平面向量高考真题分类解析

1、第五章平面向量第节 一高考梳 平向的念线运名称向量零向量单位向量平行向量定义既有大小又有方向的量量的大小叫做向量的长度(或模) 长度为零的向量；其方向是任意的长度等于 1 个单位的向量方向相同或相反的非零向量备注平面向量是自由向量记作 0非零向量 a 的单位向量为aa |共线向量相等向量相反向量方向相同或相反的非零向量又叫做 共线向量长度相等且方向相同的向量长度相等且方向相反的向量0 与任一向量平行或共线两向量只有相等或不等，不能 比较大小0 的相反向量为 0向量运算定义法则或几何意义)运算律加法减法数乘求 两 个 向 量 和 的 运算求 a 与 b 的反向 量b 的和的运算 叫做 a 与 b

2、 的差求实数 与向量 a 的积的运算(1)交换律：abba. (2)结合律：a b) c bc)aba(b)(1)|a | a ；当 时， () a； a 的方向与 a 的方向相同； )aaa(a 当 0 时， a 的方向与 a 的 b)ab 3 1 1 3 3 1 1 3AB + AC 3 1 1 3 3 1 1 3AB + AC 1 21 21 1 2 21 21 12 21 2 1 21 2 1 21 11 1 1 12 22 1 2 12 1 2 1方向相反； 时a0（三线向量定理向量 a(a0)与 b 共线的充要条件是存在唯一一个实数 ，使得 b a 二历高真题分突题一平向的性算【例

3、 1 全国） ABC 中，AD 为 上的中线，E 为 AD 中点， 则EB=（ ）A AB - AC 4 4B AB - AC 4 4C AB + AC 4 4D 4 41 1 1 1 1 3 1解析：结合图形 (BA+BD)=- BA- BC=- BA- (AC-AB)= AB - AC.2 2 4 2 4 4 4故选 A.第节 一高考梳（一面向量基本定理平向的本理坐表如果 e e 是同一平面内的两个不共线向量那么对于这一平面内的任意向 量 a，存在唯一一对实数 ， ，使 a e e .其中不共线的向量 e ，e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底 （二面向量的坐标运算1向量加法、减法、数

4、乘向量及向量的模设 a(x ，y )，b(x ，y )，则ab(x x ，y y )，bx x ，y y )，ax ，y )，|a | x22. 2向量坐标的求法若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标设 A( ) )B(x x y )| （x x ）2 （y y ）2 . （三面向量共线的坐标表示1 12 21 2 2 1 1 12 21 2 1 2 1 21 12 21 2 2 1 1 12 21 2 1 2 1 21 21 2 1 1 2 设 ax ，y )，b(x ，y )，则 ab x y y 0. 二历高真题分突题一平向的标算【例 国） 已知向量 a3)b(32)则| a

5、- b | （ ）A 2B52D50解析：由题意知 a - b 1，1)，所以 a - b | = . 故选 A.x2 y2【例 （2018 国卷 知斜率为 k 的直 l 与椭圆 C: 交于 A，B4 3两点线段 AB 的中点为 M(1,m)(m0)1（1）证明：k- ；2（2 F 为 C 的右焦点 为 C 上一点FP+FA+FB=0|=|FA|+|FB |x 2 y 2 x 2 y 2解析（1）设 ,y )，B(x ,y )，则 1， 11 1 2 2 4 3 4 3两式相减，并由 y -y x +x y +y 得 + k=0 x -x 4 31 2x +x y +y 3 3 1 由题设知

6、=1， =m于 k= - 由题设得 0m 故 k- 2 2 4m 2 2（2题意得 ,y )x -1,y )+( x -1,y x -1,y )=(0,0)3 3 3 3 1 1 2 2由（1）及题设得 x =3-(x +x )=1，y =-(y +y )=-2m03 1 2 3 1 23 3 3又点 P 在 C 上，所以 ，从而 P(1,- )，|FP|= 4 2 2于是|FA|= (x 12+y 21=x 2 x x(x -1)2+3(1- )=2- 同理|FB|=2- 1 4 2 2所以|FA|+|FB|=3故 2|FP|=|FA|+|FB|，1 12 21 11 2 11 12 21

7、11 2 1 21 1 2 21 1 2 2题二向平的标示【例 32018 国卷 已知向 (1, _1解析：a+b=(4,2), c/(2a+b)则 4，= .2) a+b)，第节平向的量一高考梳（一面向量的数量积1向量的夹角 定义：已知两个非零向量 和 b，如右图，OAa，b，则AOB(0180) 叫作 a 与 b 的角当 0时，a 与 b 共线同向当 180时，a 与 b 共线反向当 90时，a 与 b 互相垂直2向量的数量积定义：已知两个向量 a 与 b，它们的夹角为 ，则数量a b |cos 叫作 a 与 b 的数量积记作 ab即 aba |b |cos 由定义可知零向量与任一向量的数

8、量积 为 0，即 0a3数量积的几何意义：数量积 b 等于 a 的长度 a 与 b 在 a 的方向上的射影b |cos 的乘积，或 b 的长度b 与 a 在 b 方向上射影a |cos 的积 （二面向量数量积的性质及其坐标表示设向量 a(x ，y )，b(x ，y )， 为向量 a， 的夹角.1数量积：aba |b |cos 1 x2y1 y2x x y yab3夹角： . a b |x2y2 x2 22模：a aa xy 2.4两非零向量 ab 的充要条件：ab0 x x2y1 y0. 5a b |a |b |(当且仅当 ab 时等号成立) |x1 2 1 y2 （三面向量数量积的运算律1a

9、bba交换律)x2 x2y2.2abab)a(b)(合律)3ab)ccb(配律).二历高真题分突题一平向数积运【例 （2020 国卷 向 a b m m 4) ， a 则 .解析：依题意得，m-4)=0 ，解得 m 故答案为 5.【例 2（2020 全国） 知单位向量 ，b 的夹角为 60在下列向量中， 与 b 垂直的是（ ）A. a2bB. 2abC. a -2bD.2a - b1解析（a b）b = 2ab b=21 -1=0，故选 D2【例 全国卷）知非零向量 ， 满足| 2| ，且（ ） ， 则 与 的夹角为（ ） B C 解析：（ ） ， ， 故选 B 2 2【例 （2019 国卷已

10、知向 a (2,2), ，则 c 【例 （2018 全卷已知向量 ab 满足|a|=1b=-1 a(2a-b)= ( ) A4 B3 C2 D0解析：因为 a(2a-)=2a-ab=2+1=3. 故选 【例 （2017 国卷 知向量 a（1，2），=（m，1）. 若向量 a+b 与 a 垂直，则 =_.解析：向量 a=（，2），=（m，1），+b（1m3 向量 a+b 与 a 直，+b）a（1+）（132=0， 解得 m故答案为 7【例 （2017 国卷 非零向量 a,b 满足a|ab,则( )A.abB.a|b| C.abD.|a|b解析：由ab|a|,两边平方得 a2abba2ab2,即

11、ab,则 ab.故 A. 题二平向数积综应【例 （2020 国卷已知 A 分别为椭圆 E： （a）的左、右 顶点 为 E 的上顶点， 为直线 x 上的动点 与 的另一交点为 C，PB 与 E 的另一交点为 D （1）求 E 的方程；（2）证明：直线 D 过定点 解析（）由题设 ( ,0), ( 则 AG a,1) GB a 由 得a ， a 所以 E的方程为 2 t tt tx 2, y 1 2 t tt tx 2, y 1 2 0 00 0 0 22 0 0 （2） ( x ( x ), P (6, t ) ，设直 CD 的方程x my ，由题意可 n 由于直线 PA的方程为 y ( ，所以

12、 y 9直线 PB的方程为 y ( x ，所以 y ( x 3可 ( ( x 3) 由于 9y，故 y( x ，可 27 y 3) ， (27 ) n 3)( y y ) n 3) 将x my 代入 ( y mny 所以 1 mn 2 2 代入式 (27 )(9) ( n mn ( m9) 解 n （舍去 n 故直 CD 的方程为 x ，即直 CD 过定 ( ，则直 CD 的方程 y ，过 ( ,0) 综上，直 CD 定 ( 【例 （2017 国卷x2设 O 圆 2过 作 为 ，点 NP 2 NM (1)求点 P 的(2)设点 Q 在 3 上且OP.证明:点 且垂 线 l C .解：(1) (,y,(x