《导数及其应用》章末提升测评

1、PAGE16导数及其应用提升测评满分:84分；时间：70分钟）、选择题（本大题共4小题，共20分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）12022山东，10，5分，若函数的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称具有性质下列函数中具有性质的是（）ABCD22022课标全国I，12，5分，设函数，其中，若存在唯一的整数使得,则的取值范围是（）ABCD32022福建，10，5分，若定义在上的函数满足，其导函数满足,则下列结论一定错误的是（）ABCD42022课标全国I，11，5分，已知函数，若存在唯一的零点且，则的取值范围是（）ABCD二、填空题（本大题共3小题，共

2、15分把答案填在题中横线上）52022江苏，11，5分，已知函数，其中是自然对数的底数若，则实数的取值范围是_62022北京，14，5分，设函数若，则的最大值为_；若无最大值，则实数的取值范围是_72022安徽，15，5分，设，其中均为实数下列条件中,使得该三次方程仅有一个实根的是_写出所有正确条件的编号）=1*GB3；=2*GB3；=3*GB3；=4*GB3；三、解答题（本大题共6小题，共49分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）82022课标全国III,21,12分，已知函数1若，求的值；2设为整数,且对于任意正整数，求的最小值92022山东，20,13分，已知函数，其中是自然对数的

3、底数1求曲线在点处的切线方程；2令讨论的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值102022课标全国I，21，12分，已知函数有两个零点1求的取值范围；2设是的两个零点，证明：112022课标全国II，21，12分，1讨论函数的单调性，并证明当时，；2证明：当时，函数有最小值设的最小值为，求函数的值域参考答案一、选择题1答案：A解析：设函数的图象上的两点分别为，且，则由题意知只需函数满足即可的导函数为，则，故函数具有性质；的导函数为，则，故函数；不具有性质；的导函数为,则，故函数不具有性质；的导函数为，则，2答案：D解析：由,即，得当时，得,显然不成立，所以若，则令，则当时，为减函数，当时，为增

4、函数，要满足题意，则，此时需满足，得，与矛盾，所以因为，所以易知，当时，为增函数，当时，为减函数，要满足题意，则，此时需满足，得满足故选D3答案：C解析：构造函数则在上为增函数，则而即所以选项C错误,故选C4答案：C解析：1当时，显然有两个零点，不符合题意2当时，令，解得当时，所以函数在和上为增函数，在上为减函数，因为存在唯一零点，且，则，即，不成立当时，所以函数在和上为减函数，在上为增函数，因为存在唯一零点，且,所以,即，解得或,又，故的取值范围为综上，二、填空题5答案：见解析解析：易知函数的定义域关于原点对称为奇函数，又（当且仅当时，取“”）从而在上单调递增，所以解得6答案：见解析解析：若

5、,则当时，；当时，当时，是增函数，当时，是减函数，的最大值为2在同一平面直角坐标系中画出函数和的图象，如图所示，当时，无最大值；当时，；当时，综上，当时，无最大值7答案：见解析解析：设当时，令，得或；令，得,故在上为增函数，在上为减函数,在上为增函数，又,故方程只有一个实根，故正确当时，,易知在上为增函数，在上为减函数，在上为增函数，又时，,从而方程有两个根，故错误当时，易知的极大值为，极小值为时，故方程有且仅有一个实根，故正确当时，,显然方程有且仅有一个实根，故正确当时，则在上为增函数，易知的值域为,故有且仅有一个实根，故正确综上，正确条件的编号为三、解答题8答案：见解析解析：1的定义域为若

6、,因为，所以不满足题意；若,由知，当时，；当时，所以在上单调递减,在上单调递增，故是在内的唯一最小值点由于，所以当且仅当时，综上,2由1知当时，令，得从而故而所以的最小值为39答案：见解析解析：1由题意得，又，所以,因此曲线在点处的切线方程为，即2由题意得，所以，令，则,所以在上单调递增因为,所以当时，；当时，当时，当时，单调递减，当时，单调递增，所以当时，取极小值，极小值是当时，由得i当时，当时，单调递增；当时，单调递减；当时，单调递增所以当时，取极大值，极大值为，当时，取得极小值，极小值是ii当时，,所以当时，函数在上单调递增，无极值iii当时，,所以当时，单调递增；当时，单调递减;当时，

7、单调递增所以当时，取极大值，极大值是；当时，取极小值，极小值是综上所述，当时，在上单调递减,在上单调递增，函数有极小值，极小值是；当时，函数在和上单调递增，在上单调递减，函数有极大值，也有极小值，极大值是,极小值是；当时，函数在上单调递增，无极值；当时，函数在和上单调递增,在上单调递减，函数有极大值，也有极小值,极大值是,极小值是10答案:见解析解析：li设，则只有一个零点ii设，则当时，；当时，,所以在上单调递减，在上单调递增又，设满足且，则，故存在两个零点iii设,由得或若，则，故当时，因此在上单调递增又当时，所以不存在两个零点若,则，故当时，；当时，因此在上单调递减，在上单调递增又当时，所以不存在两个零点综上,的取值范围为2证明:不妨设由1知，上单调递减，所以等价于，即由于，而,所以设，则所以当时,而，故当时,从而,故11答案：见解析解析：l的定义域为当且仅当时，所以在上单调递增因此当时，,所以