(完整word版)最全最详细抽象函数地对称性、奇偶性与周期性常用结论

1、文案大全文案大全一.概念：抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像，只给出一些函数符号及其满足的条件的函数，如函数的定义域，解析递推式，特定点的函数值，特定的运算性质等，它是高中函数部分的难点，也是大学高等数学函数部分的一个衔接点，由于抽象函数没有具体的解析表达式作为载体,因此理解研究起来比较困难，所以做抽象函数的题目需要有严谨的逻辑思维能力、丰富的想象力以及函数知识灵活运用的能力1、周期函数的定义：对于f(X)定义域内的每一个x，都存在非零常数丁，使得f(X+T)=f(X)恒成立，则称函数f(X)具有周期性，T叫做f(x)的一个周期，则叮(keZ,k丰0)也是f(x)的周期，所有周期中的最

2、小正数叫f(x)的最小正周期。分段函数的周期：设y=f(x)是周期函数，在任意一个周期内的图像为C:y=f(x),xea,bt=b-a。把y=f(x)沿x轴平移KT=K(b-a)个单位即按向量a=(kT,0)平移，即愚=f(x)在其他周期的图像：y=f(xkT),xekT+a,kT+bLf_|f(x)xela,bfWf(xkT)xelkT+a,kT+b2、奇偶函数：设y=f(x),xea,b或xeLb，a.,b若f(-x)=-f(x),则称y=f(x)为奇函数；若f(-x)=f(x测称y=f(x)为偶函数。分段函数的奇偶性3、函数的对称性：(1)中心对称即点对称：点A(x,y)与B(2a-x,

3、2b-y)关于点(a,b)对称；点A(a-x,b-y)与B(a+x,b+y)关于(a,b)对称；函数y=f(x)与2b-y=f(2a-x)关于点(a,b)成中心对称；函数b-y=f(a-x)与b+y=f(a+x)关于点(a,b)成中心对称；函数F(x,y)=0与F(2a-x,2b-y)=0关于点(a,b)成中心对称。(2)轴对称：对称轴方程为：Ax+By+C=0。点A(x,y)与B(x/,y/)=B(x-2A(+By+C),y-2B(+By+C)关于直线A2+B2A2+B2Ax+By+C=0成轴对称；文案大全文案大全(完整word版)最全最详细抽象函数地对称性、奇偶性与周期性常用结论函数y=f

4、(x)与y2B(+By+C=f(x24+By+C)关于直线A2+B2A2+B2Ax+By+C=0成轴对称。F(x,y)=0与F(x-2A(Ax+By+C),y-2B(Ax+By+C)=0关于直线A2+B2A2+B2Ax+By+C=0成轴对称。二、函数对称性的几个重要结论(一)函数y=f(x)图象本身的对称性(自身对称)若f(x+a)=f(x+b)，则f(x)具有周期性；若f(a+x)=f(b-x)，贝Uf(x)具有对称性：”内同表示周期性，内反表示对称性”。1、f(a+x)=f(b-x)Oy=f(x)图象关于直线x=(a+x)+(b-x)=a+b对称22推论1：f(a+x)=f(a-x)Oy=

5、f(x)的图象关于直线x=a对称推论2、f(x)=f(2a-x)Oy=f(x)的图象关于直线x=a对称推论3、f(-x)=f(2a+x)Oy=f(x)的图象关于直线x=a对称2、f(a+x)+f(b-x)=2cOy=f(x)的图象关于点(b,c)对称2推论1、f(a+x)+f(a-x)=2bOy=f(x)的图象关于点(a,b)对称推论2、f(x)+f(2a-x)=2bOy=f(x)的图象关于点(a,b)对称推论3、f(-x)+f(2a+x)=2bOy=f(x)的图象关于点(a,b)对称(二)两个函数的图象对称性(相互对称)(利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解)1、偶函数y=f(x)与y=f(

6、-x)图象关于Y轴对称2、奇函数y=f(x)与y=-f(-x)图象关于原点对称函数3、函数y=f(x)与y=-f(x)图象关于X轴对称(完整(完整word版)最全最详细抽象函数地对称性、奇偶性与周期性常用结论文案大全文案大全4、互为反函数y=f(x)与函数y=f-1(x)图象关于直线y=x对称5.函数y=f(a+x)与y=f(b-x)图象关于直线x二bZa对称2推论1:函数y=f(a+x)与y=f(a-x)图象关于直线x=0对称推论2:函数y=f(x)与y=f(2a-x)图象关于直线x=a对称推论3:函数y=f(-x)与y=f(2a+x)图象关于直线x=-a对称(三)抽象函数的对称性与周期性1

7、、抽象函数的对称性性质1若函数y=f(x)关于直线x二a轴对称，则以下三个式子成立且等价：(1)f(a+x)=f(a-x)(2)f(2a-x)=f(x)(3)f(2a+x)=f(-x)性质2若函数丫二6)关于点(2,0)中心对称，则以下三个式子成立且等价:(1)f(a+x)=-f(a-x)f(2a-x)=-f(x)(3)f(2a+x)=-f(-x)易知，y=f(x)为偶(或奇)函数分别为性质1(或2)当a=0时的特例。2、复合函数的奇偶性定义1、若对于定义域内的任一变量x，均有fg(-x)=fg(x),贝愎数函数y=fg(x)为偶函数。定义2、若对于定义域内的任一变量x，均有fg(-x)=-f

8、g(x),(完整(完整word版)最全最详细抽象函数地对称性、奇偶性与周期性常用结论则复合函数y=fg(x)为奇函数。文案大全文案大全说明：(1)复数函数fg(x)为偶函数，则fg(-x)=fg(x)而不是f-g(x)=fg(x),复合函数y=fg(x)为奇函数，则fg(-x)=-fg(x)而不是f-g(x)=-fg(x)。(2)两个特例：丫=f(x+a)为偶函数，则f(x+a)=f(-x+a)；y=f(x+a)为奇函数，则f(-x+a)=-f(a+x)(3)y=f(x+a)为偶(或奇)函数，等价于单层函数丫=f(x)关于直线x=a轴对称(或关于点(2,0)中心对称)3、复合函数的对称性性质3

9、复合函数y=f(a+x)与y=f(b-x)关于直线乂二”-己)/2轴对称性质4、复合函数y=f(a+x)与y=-f(b-x)关于点(-己)/2,0)中心对称推论1、复合函数y=f(a+x)与y=f(a-x)关于y轴轴对称推论2、复合函数y=f(a+x)与y=-f(a-x)关于原点中心对称4、函数的周期性若a是非零常数，若对于函数y=f(x)定义域内的任一变量x点有下列条件之一成立，则函数y=f(x)是周期函数，且2间是它的一个周期。f(x+a)=f(x-a)f(x+a)=-f(x)f(x+a)=1/f(x)f(x+a)=-1/f(x)5、函数的对称性与周期性文案大全文案大全(完整word版)最

10、全最详细抽象函数地对称性、奇偶性与周期性常用结论性质5若函数y=f(x)同时关于直线x二a与x二b轴对称，则函数f(x)必为周期函数，且T二2|a-b|性质6、若函数y=f(x)同时关于点(a,0)与点(b,0)中心对称，则函数f(x)必为周期函数，且T=2|a-b|性质7、若函数y二f(x)既关于点(3，0)中心对称，又关于直线x二b轴对称，则函数f(x)必为周期函数，且T=4|a-b|6、函数对称性的应用(1)若j=f(x)关于点(h,幻对称，则x+x/=2h,y+y/=2k,即f(x)+f(x/)=f(x)+f(2h-x)=2kTOC o 1-5 h zf(x)+f(x)+.+f(x)+

11、f(2h-x)+f(2h-x)+.+f(2h-x)=2nk12nnn-11(2)例题1、f(x)=_ax_关于点(1,)对称：f(x)+f(1-x)=1；ax+-aa22f(x)=_-2x+1关于(0J)对称：f(x)+f(-x)=22x+i1、，一111、，f(x)=(aeR,x丰0)关于(,_)对称：f(x)+f()=1xa+122x2、奇函数的图像关于原点(0,0)对称：f(x)+f(-x)=0。3、若f(x)=f(2a-x)或f(a-x)=f(a+x),则y=f(x)的图像关于直线x=a对称。设f(x)=0有n个不同的实数根，则x+x+x=x+(2ax)+x+(2ax)+x+(2ax)

12、=na.TOC o 1-5 h z12n1122nn22(当n=2k+1时，必有x=2a一x,nx=a)111(四)常用函数的对称性(完整(完整word版)最全最详细抽象函数地对称性、奇偶性与周期性常用结论文案大全文案大全三、函数周期性的几个重要结论1、f(x土T)=f(x)(T丰0)O-f(x)的周期为T，kT(kgZ)也是函数的周期2、f(x+a)=f(x+b)Oy=f(x)的周期为T=ba3、f(x+a)=-f(x)Oy=f(x)的周期为T=2a4、f(x+a)=Oy=f(x)的周期为T=2af(x)5、f(x+a)=-1Oy=f(x)的周期为T=2af(x)6、f(x+a)=-f(-)-Oy=f(x)的周期为T=3a1+f(x)7、f(x+a)=-1-Oy=f(x)的周期为T=2af(x)+18、f(x+a)=1+xOy=f(x)的周期为T=4a1-f(x)9、f(x+2a)=f(x+a)-f(x)Oy=f(x)的周期为T=6a1。、右p0,f(px)=f(px-p),则T=J.11、y=f(x)有两条对称轴x=a和x=b(ba)Oy=f(x)周期T=2(b-a)推论：偶函数y=f(x)满足f(a+x)=f(a-x)Oy=f(x)周期7=2ai2、y=f)有两个对