关于速度合成定理两种推导法的统一性分析

1、关于速度合成定理两种推导法的统一性分析摘要：理论力学中，关于点的复合运动速度合成定理的几何法推导长期存在争议，严重影响该 部分内容的教学。文章基于点的运动描述的矢量法，剖析了推证速度合成定理的解析法与几何法, 根据运动分解的数学内涵，论证了几何法的合理性与严谨性，同时阐明了两种推导法在物理概念和 数学推导方面的统一性。为了便于教与学，将两种方法分别归纳为运动耦合求导法和运动解耦分 析法。关键词：复合运动；速度合成定理；理论力学On the Unity of Two Deductive Methods of Velocity Synthesis TheoremAbstract: In theor

2、etical mechanics, the derivation of velocity synthesis theorem of a particle by the geometric method has been controversial for a long time, which seriously affects the associated teaching. In this paper, two deductive methods, i. e. , the analytical method and geometric method, for velocity synthes

3、is theorem are analyzed based on the vector method of kinematics of a particle. In the light of mathematical connotation of motion decomposition，the reasonability and strictness of the geometric method are illustrated. Meanwhile, the unity of the two deductive methods in physical conceptions and mat

4、hematical deductions is demonstrated. In order to facilitate teaching and learning, the two methods are respectively referred to as differentiation of coupled motion and analysis of decoupled motion.Key words： composite motion; theorem of velocity synthesis; theoretical mechanics0引言速度合成定理是理论力学教学中的重点

5、和难 点，涉及的诸多概念不仅抽象，而且相互关系错综 复杂，教师讲授与学生学习都有不少困惑。关于 速度合成定理的推导，文献中有两种方法，所谓的 解析法UT与几何法卜刃。必须指出：长期以来, 关于速度合成定理的几何法推导，争议颇多。然 而，大多数理论力学教材正是采用几何法，因此这 种争议会直接影响到理论力学的课堂教学。质疑几何法的教师认为:几何法中牵连位移 的概念模糊，相对速度的数学推导有误*%。而 支持几何法的教师则认为:几何法证明速度合成 定理同样具有普遍性，而且直观、简明、易懂4皿。 孰是孰非，问题摆在了广大教师面前。我们有理 由相信这种争议会促使广大教师对速度合成定理的推证过程进行深入思考

6、,进而改善教学本文将基于点的运动描述的矢量法，深入剖 析三种运动(速度)的物理和数学内涵;给出速度 合成定理的解析法与几何法推导过程，并阐明其 求解思路的差异、模型构建的异同,以及数学表征 的特殊性;根据差异性分析,论证相关概念的准确 性,以及两种推证的合理性与统一性。1描述点的运动的矢量法1.1绝对运动动点相对于定系的运动称为绝对运动，动点 相对于定系的运动轨迹则称为绝对运动轨迹。先 回顾一下点的运动描述的矢量法。设点P沿图1 所示轨迹运动，从瞬时=到=+(=,动点由M运动到M，相对定系的矢径分别为$和r。#MM = $ - $ = $(1)(2)它在=瞬时的绝对速度可描述为$ dr dx.

7、 蚣=d=(1)(2)它在=瞬时的绝对速度可描述为$ dr dx. 蚣=d=d=#dv d=1.2相对运动动点相对于动系的运动为相对运动，动点相 对于动系的运动轨迹则为相对运动轨迹。设动点 P沿图2所示轨迹运动，从瞬时=到=+ =,动点由 M运动至M2，相对于动系C，xDz的矢径分别为 p和则动点P在=内的相对位移为$#= - p = ( 3)必须指出，该位移须在动系中观测山。同时，给 出动点在=瞬时的相对速度为p clp dx., dy., &,= lim =# +.J + T(d = d= d= d= d=方向沿相对运动轨迹在M点的切线。注意，动点 相对于动系之矢径p称为相对矢径，该矢量在

8、动 系中对时间=的导数称为相对导数。相对导数并 不能反映动系相对于定系的运动情况。图2动系中点的速度描述2速度合成定理的两种推证2.1解析法(运动耦合求导法)设动点为P,定系原点为C;动系固连于某刚 体;动系原点为。,其绝对矢径为$0；动点的绝对 矢径为$,相对矢径为P解析法的总体思路就是 基于图3所示的矢量关系，直接求矢导数,然后根 据点的运动描述的矢量法，寻求三种速度之间的 关系。图3矢量关系图图示矢量满足图3矢量关系图$ = $c + p = $c + xi + yf + zk( 5)上式在定系中对时间=求导，有d$ dp d$ C d= d= d=式中，节=d$C -d=业= dxTi

9、 +、 + Mk + x也 + d=d=d=式中，节=d$C -d=d=,d(、V IT,考虑到式d=,d(、V IT,=&*+ # x ( 4#+ D0+ z() = &*+ # xp ( 8) d=式中#为动系绕。点转动的角速度。从而得到= &* + v0- + # xp( 9)式中&0 + # xp是动系上与动点P重合的点相对 于定系的速度，即牵连速度于是，可得速度合 成定理的表达式= &* +( 10)因为牵连运动为动系相对于定系的运动，所以，当 动系平移时，+ =0，ve = &0；当动系绕0作定轴转 动时，= # xpa2.2几何法(运动解耦分析法)设在=瞬时，动点处在S位置,与动

10、系重合的 点为假定动点相对于动系04dv沿某一曲线(即相对运动轨迹)运动的同时,动系本身相对 于定系作某种运动，经过微小时间间隔(=，动点 相对于定系由S点运动至S点。该绝对运动可 视为两个运动的合成运动，通常分解为:动点先随 动系从S点运动至S1点,该过程无相对运动;后 沿相对运动轨迹从S1点运动至S点，该过程无 牵连运动。相应的运动轨迹见图4其矢端图即为动点的绝对运动轨迹(图4)，则动点绝对速度可描述为#$S 一$S MS $ d$= limA= limA = hm 丁 = ( 12)#o =-#o =_#o = d=方向沿着绝对运动轨迹在M点的切线，指向运动 前进的方向2. 2. 2 牵

11、连速度牵连速度即牵连点相对于定系的速度虽然 牵连点具有瞬时性，但是在所关注的=瞬时，只需 研究牵连点 的绝对速度此时，点 就是动系 上一个既定的点要求出点 的绝对速度，需要 知道它的运动方程为此,引入点 相对于定系的矢径$，如图4所示，进而给出=时刻 的绝对 速度:#-rMM1$d$& = lim = lim- = #-rMM1$d$& = lim = lim- = lim=, =-# =-# =-# =d=进一步用解析法进行深入分析牵连点的绝 对矢径表示为$ = $o- + p ,0,为动系原点，对该 矢量关系式在定系中求导，有d$ 虹*业(14)d= d=(14)d#(dd#(d= +d=

12、d=d=导数式中土 = * = K，t = O，而相对矢径的绝对导数dp d4M,也也*d=d= + d= + d= *(15)运动分解后,动点随动系从M点运动至M1点的过 程中无相对运动,牵连点 相对于动系静止，即(16)下文将基于运动分解的数学内涵寻求=瞬时 动点的绝对速度与相对速度、牵连速度之间 的关系2.2.1绝对速度根据点的速度的矢量描述方法，若绝对矢径 随时间的变化规律已知，即$ = $( =)(11)由于动点与牵连点重合，有Pm =们且&* =0,&7 = &-& * z 子=lim = limA= limA d= =-*o = =-#o=-#o =(20) 不难理解，相对于动系

13、而言，式(19)和式(20)所 描述的相对速度是完全相同的。进一步用解析法对式(20)进行深入分析。 注意到，运动分解后，动点沿相对运动轨迹运动时 无牵连运动影响，即动系相对于定系的位置处于 设想中的冻结状态，在任意=时刻，有d#- d/- d(- n&c- =017 = K = 17 =0此条件下，对式(5)求绝对导数，得绝对速度与相 对速度&*相等;且相对矢径p的绝对导数与相对 导数相等，为=瞬时动点之相对速度，即坐_ p_ 也 dD-,(，一 &d= d= d= d=d=式(22)具有很强的实际指导意义，即在定系中画 任意=瞬时动点之相对速度矢量时，其方向沿相 对运动轨迹在M点的切线。2

14、.2.4速度合成上述分析中,$为动点P的绝对位移,为 动点P的相对位移，而$为动系上 点的绝对 位移，见图5图5速度合成图$ = + $ MM- = MM$ + M$ M- 式(23)两边同时除以=，在定系中令=-0， 取极限，有$ MM MMiM $ M-limA = limA + limA=-0 = =-0 = =-0 =， 对式(24)逐项进行分析，注意到式(12)和 (13)，有 TOC o 1-5 h z ,MM$lim； = lim = &, =-0 = =-0 = aMM.$limA = lim= &7=-0 =-0 =最后一个极限包含两层含义，即动点和动系 均无限趋近于其=时刻在定系中所处的位置，同 时考虑到式(22)，有 TOC o 1-5 h z .M,M- . MM2limA = limA = &*( 26)=-0 =-0 =*从定系中看,相对速度沿相对运动轨迹在M点的 切线，而绝非沿图5中的M$点之切线，因为=趋 于零时,Mi点无限趋近于M点至此，相对速度相对于定系和动系的大小和 方向也唯一确定，从而可得点的速度合成定理 特别指出:几何法本质上是运动解偶分析法，我们 认为其求解思