单纯形法(第三章线性规划2)课件

1、一、求解LP问题的单纯形法 1.单纯形法的求解原理 单纯形法引例标准化1一、求解LP问题的单纯形法 1.单纯形法的求解原理 单纯形Step2. 确定换入换出变量，进行第一次迭代 Step1. 确定初始基可行解。 初始基可行解为：X1=(0 0 360 200 300)Tf1=0*Step2. 确定换入换出变量，进行第一次迭代 Step1.f2 =360 Step3.确定新的换入换出变量，进行第二次迭代*f2 =360 Step3.确定新的换入换出变量，进行第二目标函数值 f 3 = 428。即当A产品生产20kg，B产品生产24kg，工厂才能获得最大利润428百元。x3=84代表煤的剩余量为8

2、4t，x4 = x5 = 0表示电力和劳动日完全利用，没有剩余。X3为最优解目标函数值 f 3 = 428。即当A产品生产20kg，B产2.单纯形法的主要步骤Step1. 标准化，找初始基可行解，建立初始的单纯形表；对于(max , )，松弛变量对应的列构成一个单位阵Step2.检验当前基可行解是否为最优解所有检验数 j 0，则得到最优解（若存在k 0，且pk 0,则该问题无最优解，停止计算） 否则进行下一步。Step3.换基迭代（改进基可行解）从 j 0 中找最大者 k ，其对应变量xk称为换入变量（若最大判别数有同样大的，选对应下标小的变量为换入变量)xk所在列称为主元列确定换入变量的最大

3、值和换出变量最小比值原则52.单纯形法的主要步骤Step1. 标准化，找初始基可行解设第 l 行使 最小，则第 l 行对应的基变量x l称为换出变量，第 l 行称为主元行，alk 称为主元。 Step4.迭代过程迭代过程以主元alk为中心进行，即要将主元 alk变为1，主列上其它元素变为0，得到一个新的单纯形表，同时得到一个新的基可行解。转回Step2。6设第 l 行使 最小，则第 l 行对应的基变量x l称为3. 单纯形表及其格式73. 单纯形表及其格式7 max f =40 x1+ 50 x2 x1+2x2 303x1+2x2 60 2x2 24 x1 , x2 0例1 用单纯形法求解下列

4、LP问题 max f =40 x1+ 50 x2 x1+2x x1 +2x2 +x3 =30 3x1 +2x2 +x4 =60 2x2 + +x5 =24 x1 , , x5 0 max f =40 x1+ 50 x2+0 x3 +0 x4+0 x5标准化 x1 +2x2 +x3 建立初始单纯形表 xj x1 x2 x3 x4 x5bx3 1 2 1 0 030 x4 3 2 0 1 060 x5 0 2 0 0 124 40 50 0 0 0 0基变量*30/2=1560/2=3024/2=1240 50 0 0 0000建立初始单纯形表 xj x1 x2第一步迭代 xj x1 x2 x3

5、x4 x5bx3 1 0 1 0 -16x4 3 0 0 1 -136x2 0 1 0 0 0.512 40 0 0 0 -25 -600基变量6/1=636/3=12_40 50 0 0 00050第一步迭代 xj x1 x2 第二步迭代 xj x1 x2 x3 x4 x5bx1 1 0 1 0 -16x4 0 0 -3 1 218x2 0 1 0 0 0.512 0 0 -40 0 15-840基变量18/2=912/0.5=24_40 50 0 0 040050第二步迭代 xj x1 x2 第三步迭代 xj x1 x2 x3 x4 x5bx1 1 0 -0.5 0.5 015x5 0 0

6、 -1.5 0.5 19x2 0 1 0.75 -0.25 07.5 0 0 -17.5 -7.5 0-975基变量该问题的最优解为：X=(15, 7.5, 0, 0, 9)T40 50 0 0 040050第三步迭代 xj x1 x2 例2 用单纯形法求解下列LP问题例2 用单纯形法求解下列LP问题 xj x1 x2 x3 x4 x5bx3 -2 1 1 0 04x4 1 -1 0 1 02x5 -3 1 0 0 13 1 1 0 0 0 0基变量 1 1 0 0 00000-12893-2002-1-2x11该问题具有无界解 xj x1 x2 x例2 用单纯形法求解下列LP问题max f

7、=x1+ x2+2x3 -x4 x1 +x3 - x4 =1 -x1 +x2 +2x4 =0 x1 , , x4 0 例2 用单纯形法求解下列LP问题max f =x1+ xmax f =x1+ x2+2x3 -x42 -x4 xj x1 x2 x3 x4bx3x2 1 0 1 -1 -1 1 0 210 0 0 0 -1-2基变量max f =x1+ x2+2x3 -x42 -x4 xj x1 x2 x3 x4bx1x2 1 0 1 -1 0 1 1 111 0 0 0 -1-2此问题具有无穷多最优解 max f =2 xj x1 x2 总结：解的判别1、最优解的判别： 若X（x1x2.xn

8、）T为对应于基B的一个基可行解，且所有j 0，则X为最优解。2、无穷多最优解的判别： 若X（x1x2.xn）T为一个基可行解，存在所有j 0，又存在某一非基变量xk对应的判别数k = 0,则此LP问题有无穷多解。3、无界解的判别： 若X（x1x2.xn）T为一个基可行解，其中某个非基变量xk对应的判别数k 0，且对应的系数矩阵aik 0,则此LP问题具有无界解。（或称无最优解，最优解 无穷）总结：解的判别1、最优解的判别：4 .人工变量的引入及其解法 当约束条件为“”型，引入剩余变量和人工变量由于所添加的剩余变量的系数为1，不能构成初始基变量，为此引入一个人为的变量（注意，此时约束条件已为“=

9、”型），以便取得初始基变量，故称为人工变量由于人工变量在原问题的解中是不能存在的，应尽快被迭代出去，因此人工变量在目标函数中对应的系数应具有惩罚性，称为罚系数。罚系数的取值视解法而定两种方法大M法两阶段法204 .人工变量的引入及其解法 当约束条件为“”型（1）两阶段法：（1）两阶段法：作辅助问题解题过程：第一阶段：求解辅助问题当进行到最优表时，若 =0, 则得到原问题的一个基本可行解，转入第二阶段。 若 0, 则判定原问题无可行解。max = -y1 - y2- -ym作辅助问题解题过程：第一阶段：求解辅助问题当进行到最优表时， 从第一阶段得到的基本可行解开始，继续用单纯形法进行迭代，直到找

10、出原问题的最优解或判断具有无界解。第二阶段: 从第一阶段得到的基本可行解开始，继续用单纯形法进行例3 用两阶段法求解下列LP问题例3 用两阶段法求解下列LP问题引入人工变量x6 , x7构造下列辅助问题：引入人工变量x6 , x7构造下列辅助问题：xj x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7B-1bx4x6x7 1 -2 1 1 0 0 0 -4 1 2 0 -1 1 0 -2 0 1 0 0 0 11131- -6 1 3 0 -1 0 04-f 3 -1 -1 0 0 0 00 x300-2130-11000-311011xj x1 x2 x3 xj x1 x2 x3 x4 x5 x6

11、x7B-1bx4x6x7 3 -2 0 1 0 0 -1 0 1 0 0 -1 1 -2 -2 0 1 0 0 0 11011- 0 1 0 0 -1 0 -31-f 1 -1 0 0 0 0 11x300-2112-1x20-2-50000-11-12-12xj x1 x2 x3 xj x1 x2 x3 x4 x5B-1bx4x2x3 3 0 0 1 -2 0 1 0 0 -1 -2 0 1 0 01211-f 1 0 0 0 -12x11/3-2/34102/3-4/30-1/3-1/3-29得到原问题的最优解为：X*=（4 1 9 0 0）T f * =2xj x1 x2 x3 （2）

12、大M法:Mx6 Mx7(M为任意大的正数)（2） 大M法:Mx6 Mx7(M为任意大的正数)xj x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7B-1bx4x6x7 1 -2 1 1 0 0 0 -4 1 2 0 -1 1 0 -2 0 1 0 0 0 11131-f3 6M -1+M -1+3M 0 -M 0 04M3 -1 -1 0 0 -M -M0-M-Mxj x1 x2 x3 xj x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7B-1bx4x6x3 3 -2 0 1 0 0 -1 0 1 0 0 -1 1 -2 -2 0 1 0 0 0 11011-f 1 -1+M 0 0 -M 0 -3M+1M

13、+13 -1 -1 0 0 -M -M0-M-1xj x1 x2 x3 xj x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7B-1bx4x2x3 3 0 0 1 -2 2 -5 0 1 0 0 -1 1 -2 -2 0 1 0 0 0 11211-f 1 0 0 0 -1 -M+1 -M-123 -1 -1 0 0 -M -M0-1-1xj x1 x2 x3 xj x1 x2 x3 x4 x5 B-1bx1x2x3 1 0 0 1/3 -2/3 0 1 0 0 -1 0 0 1 2/3 -4/3 419-f 0 0 0 -1/3 -1/3 -23 -1 -1 0 0 3-1-1得到原问题的最优解为：

14、X*=（4 1 9 0 0）T f * =2xj x1 x2 x3 练习：标准化：34练习：标准化：34大M法的一些说明 大M法实质上与原单纯形法一样，M可看成一个很大的常数人工变量被迭代出去后就不会再成为基变量当检验数都满足最优条件，但基变量中仍有人工变量，说明原线性规划问题无可行解大M法手算很不方便因此提出了两阶段法计算机中常用大M法两阶段法手算可能容易大M法的一些说明 大M法实质上与原单纯形法一样，M可看成一个单纯型法的一些具体问题 a.关于无界解问题可行区域不闭合(缺约束条件)单纯型表中入变量 x j* 对应的列中所有36单纯型法的一些具体问题 a.关于无界解问题可行区域 b.关于多重

15、解问题多个基可行解都是最优解，这些解在同一个超平面上，且该平面与目标函数等值面平行最优单纯形表中有非基变量的检验数为0最优解的线性组合仍是最优解，即 X=k1X1+k2X2，k1+k2=137 b.关于多重解问题多个基可行解都是最优解，这些解 c.关于无可行解问题约束条件互相矛盾，无可行域单纯形表迭代到最优解时，人工变量仍在基变量中 38 c.关于无可行解问题约束条件互相矛盾，无可行域38 d.关于退化问题退化问题的原因很复杂当单纯形表中同时有多个基变量可选作出变量时退化的严重性在于可能导致死循环，克服死循环的方法有“字典序”法39 d.关于退化问题退化问题的原因很复杂39 一、判断题1、线性

16、规划问题的每一个基解对应可行域的一个顶点。2、图解法与单纯形法，虽然求解的形式不同，但从几何上理解，两者是一致的。3、线性规划问题存在最优解，则最优解一定对应可行域边界上的一个点。4、若x1、x2分别是某一线性规划问题的最优解，则x1 x1+2x2也是该线性规划问题的最优解，其中12为正的实数。5、对一个有n个变量、m个约束的标准形的线性规划问题，其可行域的顶点恰好为Cnm 一、判断题1、线性规划问题的每一个基解对应可行域的6、单纯形法迭代的过程就是从一个基可行解（顶点）到另一个基可行解（顶点）的过程。7、用单纯形方法，正的判别数对应的变量都可以作为换入变量。8、线性规划问题的数学模型增加约束条件，可行域范围一般缩小，减少约束条件，可行域范围一般扩大。6、单纯形法迭代的过程就是从一个基可行解（顶点）到另一个基可2、计算题 下表是求极大化线性规划问题的单纯形表，表中无人工变量，a1 ，a2，a3，d，c1，c2为待定常数，试说明这些常数满足什么条件，能使以下结论成立：2、计算题 下表是求极大化线性规划问题的单纯形表，表中无xj x1 x2 x3 x4 x5 x6B-1bx3x4x6 4 a1 1 0 a2 0 -1 -3 0 1 -1 0 a3 -5 0 0 -4 1 d23-f c1 c2 0 0 -3 0 xj x1