复数和复变函数

1、复数与复变函数第1页，共45页，2022年，5月20日，6点22分，星期四2022/10/111 第一章 复数与复变函数内容提要：复变函数就是自变量为复数的函数，本章先学习复数的概念、性质与运算，然后再引入平面上的点集、复变函数极限、连续本章中的许多概念在形式上与微积分学中一些基本概念有相似之处，可以把它们看作微积分学中相应的概念及定理在复数域中的推广 第2页，共45页，2022年，5月20日，6点22分，星期四2022/10/112 第一章 复数与复变函数1.1 复数1.2 复数的三角表示1.3 平面点集的一般概念1.4 无穷大与复球面1.5 复变函数 本章小结 思考题第3页，共45页，20

2、22年，5月20日，6点22分，星期四2022/10/113第一节 复数一、复数的基本概念 第4页，共45页，2022年，5月20日，6点22分，星期四2022/10/114二、复数的代数运算 1.复数的和、差、积、商 和与差： 积： 商： 复数的运算满足交换律、结合律、分配律第5页，共45页，2022年，5月20日，6点22分，星期四2022/10/1152共扼复数及性质 重要性质： 复数的共扼性质在实际计算和证明中有广泛应用 第6页，共45页，2022年，5月20日，6点22分，星期四2022/10/116例1计算复数 解：法一（商的公式） 法二（共轭性质） 应用共扼性质来计算显得简单，在

3、后面计算中要灵活运用共轭第7页，共45页，2022年，5月20日，6点22分，星期四2022/10/117例2解：由题意得 例3解：第8页，共45页，2022年，5月20日，6点22分，星期四2022/10/118例4证明：证法二：第9页，共45页，2022年，5月20日，6点22分，星期四2022/10/119第二节 复数的表示法 一、复平面 定义：复数的模： 复数的幅角： 主幅角： 即：一复数的辐角Argz是多值的第10页，共45页，2022年，5月20日，6点22分，星期四2022/10/1110二、复数的表示法 1复数的向量表示法 因此 显然有不等式： 复数、复平面上点、向量之间一一对

4、应第11页，共45页，2022年，5月20日，6点22分，星期四2022/10/11112复数的三角表示法 利用直角坐标与极坐标的关系： 复数的三角表示式： 3复数的指数表示法利用欧拉公式： 复数的指数表示式： 注意：复数的三角表示式不是唯一的，因为辐角有无 穷多种选择，如果有两个三角表示式相等： 则可以推出： 第12页，共45页，2022年，5月20日，6点22分，星期四2022/10/1112例1解：于是主幅角值的确定： 第13页，共45页，2022年，5月20日，6点22分，星期四2022/10/1113练习 模 主辐角解： 例2解： 为复数形式的直线方程 复数形式的直线方程为 第14页

5、，共45页，2022年，5月20日，6点22分，星期四2022/10/1114例3解： 参数方程为 由参数式得复数形式参数方程为 若平面上曲线的参数方程为： 则定义 定义：复数形式的参数方程 第15页，共45页，2022年，5月20日，6点22分，星期四2022/10/1115例4求下列方程所表示的曲线 解： 第16页，共45页，2022年，5月20日，6点22分，星期四2022/10/1116三、复数的三角表示及指数表示作乘除法 即：模辐角定理1：两个复数乘积的模等于它们模的乘积，幅角等于它们的幅角之和 说明：例如：第17页，共45页，2022年，5月20日，6点22分，星期四2022/10

6、/1117例如：定理2：两复数的商的模等于它们模的商，幅角等于被除数与除数的幅角之差 证明：即：模辐角第18页，共45页，2022年，5月20日，6点22分，星期四2022/10/1118例5用三角表示式和指数表示式计算下列复数 解： 第19页，共45页，2022年，5月20日，6点22分，星期四2022/10/1119例6解： 第20页，共45页，2022年，5月20日，6点22分，星期四2022/10/1120四、复数的乘方与开方、棣摩弗公式 1乘方公式这公式称棣摩弗公式 2开方公式 第21页，共45页，2022年，5月20日，6点22分，星期四2022/10/1121例7计算下列各题：

7、解：即：第22页，共45页，2022年，5月20日，6点22分，星期四2022/10/1122例8解：其解为 作业习题一1.1 (3) (4)1.31.41.6 (2) (4)1.8 (2) (3)1.9 (1)（2）(3)（4）1.10 (1)（2）(3)（4）1.12 (1)（5）1.13 (1)P28第23页，共45页，2022年，5月20日，6点22分，星期四2022/10/1123第三节 平面点集的一般概念 研究复变函数问题，和实函数一样，每个复变量都有自己的变化范围，复变量的变化范围同于二元函数的变化范围称为区域 一、开集与闭集 1.邻域： 2内点： 3开集： 4余集： 第24页，

8、共45页，2022年，5月20日，6点22分，星期四2022/10/11245边界： 6孤立点： 7有界集与无界集： 例如：第25页，共45页，2022年，5月20日，6点22分，星期四2022/10/1125二、区域 1连通： 设G中任何两点都可以用完全属于G的折线连接起来，则称G是连通的 2区域： 连通的开集称为区域，记为D 3闭区域： 区域D与它的边界一起构成闭区域，4有界、无界区域：（如上定义） 5圆环域： 例如 有界域：无界域：角形域： 带形域： 第26页，共45页，2022年，5月20日，6点22分，星期四2022/10/1126例1试说出下列各式所表示的点集是怎样的图形，并指出哪

9、些是区域： 解： 三、平面曲线 1平面曲线的复数式 平面曲线的复数形式参数方程 第27页，共45页，2022年，5月20日，6点22分，星期四2022/10/1127例2 圆周参数方程 解： 例3 解： 直线的参数方程 2光滑曲线 光滑曲线 由若干段光滑曲线所组成的曲线称为分段光滑曲线 第28页，共45页，2022年，5月20日，6点22分，星期四2022/10/1128例4 解： 容易验证： 因此该曲线是分段光滑曲线 3简单闭曲线 则称这条曲线为简单闭曲线 简单闭曲线 非简单闭曲线 第29页，共45页，2022年，5月20日，6点22分，星期四2022/10/11294单连通区域与多连通区域

10、 设D为一平面区域，若在D中任作一条简单闭曲线，而曲线内部总属于D，则称D为单连通区域，否则是多连通区域 单连通区域的特征：属于D的任何一条简单闭曲线，在D内可经过连续变形而缩成一点 单连通区域多连通区域洞第30页，共45页，2022年，5月20日，6点22分，星期四2022/10/1130第四节 无穷大与复球面一、无穷远点 为了讨论问题方便，我们不但要讨论有限复数，还要讨论一个特殊的复数-无穷大，它是由下式定义的：加法：减法：乘法：除法：而实部、虚部和辐角均没有意义， 第31页，共45页，2022年，5月20日，6点22分，星期四2022/10/1131这个点称为无穷远点， 复平面加上无穷远

11、点称为扩充复平面，扩充复平面上的每一条直线都通过无穷远点. （4）无穷远点的邻域： 复球面定义：球面上的每一点都有唯一的复数与之对应，这样的球面称为复球面； 二、复球面 （5）无穷远点的去心邻域： 第32页，共45页，2022年，5月20日，6点22分，星期四2022/10/1132第五节 复变函数一、复变函数的概念 说明： 那么称复变数w是复变数z的函数，即复变函数， 1定义：设G是一个复数的集合，如果有一个确定的法则存在，按照这一法则， 第33页，共45页，2022年，5月20日，6点22分，星期四2022/10/11332复变函数与二元函数的关系 因此可以利用两个二元实变函数来讨论 例1

12、 解： 例2 将下列两个二元实变函数表示为复变函数， 解： 第34页，共45页，2022年，5月20日，6点22分，星期四2022/10/11343映射的概念 在“高等数学”中，常把函数用几何图形来表示，这样，可以直观地帮助我们理解和研究函数的性质对于复变函数，由于它反映了两对变量和之间的对应关系，因而无法用同一个平面的几何图形表示出来，必须把它看成两个复平面上的点集之间的对应关系 第35页，共45页，2022年，5月20日，6点22分，星期四2022/10/1135例3 第36页，共45页，2022年，5月20日，6点22分，星期四2022/10/1136例4 解： 第37页，共45页，20

13、22年，5月20日，6点22分，星期四2022/10/1137例5 解： （1）由乘法的模与幅角定理可知： 其象是2倍角域, 第38页，共45页，2022年，5月20日，6点22分，星期四2022/10/1138反函数（逆映射） 二、复变函数的极限和连续 1复变函数的极限 定义1第39页，共45页，2022年，5月20日，6点22分，星期四2022/10/1139定理1设函数 证明： 必要性 充分性 第40页，共45页，2022年，5月20日，6点22分，星期四2022/10/1140定理2如果 第41页，共45页，2022年，5月20日，6点22分，星期四2022/10/1141例1 证明： 另证： 第42页，共45页，2022年，5月20日，6点22分，星期四2022/10/11422复变函数的连续性 定理3函数 例2 解： 说明： 复变函数的极限与连续性的定义与实函数的极限与连续性的定义形式上完全相同，因此高等数学中的有关定理依然成立，因此又有有界闭区域上连续函数的性质 第43页，共45页，2022年，5月20日，6点22分，星期四2022/10/1143定理4(1)连续函数的和、差、积、商（分母不为