机械控制工程基础第二章解析

1、习题2.1什么是线性系统?其最重要的特点是什么?以下用微分方程表示的系统中,x表示系统输出,x表示系统输入,哪些是线性系统?oi(1)xo2xoxo2xo2xi(2)xo2xo2txo2xi(3)xo2xo2xo2xi(4)xo2xoxo2txo2xi解:凡是能用线性微分方程描述的系统就是线性系统。线性系统的一个最重要特点就是它满足叠加原理。该题中（2）和（3）是线性系统。2.2图（题2.2）中三同分别表示了三个机械系统。求出它们各自的微分方程，图中x表示输入位移，x表示输出位移，假设输出端无io负载效应。图(题2.2)解:(1)对图(a)所示系统，由牛顿定律有c1(xixo)c2xomxo即

2、mxo(c1c2)xoc1xi(2)对图(b)所示系统，引入一中间变量x,并由牛顿定律有(xix)k1c(xxo)(1)c(xxo)k2xo(2)除掉中间变量有c(k1k2)xok1k2xock1xi(3)对图(c)所示系统，由牛顿定律有即c(xicxoxo)(k1k1(xik2)xoxo)cxik2xok1xi2.3求出图(题2.3)所示电系统的微分方程。图（题2.3）解:(1)对图(a)所示系统,设i为流过R的电流,i为总电流,则有111uoR2iidtuiuoR1i1uiuo1(ii1)dtC1除掉中间变量,并化简有C1R2uo(1R1C1)uo1R2C2uoC2R2C1R2ui(R2C

3、1)ui1uiR1C2C2R1对图(b)所示系统，设i为电流，则有uiuoR1i1idtC11uoC2idtR2i除掉中间变量,并化简有(R1R2)uo(11)uoR2ui1uiC1C2C22.4求图(题2.4)所示机械系统的微分方程。图中M为输入转矩,Cm为圆周阻尼，J为转动惯量。解：设系统输入为M（即），输出(即)，分别对圆盘和质块进行动力学解析，列写动力学方程以下：MJCmRk(Rx)k(Rx)mxcx除掉中间变量x,即可获取系统动力学方程mJ(4)22Cm）(mCmcJ)(RkmCmcKJ)k（cRmMcMKM2.5输出y(t)与输入x(t)的关系为y(t)=2x(t)+0.5x3(t

4、)。（1）求当工作点为x=0,x=1,x=2时相应的稳态时输出值；ooo2）在这些工作点处作小偏差线性化模型，并以对工作的偏差来定义x和y，写出新的线性化模型。解:(1)将xo=0,xo=1,xo=2分别代入y(t)=2x(t)+0.5x3(t)中,即当工作点为xo=0,xo=1,xo=2时相应的稳态输出值分别为yo0,y02.5,yo8。依照非线性系统线性化的方法有，在工作点(xo,yo)周边,将非线性函数张开成泰勒级数,并略去高阶项得yo32oxy2xo0.5xo(21.5x)|xxy(21.5x2)|xxox若令xx,yy有y(221.5x0)x当工作点为xo0时,y(221.5x0)x

5、2x当工作点为xo1时,y(21.5x02)x3.5x当工作点为xo2时,y(228x1.5x0)x2p2.6已知滑阀节流口流量方程式为Qcwx，式中Q为经过v节流阀流口的流量；p为节流阀流口的前后油压差；xv为节流阀的位移量；c为疏量系数；w为节流口面积梯度；为油密度。试以Q与p为变量（立刻Q作为P的函数）将节流阀流量方程线性化。解：利用小偏差线性化的看法，将函数Q=F(xv，p)在预定工作点F(o，po)处按泰勒级数张开为xQF(xvo,po)(F)(xvo,po)xv(F)(xvo,po)pxvP除掉高阶项，有QF(xvo,po)(F)(xvo,po)xv(F)(xvo,po)pxvPQ

6、F(xv,p)F(xvo,po)FFF(xvo,po)()(xvo,po)xv(P)(xvo,po)pF(xvo,po)xvFxv(F)(xvo,po)p()(xvo,po)Pxv1(F)（|p）2Fvo,p）若令()（|Kx，Kx，ooxvvo,pQK1xvK2p将上式改写为增量方程的形式QK1xvK2p2.7已知系统的动力学方程以下,试写出它们的传达函数Y(s)/R(s)。（1）y(t)15y(t)50y(t)500y(t)r(t)2r(t)（2）5y(t)25y(t)0.5r(t)（3）y(t)25y(t)0.5r(t)（4）y(t)3y(t)6y(t)4y(t)dt4r(t)解：依照传

7、达函数的定义，求系统的传达函数，只需将其动力学方程两边分别在零初始条件下进行拉式变换，尔后求Y(s)/R(s)。(1)3250sY(s)500Y(s)2R(s)2sR(s)sY(s)15sY(s)s22sY(s)/R(s)s215s250s500s(2)225sY(s)0.5sR(s)5sY(s)Y(s)/R(s)0.5s5s225s(3)225SY(s)0.5R(s)sY(S)Y(S)/R(s)0.5s225s(4)241Y(s)4Y(s)sY(s)3sY(S)6Y(s)sY(s)/R(s)4ss33s26s42.8如图（题2.8）为汽车或摩托车悬浮系统简化的物理模型，试以位移x为输入量，位

8、移y为输出量，求系统的传达函数Y(s)/X(s)。2.9试解析当反响环节H(s)=1,前向通道传达函数G(s)分别为惯性环节、微分环节、积分环节时，输入、输出的闭环传达函数。解：由于惯性环节、微分环节、积分环节的传达函数分别为G(s)K,G(s)Ts,G(s)K,而闭环传达函数为Ts1sG(s)GB(s),则1G(s)H(s)(1)当反响环节H(s)=1,前向通道传达函数G(s)为惯性环节时，G(s)KKTs1GB(s)KTs1K1G(s)H(s)1Ts1(2)当反响环节H(s)=1,前向通道传达函数G(s)为微分环节时，GB(s)G(s)Ts1G(s)H(s)1Ts(3)当反响环节H(s)=

9、1,前向通道传达函数G(s)为积分环节时，G(s)KKGB(s)s1G(s)H(s)1KsKs2.10证明图（题2.10）与图（题2.3（a）所示系统是相似系统（即证明两系统的传达函数拥有同样形式）。解：对题2.4(a)系统，可列出相应的方程。uo21idt(1)C2RuiuoR1i1(2)uiuo1(ii1)dt(3)C1对以上三式分别作Laplce别换，并注意到初始条件为零,即I(0)I(0)0I1(0)I2(0)0则UO(s)R2I(s)I(s)(R21)I(s)（）C2sC2s4Ui(s)UO(S)R1Ii(s)（5）Ui(s)UO(S)I(s)I(s)（6）C1sC1s111(5),

10、得C1sUi(s)U0(s)C1sI1(s)(7)1sCR1I(s)R(6)R1,得R1Ui(s)U0(s)1(s)(8)C1sC1sI(7)(8),得11)i(s)0(s)R1(s)(UUIC1sC1s即Ui(s)UO(s)R1C1sI(s)R1I(s)1s1CsC1C11RR则Ui(s)U0(s)1R1I(s)(9)CR1将(4)式中的U(s)代入(9)式01RUi(s)(R2)I(s)1I(s)C2s1R1C1(21R1)I(s)RC2s1R1C1s再用(4)式与上式对照以消去I(s),即得电系统的传达函数为U0(s)(R2G(s)1U1(s)(R2C2sR21R2C2s)I(s)C2s

11、R1)I(s)(11C1s)R1C2sR1(1R1C1s)而本题中，引入中间变量x,依动力学知识有(xi-x0)k2(xixo)c2(xo-x)c1(xixo)c1k1x对上二式分别进行拉式变换有k2XiX0(s)sc2Xi(s)-X0(s)XO(s)X(s)sc1c1sX0(s)X(s)k1c1s除掉X(s)有X0(s)k2c2sc2k2sk1c1sG(s)Xi(s)c2sk2c1k2k1c1sc2s1c1sk1比较两系统的传达函数有k211c2R2c1R1k1C2C1故这两个系统为相似系统。2.11一齿轮系如图（题2.11）所示。图中，z、z、z和z分别1234为各齿轮齿数；J1、J2、和

12、J3表示各种传动轴上的转动惯量，1、2和3为各轴的角位移；Mm是电动机输出转矩。试列写折算到电动轴上的齿轮系的运动方程。2.12求图（题2.12）所示两系统的传达函数。图（题2.12）解：(1)由图(a)中系统，可得动力学方程为xi(t)xo(t)kmxo(t)cxo(t)作Laplce别换，得Xi(s)Xo(s)kms2Xo(s)csXo(s)G(s)X0(s)/Xi(s)2则有k/(mscsk)(2)由图(b)中系统,设i为电网络的电流，可得方程为uiRiLdi1idtdtCuo1idtC作Laplce别换，得Ui(s)RI(s)LsI(s)1I(s)CsUo(s)1I(s)Cs除掉中间变

13、量有G(s)U0(s)/Ui(s)12RCs1LCs2.13某直流调速系统如图（题2.13）所示，us为给定输入量，电动机转速n为系统的输出量，电动机的负载转矩TL为系统的扰动量。各环节的微分方程：比较环节unus-ufn比率调治器ucKkun（Kk为放大系数）晶闸管触发整流装置udKkuc(Ks为整流增益)电动机电枢回路udiaRddiaeLddt(Rd为电枢回路电阻,Ld为电枢回路电感,ia为电枢电流)电枢反电势eKdn(Kd为反电势系数)电磁转矩MeKmia(Km为转矩系数)负载平衡方程MeJGdnTL(JG为转动惯量，TL为负dt载转矩)测速电动机ufnn(为转速反响系数)试依照所给出

14、的微分方程，绘制各环节相应的传达函数方框图和控制系数的传达函数方框图，并由方框图求取传达函数N(s)和N(s)Us(s)。TL(s)2.14试绘制图（题2.14）所示机械系统传达函数方框图。2.15若系统传达函数方框图为图（题2.15）。求以R(s)为输入，当N(s)0时，分别以C(s)、Y(s)、B(s)、E(s)为输出的闭环传达函数；求以N(s)为输入，当R(s)0时，分别以C(s)、Y(s)、B(s)、E(s)为输出的闭环传达函数；比较以上各传达函数的分母，从中可以得出什么结论？图(题2.15)解:(1)求以R(s)为输入，当N(s)0时:若以C(s)为输出,有GC(s)C(s)G1(s

15、)G(s)12R(s)G1(s)G2(s)H(s)若以Y(s)为输出,有GY(s)Y(s)G1(s)1G1(s)G2(s)H(s)R(s)若以B(s)为输出,有GB(s)B(s)G1(s)G(s)H(s)2R(s)1G1(s)G2(s)H(s)若以E(s)为输出,有E(s)1GE(s)1(s)2(s)H(s)R(s)1GG(2)求以N(s)为输入，当R(s)0时:若以C(s)为输出,有GC(s)C(s)G2(s)1G1(s)G2(s)H(s)R(s)若以Y(s)为输出,有GY(s)Y(s)G1(s)G2(s)H(s)R(s)11(s)G2(s)H(s)G若以B(s)为输出,有GB(s)B(s)

16、G2(s)H(s)11(s)2(s)H(s)R(s)GG若以E(s)为输出,有GE(s)E(s)G2(s)H(s)1G1(s)G2(s)H(s)R(s)(3)从上可知：对于同一个闭环系统，当输入的取法不同样时，前向通道的传达出数不同样，反响回路的传达函数不同样，系统的传达函数也不同样，但系统的传达函数的分母保持不变，这是由于这一分母反响了系统的固有特点，而与外界没关。2.16已知某系统的传达函数方框图为图（题2.16），其中，Xi(s)为输入，XO(s)为输出,N(s)为搅乱，试问：G(s)为何值时，系统可以除掉搅乱的影响。图（题2.16）解：方法一：依照线性系统的叠加原理，令X(s)0,N(

17、s)为输i入，系统的输出为XoN(s)N(s)G1B(s)G(s)K4G2B(s)其中K1K2K3G1B(s)STs1K2K31K1sTs1K3G2B(s)Ts1K2K31K1K1K2K3Ts2sK1K2K3K3sTs2sK1K2K3XoN(s)N(s)G1B(s)G(s)K4G2B(s)K1K2K3G(s)K4sK1K22s123TsKKK令XoN(s)0有G(s)K4sK1K2方法二：令Xi(s)0，N(s)为输入，则系统的传达函数方框图可以表示成图（题）所示。图（题）依照相加点前后搬动的规则可以将其进一步简化成图（题2.16.c）和图（题2.16d）所示的形式。图（题）图（题）因此，系统

18、在N(s)为输入时的传达函数为K1K2K3G(s)K4sGN(s)K1K2Ts2sK1K2K3同样可得G(s)K4s时，系统可除掉搅乱的影响。K1K22.17系统结构如图(题2.17)所示，求系统传达函数。C(s)(G1G4)G2GB(s)2(1G)R(s)11GG32.18求出（题2.18）所示系统的传达函数XO(s)/Xi(s)。图(题2.18)解：方法一：利用梅逊公式，可得XO(s)G1G2G3G4GB(s)1G1G2G3G4H3G1G2G3H2G2G3H1G3G4H4Xi(s)方法二：利用方框图简化规则，有图（题）图（题）XO(s)G1G2G3G4GB(s)1G1G2G3G4H3G1G2