玻璃呢? 如果可以,带哪块去合适呢?为什么?(2)(1)CBEAD利用

26、“角边角”可知,带第(2)块去，可以配到一个与原来全等的三角形玻璃。(1)(2)(2)探究6 如下图，在ABC和DEF中,A D, BE, BCEF, ABC与DEF全等吗？能利用角边角条件证明你的结论吗？EFDBAC在ABC和DEF中,A +B +C1800, D +E +F =1800, A D, BE, CF, BE, BCEF, CF, ABC DEF （ASA）AE=AD（已知 ）A=A （已知 ） B=C（已知 ）在ABE和ACD中 ABEACD（AAS）用数学符号表示:两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）。探究反映的规律是：例: 如

27、图,O是AB的中点，C= D， AOC与BOD全等吗?为什么？OABCD两角和对边对应相等BODAOCDD(已知)(中点的定义)(对顶角相等)解：在 中C= D(AAS) 到目前为止,我们一共探索出判定三角形全等的四种规律，它们分别是:1、边边边 (SSS)3、角边角 (ASA)4、角角边 (AAS)2、边角边 (SAS)练一练：1、如图ACB=DFE，BC=EF，根据SAS,ASA或AAS， 那么应补充一个直接条件 -，（写出一个即可），才能使ABCDEF.2、如图，BE=CD，1=2，则AB=AC吗？为什么？ABCDEFAC=DF或B=E或A=DCAB12EDAB=AC相等知识应用1. 如

28、图，要测量河两岸相对的两点A，B的距离，可以在AB的垂线BF上取两点C，D，使BC=CD，再定出BF的垂线DE，使A， C，E在一条直线上，这时测得DE的长就是AB的长。为什么？ABCDEF在ABC和EDC中, B=EDC=900 BCDC, 12, ABC DEF （ASA） ABED.12证明：2.如图,ABBC, ADDC, 1=2. 求证: AB=AD. 知识应用在ABC和ADC中, B=D, 12, ACAC, ABC ADC （AAS） ABAD.证明： ABBC, ADDC, B=D=900, 练 习=ABECFD已知:如图B=DEF, BC=EF, 求证:ABC DEF(1)若

29、要以“SAS”为依据，还缺条件 ； (2)若要以“ASA”为依据，还缺条件 ； (3)若要以“SSS” 为依据，还缺条件 ;ACB= DEFAB=DEAB=DE、AC=DF 三步走：要证什么；已有什么；还缺什么。(4)若要以“AAS” 为依据，还缺条件；A= D1、边边边 (SSS)3、角边角 (ASA)4、角角边 (AAS)2、边角边 (SAS)(1) 图中的两个三角形全等吗? 请说明理由.全等 因为两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等.3535110110ABCDDBCABCDD(已知)(已知)(公共边)练 习(3) 如图，AC、BD交于点O,AC=BD,AB=CD.求证：ABCD

30、O证明: (1)连接AD, 在ADC和DAB中AD=DA（公共边）AC=DB（已知）DC=AB（已知）ADCDAB （SSS）C=B（全等三角形的对应角相等） (2) 在 AOB 和 DOC中 B = C （已证）1=2 （对顶角相等）DC=AB（已知）DOCAOB （AAS）OA=OD（全等三角形的对应边相等）12练 习综合应用1.如图，点E在AB上，1=2，3=4，那么CB等于DB吗？为什么？-全等三角形判定2.如图，说出AB 的理由。 3. 如图，AB=DE，AF=CD，EF=BC，AD，试说明：BFCE ABCDEF 4. 如图，在AFD和BEC中，点A、E、F、C在同一直线上，有下列

31、四个论断： AD=CB，AE=CF，BD， AC.请用其中三个作为条件，余下一个作为结论，编一道数学问题，并写出解答过程。ABCDEF5. 如图，在ABC和BAD中，BC = AD，请你再补充一个条件，使ABCBAD你补充的条件是 .ABCEF6. 已知：如图， AEF 与ABC中， E =B, EF=BC.请你添加一个条件，使AEF ABC.对于添加条件使两三角形全等的问题，当已有两个条件（包括隐含条件）时，如何思考？7.在ABC中, ACB=90,AC=BC,直线MN经过点C, ADMN于点D, BE MN于点E,（1）当直线MN旋转到如图(1)所示的位置时,猜想线段AD、BE、DE的数量

32、关系，并证明你的猜想。图(1)7.在ABC中, ACB=90,AC=BC,直线MN经过点C, ADMN于点D, BE MN于点E,（2）当直线MN旋转到图(2)的位置时,猜想线段AD,BE,DE的数量关系，并证明你的猜想图(2)7.在ABC中, ACB=90,AC=BC,直线MN经过点C, ADMN于点D, BE MN于点E,（3）当直线MN旋转到图(3)的位置时,猜想线段AD,BE,DE的数量关系，并证明你的猜想图(3)（2010江苏南通）如图，已知：点B、F、C、E在一条直线上，FB=CE，AC=DF能否由上面的已知条件证明ABED？如果能，请给出证明；如果不能，请从下列三个条件中选择一个

33、合适的条件，添加到已知条件中，使ABED成立，并给出证明供选择的三个条件（请从其中选择一个）：AB=ED；BC=EF；ACB=DFEABDEFC11.2.4 三角形全等的判定(HL)1：如图:ABCDEF，指出它们的对应角、对应边。ADBECF2：我们已经学过判定全等三角形的方法有哪些？ABDEACDFBCEFADBDEFACBF（SSS）、（SAS）、（ASA）、（AAS）复习旧知 引入新知ABCA1B1C1如图，舞台背景的形状是两个直角三角形，工作人员想知道这两个直角三角形是否全等，但两个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量.你能帮他想个办法吗？创设情景 引入课题ABCA1B1C1方法1

34、：用直尺量出斜边AB, A1B1的长度，再用量角器量出其中一个锐角（如A与A1 ）的大小，若它们对应相等，据根（ ）可以证明两直角三角形是全等的。 方法2：用直尺量出不被遮住的直角边AC, A1C1的长度，再用量角器量出其中一个锐角（如A与A1 ）的大小，若它们对应相等，据根（ ）可以证明两直角三角形是全等的。AAS ASAABCA1B1C1如果他只带了一个卷尺，能完成这个任务？那么他只能测直角边和斜边了，只满足斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形能全等吗？画一画： 任意画一个RtACB ，使C90，再画一个 RtACB使CC，BCBC，ABAB（1）：你能试着画出来吗？与小组交流一下。作

35、法：1、画MCN=902、在射线CM上取BC=BC3、以B为圆心，AB为半径画弧，交射线CN于点A4、连接AB，ACB就是所作三角形。（2）：把画好的RtACB放到RtACB上， 它们全等吗？你能发现什么规律？ 动手实践 探索规律直角三角形全等的判定方法:斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。简写成“斜边、直角边”或“HL”.例4:如图，ACBC， BDAD， ACBD，求证：BCADABCD证明： ACBC， BDAD C与D都是直角. AB=BA, AC=BD .RtABCRtBAD (HL). BCAD在 RtABC 和 RtBAD 中，总结规律 运用新知AFCEDB如图，AB=

36、CD, BFAC,DEAC,AE=CF求证：BF=DE巩固练习AFCEDB如图，AB=CD, BFAC,DEAC,AE=CF求证：BD平分EFG变式训练1如图，AB=CD, BFAC,DEAC,AE=CF想想：BD平分EF吗?CDAFEBG变式训练2议一议如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，两个滑梯的倾斜角ABC和DFE的大小有什么关系？ABC+DFE=90联系实际 综合应用解：在RtABC和RtDEF中 BC=EF, AC=DF . RtABCRtDEF (HL).ABC=DEF(全等三角形对应角相等). DEF+DFE=90,ABC+DFE=90

37、1.如图所示,已知点C为线段AB上一点,ACM、BCN是等边三角形.(1)求证:AN=BM;综合应用（2）若等边三角形CBN绕顶点C顺时针旋转后（旋转角180），此时AN与BM是否还相等？若相等，给出证明；若不相等，说明理由 (3)若把原题中“ACM和BCN是两个等边三角形”换成两个正方形(如图所示),AN与BM的关系如何?请说明理由.127感悟与反思：、平行角相等；、对顶角角相等；、公共角角相等；、角平分线角相等；、垂直角相等；、中点边相等；、公共边边相等；、旋转角相等，边相等。义务教育课程标准实验教科书八年级数学上全等三角形全章检测题11能够 的两个图形叫做全等图形2判定两个三角形全等除用

38、定义外，还有几种方法，它们分别可以简写成_；_；_；_；_3已知，如图，AD=AC，BD=BC，O为AB上一点，那么，图中共有 对全等三角形4如图，ABCADE，则，AB= ，E= 若BAE=120，BAD=40，则BAC= 5ABCDEF，且ABC的周长为12，若AB=3，EF=4，则AC= 6如图，AE=BF，ADBC，AD=BC，则有ADF ，且DF= 7如图，在ABC与DEF中，如果AB=DE，BE=CF，只要加上 = ，或 ，就可证明ABCDEF8ABCBAD，A和B，C和D是对应顶点，如果AB=8cm，BD=6cm，AD=5cm，则BC=_cm完全重合6题图一、填空题（每题2分，共

39、32分） 第3题图 第4题图7题图SSSSASASAAASHL三ADC805BCECEBDEFAB DE59ABC中，C=90，AD平分BAC交BC于点D，且CD=4cm，则点D到AB的距离是_10如图已知ACBD，1=2，那么ABC ，判定根据是_ _11如图，ABC中，ADBC于D，要使ABDACD，若根据“HL”判定，还需加条件_ _ _12如图，已知ACBD， AD ，请添一个直接条件， ，使AFCDEB13如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成三片，现在他要到玻璃店去配一块完全一样形状的玻璃那么最省事的办法是带_去配，这样做的数学依据是 14把两根钢条AA、BB的中点连在一起，可以做成

40、一个测量工件内槽宽的工具（卡钳）， 如图，若测得AB=5厘米，则槽宽为 米15ABC中，B60，C80，O是三条角平分线的交点，则OAC_，BOC_16将一张长方形纸片按如图所示的方式进行折叠，其中BC、CD为折痕，则BCD的度数为 第10题图 第11题图 第12题图4cmBADSASAB ACCF BE两个角及它们的夹边对应相等的两个三角形全等 0.0520度110度90度第13题图 第14题图 第16题图CBD74?817如下左图，AB与CD交于点O，OAOC，ODOB，AOD ，根据 可得到AODCOB，从而可以得到AD 18如上右图，已知ABC中，ABAC，AD平分BAC，请补充完整过

41、程说明ABDACD的理由 AD平分BAC （角平分线的定义） 在ABD和ACD中 ABDACD（ ）19如图，A、B两建筑物位于河的两岸，要测得它们之间的距离，可以从B点出发沿河岸画一条射线BF，在BF上截取BCCD，过D作DEAB，使E、C、A在同一直线上，则DE的长就是A、B之间的距离，请你说明道理二、填空题（共68分）19题图COBSASBCBAD CADAB=AC (已知）BADCAD (已证）AD=AD (公共边）SASCDE74?820已知：如图，点D、E在BC上，且BD=CE，AD=AE，1=2.求证：AB=AC21如图，在四边形ABCD中，E是AC上的一点，1=2，3=4，求证

42、: 5=6 BCDEFA22已知：如图，A、C、F、D在同一直线上，AFDC，ABDE，BCEF，求证：ABCDEFABCDE1 274?8AEBDCFACBDEF23已知ABDE，BCEF，D，C在AF上，且ADCF，求证：ABCDEF24已知：如图，AB=AC，BDAC，CEAB，垂足分别为D、E，BD、CE相交于点F，求证：BE=CD25如图，在ABC中，AD为BAC的平分线，DEAB于E，DFAC于F，ABC面积是28，AB20cm，AC8cm，求DE的长74?826已知：BECD，BEDE，BCDA， 求证： BECDAE； DFBC27已知：如图，ABC中，C=2B，1=2，求证：

43、AB=AC+CD28已知：AOB=90，OM是AOB的平分线，将三角板的直角顶P在射线OM上滑动，两直角边分别与OA、OB交于C、DPC和PD有怎样的数量关系，证明你的结论BCDEFAABCD12义务教育课程标准实验教科书八年级数学上全等三角形全章检测题274?81.在ABC中，BC，与ABC全等的三角形有一个角是100，那么在ABC中与这100角对应相等的角是（ ）A.A B.B C.C D.B或C2.如图，在CD上求一点P，使它到OA，OB的距离相等，则P点是（ ）A.线段CD的中点 B.OA与OB的中垂线的交点C.OA与CD的中垂线的交点 D.CD与AOB的平分线的交点3.如图所示，AB

44、DCDB，下面四个结论中，不正确的是（ ）A.ABD和CDB的面积相等 B.ABD和CDB的周长相等C.A+ABDC+CBD D.ADBC，且ADB4.如图，已知ABDC，ADBC，E，F在DB上两点且BFDE，若AEB120，ADB30，则BCF （）A.150 B.40 C.80 D.905.如果两个三角形中两条边和其中一边上的高对应相等，那么这两个三角形的第三条边所对的角的关系是（ ）A.相等 B.不相等 C.互余或相等 D.互补或相等6、如图，ABBC，BEAC，12，ADAB，则（ ）A.1EFD B.BEEC C.BFDFCD D.FDBC2题图一、填空题（每题3分，共30分） A

45、ODCBAADBCEF3题图4题图6题图DCD提示AD7.如图BEAC于点D，且ADCD，BDED，若ABC54，则E（ ）A.25 B.27 C.30 D.45 8.如图，在ABC中，AD平分BAC，过B作BEAD于E，过E作EFAC交AB于F，则（）A.AF2BFB.AFBF C.AFBFD.AFBF9.如图所示，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（ ）A.SSS B.SAS C.AAS D.ASA 10将一张长方形纸片按如图4所示的方式折叠，BC、BD为折痕，则CBD的度数为（）A60B75C90D95

46、7题图8题图9题图10题图BBDC二、填空题（每小题3分，共24分11. 如图，BACABD ，请你添加一个条件： ，使 OC=OD（只添一个即可）12.如图，在ABC中，ABAC，BE、CF是中线，则由 可得AFCAEB. 13.如图，ABCD，ADBC，O为BD中点，过O点作直线与DA、BC延长线交于E、F，若ADB60，EO10，则DBC ，FO . 14.已知RtABC中，C90，AD平分BAC交BC于D，若BC32，且BDCD97，则D到AB边的距离为.15.如果两个三角形的两条边和其中一条边上的高对应相等，那么这两个三角形的第三边所对的角的关系是_.16.如图，ABCD，ADBC，

47、OEOF，图中全等三角形共有_对.DOCBA11题图12题图13题图16题图C=D或ABC=BAD或AC=BD或OAD=OBCSAS601014互补或相等574?817.在数学活动课上，小明提出这样一个问题：BC90，E是BC的中点，DE平分ADC，CED35，如图，则EAB是多少度？大家一起热烈地讨论交流，小英第一个得出正确答案，是_.18.如图，AD，AD分别是锐角三角形ABC和锐角三角形ABC中BCBC边上的高，且ABAB，ADAD若使ABCABC，请你补充条件_.（填写一个你认为适当的条件即可）三、解答题（第19-25每题8分,第26题10分,共60分）19.已知：DEFMNP，且EF

48、NP，FP，D48，E52，MN12cm，求：P的度数及DE的长.ABCDABDC35 答案不惟一解：DEFMNP，DEMN，DM，EN，FP，M48，N52，P180485280，DEMN12cm 74?820. 如图，DCE=90o，CD=CE，ADAC，BEAC，垂足分别为A、B，试说明AD+ABBE.21.如图，工人师傅要检查人字梁的B和C是否相等，但他手边没有量角器，只有一个刻度尺他是这样操作的：分别在BA和CA上取BECG；在BC上取BDCF；量出DE的长a米，FG的长b米.如果ab，则说明B和C是相等的.他的这种做法合理吗？为什么？22.要将如图中的MON平分，小梅设计了如下方案

49、：在射线OM，ON上分别取OAOB，过A作DAOM于A，交ON于D，过B作EBON于B交OM于E，AD.EB交于点C，过O，C作射线OC即为MON的平分线，试说明这样做的理由.ADECBFG74?823.图所示，A，E，F，C在一条直线上，AECF，过E，F分别作DEAC，BFAC，若ABCD，可以得到BD平分EF，为什么？若将DEC的边EC沿AC方向移动，变为时，其余条件不变，上述结论是否成立？请说明理由.24.如图，ABC中，D是BC的中点，过D点的直线GF交AC于F，交AC的平行线BG于G点，DEDF，交AB于点E，连结EG、EF.（1）求证：BGCF.（2）请你判断BE+CF与EF的大

50、小关系，并说明理由.DEAC于点E，BFAC于点F，DEFBFE90.AECF，AE+EFCF+FE，即AFCE.在RtABF与RtCDE中，ABCD，AFCE，RtABFRtCDE，BFDE.在RtDEGRtBFG中，DGEBGF，DEBF，RtDEGRtBFG，EGFG，即BD平分EF.若将DEC的边EC沿AC方向移动到图2时，其余条件不变，上述结论仍旧成立，理由同上.提示：寻找AF与CE的关系是解决本题的关键 （1）ACBG，GBDC，在GBD与FCD中，GBDC，BDCD，BDGCDF，GBDFCD，BGCF.（2）BE+CFEF，又GBDFCD(已证) ，GDFD，在GDE与FDE中

51、，GDFD，GDEFDE90，DEDE，GDEFDE(SAS) ，EGEF，BE+BGGE，BE+CFEF.74?825.（1）如图1，ABC的边AB、AC为边分别向外作正方形ABDE和正方形ACFG，连结EG，试判断ABC与AEG面积之间的关系，并说明理由. （2）园林小路，曲径通幽，如图2所示，小路由白色的正方形理石和黑色的三角形理石铺成.已知中间的所有正方形的面积之和是a平方米，内圈的所有三角形的面积之和是b平方米，这条小路一共占地多少平方米？AGFCBDE图1图2解：由（1）知外圈的所有三角形的面积之和等于内圈的所有三角形的面积之和，这条小路的面积为(a+2b)平方米 FAGCBDEM

52、NSABCSAEG 提示：ABDCDB，ABCD，BDDB，ADCB，ADBCBD，ABD和CDB的周长和面积都分别相等.ADBCBD，ADBC. 解析：在RtADB与RtEDC中，ADCD，BDED，ADBEDC90，ADBCDE，ABDE.在RtBDC与RtEDC中，BDDE，BDCEDC90，CDCD，RtBDCRtEDC，DBCE.ABDDBC1/2ABC，EDBC1/25427.提示：本题主要通过两次三角形全等找出ABDDBCE. 角平分线的性质复习提问1、角平分线的概念一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。oBCA12复习提问 2、点到直线距离:从直线外一点

53、到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。OPAB我的长度 如图,是一个平分角的仪器,其中AB=AD,BC=DC.将点A放在角的顶点,AB和AD沿着角的两边放下,沿AC画一条射线AE,AE就是角平分线.你能说明它的道理吗?CADB你能由上面的探究得出作已知角的平分线的方法吗?探究1：E角的平分线的作法证明： 在ACD和ACB中 AD=AB（已知） DC=BC（已知） CA=CA（公共边） ACD ACB（SSS） CAD=CAB（全等三角形的 对应边相等） AC平分DAB（角平分线的定义）尺规作角的平分线观察领悟作法，探索思考证明方法：A画法：以为圆心，适当长为半径作弧，交于，交于分别以，

54、为圆心大于 1/2 的长为半径作弧两弧在的内部交于作射线射线即为所求A为什么OC是角平分线呢？ 想一想：已知：OM=ON，MC=NC。求证：OC平分AOB。证明：在OMC和ONC中， OM=ON， MC=NC， OC=OC， OMC ONC（SSS） MOC=NOC 即：OC平分AOB已知：如图，OC是AOB的平分线，点P在OC上，PDOA，PEOB，垂足分别是D，E。求证：PD=PE证明： PDOA，PEOB（已知）PDO=PEO=90（垂直的定义）在PDO和PEO中 PD=PE（全等三角形的对应边相等） PDO= PEO AOC= BOC OP=OP PDO PEO（AAS）角的平分线上的

55、点到这个角的两边的距离相等。DPEAOBC角平分线的性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等用符号语言表示为：AOBPED12 1= 2 PD OA ，PE OBPD=PE(角的平分线上的点到角的两边的距离相等)推理的理由有三个，必须写完全，不能少了任何一个。角平分线的性质角的平分线上的点到角的两边的距离相等。BADOPEC定理应用所具备的条件： （1）角的平分线；（2）点在该平分线上； （3）垂直距离。定理的作用： 证明线段相等。 如图，AD平分BAC（已知） = ，( ) 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。BD CD（）判断：练习 如图， DCAC，DBAB （已知） =

56、，( ) 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。BD CD（） AD平分BAC, DCAC，DBAB （已知） = ，（ ） DBDC在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。不必再证全等练习如图， OC是AOB的平分线， 又 _PD=PE ( )PDOA，PEOBBOACDPE角的平分线上的点到角的两边的距离相等 在OAB中，OE是它的角平分线，且EA=EB，EC、ED分别垂直OA，OB，垂足为C，D.求证：AC=BD.OABECD 在ABC中， C=90 ，AD为BAC的平分线，DEAB，BC7，DE3.求BD的长。EDCBA 如图，在ABC中，C=90 AD是BAC的平分线，DE

57、AB于E，F在AC上，BD=DF； 求证：CF=EBACDEBF这节课我们学习了哪些知识？ 小 结1、“作已知角的平分线”的尺规作图法；2、角的平分线的性质： 角的平分线上的点到角的两边的距离相等。 OC是AOB的平分线, 又 PDOA,PEOB PD=PE (角的平分线上的点到角的两边距离相等). EDOABPC几何语言:，1、在RtABC中，BD是角平分线，DEAB，垂足为E，DE与DC相等吗？为什么？ ABCDE 2、如图,OC是AOB的平分线,点P在OC上,PD OA,PEOB,垂足分别是D、E,PD=4cm,则PE=_cm.ADOBEPC知识应用1 . 如图，DEAB，DFBC，垂足

58、分别是E，F， DE =DF， EDB= 60，则 EBF= 度，BE= 。60BF2 如图，在ABC中，C=90，DEAB，1=2，且AC=6cm，那么线段BE是ABC的 ，AE+DE=。角的平分线6cm练习3.已知ABC中, C=900,AD平分 CAB,且BC=8,BD=5,求点D到AB的距离是多少？ABCDE你会吗？例 已知：如图，ABC的角平分线BM、CN相交于点P。求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等.证明：过点P作PD 、PE、PF分别垂直于AB、BC、CA，垂足为D、E、F BM是ABC的角平分线，点P在BM上 PD=PE（在角平分线上的点到角的两边的距离相等） 同理 P

59、E=PF. PD=PE=PF. 即点P到边AB、BC、 CA的距离相等ABCMNPDEF怎样找三角形内到三角形三边距离相等的点？ 如图，的的外角的平分线与的外角的平分线相交于点求证：点到三边、所在直线的距离相等FGH更上一层楼！ 如图，由 于点 D ， 于点 E，PD= PE ， 可以得到什么结论 ？ OBPEPDOA议一议 到一个角的两边的距离相等的点， 在这个角的平分线上。 已知：如图， ， ，垂足分别是 A、B，PD=PE ， 求证：点P在 的角平分线上。BADOPE 到角的两边的距离相等的点 在角的平分线上。 已知：如图， ， ， 垂足分别是 D、E，PD=PE， 求证：点P在 的角平

60、分线上。证明：作射线OP 点P在 角的平分线上 在 RtPDO 和RtPEO 中，（ HL）（全等三角形的对应角相等） OP = OP （公共边）PD = PE （ 已 知 ）角平分线的判定BADOPE角平分线的判定的应用书写格式：OP 是 的平分线PD= PE （到一个角的两边的距离相等的点， 在这个角的平分线上）DEOPAB角平分线的性质：在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。角平分线的判定到一个角的两边的距离相等的点， 在这个角的平分线上。BADOPECPD = PEOP 是 的平分线OP 是 的平分线PD = PE用途：证线段相等用途：判定一条射线是角平分线练一练填空：(1).