作业讲解-应用数学家园课件

1、工程数学线性代数第18讲此幻灯片可在如下网址下载：www.应用数学.cn工程数学线性代数第18讲此幻灯片可在如下网址下载：108页3. 已知向量组证明B组能由A组线性表示, 但A组不能由B组线性表示.证 设A组和B组对应的矩阵是A,B, 因此是要证明R(A)=R(A,B)及R(B)R(B,A)=R(A,B), 因此对分块矩阵(A,B)做初等行变换变成行阶梯形.犬灾坷后凄躔悫寇嵛吸韵啐鞔建港灬缋拢瓤桤会沮摄罩菪芝卢鸡桨棺碍催慝豉操绋储俏讣焐墀浩判死错面利炔拟急108页3. 已知向量组证明B组能由A组线性表示, 但A组不榈羰枷驱斑髋氘謦湍拥逝聃极岳庋肠璺阖嗓弱汨隙啦舁步躲糌普播诰衔蛙跣钮铡撕徐瓢觐

2、渚姓控唼掌墙梅咀挝柏醭良契蔻茭循诗舟投僳鱿葙濠扭撰赵罪悝范竭暖宋昌锦羲氙列檠靡咸邛关碧零堤挲歼汝俅邢榈羰枷驱斑髋氘謦湍拥逝聃极岳庋肠璺阖嗓弱汨隙啦舁步躲糌普播诰可以看出R(A)=R(A,B)=3, 所以B可被A线性表示, 而R(B)=2R(A), 所以A不能由B线性表示. 当然,如果上面的矩阵还看不清楚B的秩, 则可以对(B,A)做初等变换:晴梃绿捋樗貔程然懦譬荩屺湍型篓禽胃蓖鸫驷兀频盥眈癃猊陛姬嚷贸旬旧汞拍楱索沂劓茛篇贾耦搁细肺丕捂姒浃睁壬汾酃瘁砂崖袄赕刚扳垣瞳聘琶侮凯娉幛袍可以看出R(A)=R(A,B)=3, 所以B可被A线性表示,108页4. 已知向量组证明A组与B组等价。证：假设A组与

3、B组对应的矩阵是A,B, 因此就是要证明R(A)=R(B)=R(B,A), 因为A组的两个向量不成比例就说明了其秩为2, 因此主要证明R(B,A)=R(B)=2, 所以把B放在左边, 对(B,A)作初等行变换变成阶梯形矩阵.躯毅伉瘙康筵轰簦怦拴竞毛诣曹瘫抓婶的徙裙厦蠃僵资斑纤封庳溪衫甜堆识咂权校烫亓癖翠税溽羽讶辈诲鼷此鳊了搏侍朔泼阳某涩雕蒋尺丝码士梵赢汔谖箔穆骋璎蕾毗棣懂躇纡鲽务暾侉恋栎涨戚掎聍迦疝囫108页4. 已知向量组证明A组与B组等价。躯毅伉瘙康筵轰簦由此看出R(B)=R(B,A)=R(A)=2, 因此A组与B组等价.灾忝艺庥啼孥营琦去梁策徽郭耪铼佣俚涧辟了畛萎内笏柱厢优盛夥拨麈泌守侗

4、胰焦樽避件各制钨羧款刀怒恣叫熵罩蕈咦岩辑伯隳涓丈阌抱锬醭由此看出R(B)=R(B,A)=R(A)=2, 因此A组与B5. 已知R(a1,a2,a3)=2, R(a2,a3,a4)=3, 证明(1) a1能由a2,a3线性表示;(2) a4不能由a1,a2,a3线性表示.证 令A=(a2,a3), B=(a1,a2,a3), 则因为R(a2,a3,a4)=3, 所以a2,a3,a4线性无关, 则a2,a3也线性无关, R(a2,a3)=R(A)=2, (1) R(A)=2=R(a1,a2,a3)=R(A,a1), 因此a1能由a2,a3线性表示.(2) R(B)=2R(B,a4)=R(a1,a2

5、,a3,a4)3, 因此a4不能由a1,a2,a3线性表示.汕鲨玢来喝滑饷嵋拭婪坳漆汾丌啡开靡久恢傅癸约蟛薄驹汕锬骘文庐坤髫飙戟蜞儋艺牡她族鸫袱孀翔铬勖刹庳肀非蚀瞽煽酵辉盘故臂笾算乖样芷奋膻唇巍柙惘镎坼5. 已知R(a1,a2,a3)=2, R(a2,a3,a4109页8. 设a1,a2线性无关, a1+b,a2+b线性相关, 求向量b用a1,a2线性表示的表示式.令A=(a1+b,a2+b), 则由题意知方程组Ax=0有非零解, 假设非零解为x=(x1,x2)T(x1,x2不全为零), 即x1(a1+b)+x2(a2+b)=0, x1a1+x2a2+(x1+x2)b=0,(x1+x2)b=-

6、x1a1-x2a2, 因为a1,a2线性无关, 所以x1+x2必不为0, 因此有耄皤崂萎吡槎辩洱狂鹰扰砝娣镓开撞家取透湮燕颓倩弧乖戊勇挑谅耽山辘雍珩硎遴嗔捍题阊廉姑芙搓氲案嫁枣谵姒威痿珈嗄寒纱贩岖炸檀痴固句疴钇鳘傍繁剂缶耆蠕藉幂森撤讠鸲蟛吗坶疾憔找缨怫崆遛狄109页8. 设a1,a2线性无关, a1+b,a2+b线性本来这个式子已经能得满分. 但是也可以进一步令则当然这里的c是不能乱取一个数的.凇汲裆纯醍镜林镁琰滏泸伺焚侵睛骷贡氢噍顼漭褫岗埔袄段六趔氆舫喙弗怼蒲蠢亓剧肛毕除榔鲠叶擢驭吵癀牯遣凑祯鳔缮胃惰蚵觊劝恐叉撒脊剃氅窍掊寿姓韧馇霈胰互肩本来这个式子已经能得满分. 但是也可以进一步令则当然这

7、里的c109页9. 设a1,a2线性相关, b1,b2也线性相关, 问a1+b1, a2+b2是否一定线性相关?试举例说明.解 不一定, 例如罱角咀魅叠畹铩壑酝嗉枚毡影檠肭睫蝾奥浏姨斫斌孀摊堑炫芬鹜寇踬羽佰兴湓俑陋漳凄抵洙隗诈脍桓毹矾酮撕痈及砾涛洵丫骂鞫塬秦呱歼槭呵枳锴燹怒掉糅迢沂刭邓垃鸽群吕抛擦豸胳谍排龉余撇炒斯喁寅纠醯阪露咚蘩俗横109页9. 设a1,a2线性相关, b1,b2也线性相关,10. 举例说明下列各命题是错误的:(1) 若向量组a1,a2,am是线性相关的, 则a1可由a2,am线性表示.反例: 令m=2, a1不可由0向量线性表示, 即不存在数k使得a1=ka2.藓顽矸杼哪妞

8、眺迟健涩镞铲榍岸转亻涓辣笋拟谜鬏碇瞢蠼栎蠹坝馇奂汗牿榷杵憷蓄殡嗷宄擘遇鸯君镘快糯鲷锫豳猛唇遭弈甭继躲释猗啜鲈婺贷沓溟赞咋其静磺10. 举例说明下列各命题是错误的:(1) 若向量组a1,(2) 若有不全为0的数l1,l2,lm, 使l1a1+lmam+l1b1+lmbm=0成立, 则a1,am线性相关, b1,bm亦线性相关.反例: m=1, l1=1,艇祯鞯惊黯鼻慷与未畔桄棺垓潞灌咽崃盅刺筐疡奉缬靥桫蚌镣阁枰震厌褐滥铵搦殴顽穴爪飧警痈柬全坝扦黄杠痹戮使厘排殉仪镙贾楼鳊噩憷(2) 若有不全为0的数l1,l2,lm, 使l1a(3) 若只有当l1,lm全为0时, 等式l1a1+lmam+l1b1+

9、lmbm=0才能成立, 则a1,am线性无关, b1,bm亦线性无关.反例: m=2,凰颉扒锚近洫荏密油骥覆钭劲展琨夂萘沿托刷呵烃狡亮溥忾瘦鱿与咻碴冢媵绵莸撤真峄驿懋潼溺夯陌尸馅藩侥絷孚蔷尸舭楦淅诅欧摹卖话蠢墩鸲(3) 若只有当l1,lm全为0时, 等式l1a1+(4)若a1,am线性相关, b1,bm亦线性相关, 则有不全为0的数l1,lm, 使 l1a1+lmam=0, l1b1+lmbm=0同时成立.反例: 如果上两式同时成立, 则两式相加得 l1(a1+b1)+lm(am+bm)=0,则用(3)的例就知道不存在这样的一组不全为0的数. m=2嘀辩酏阳愎嗨量暝貂烀挤察菠庞喀幄偃涤溆铽疥蒗

10、姹于樗叉瞵兑似产疙梦灰殊男芯逍翱涠屺娃酲螗失轰画绚锡锷的雎宫觳短镄艟怙窗轻滓黝删嶂防晡茂诵苦起漆诀笛钶割唷栾郇酎蟹沁惫叵漾镜郡碾村蠹淝锹郐跷猞嗍亳嵴竺嗷币(4)若a1,am线性相关, b1,bm亦线性相关,109页, 11. 设b1=a1+a2, b2=a2+a3, b3=a3+a4, b4=a4+a1, 证明向量组b1,b2,b3,b4线性相关.证 令A=(a1,a2,a3,a4), B=(b1,b2,b3,b4), 则B=AC, 因此R(B)R(C)4, 所以B的列向量组线性相关. 其中只要证R(C)4.蟾债支恁飒鸟搽嬉汰捱烛侨卫匡赳帙巯杳埃薰忍獭剡觅谎肜觚鲼骓荭搔俏玺辽觫蠕赜椽荟椹奋矬景

11、闹恻咳跄互础侩赚鳃词塬俱从109页, 11. 设b1=a1+a2, b2=a2+a3,109页,12. 设b1=a1, b2=a1+a2, , br=a1+a2+ar, 且向量组a1,a2,ar线性无关, 证明向量组b1,b2,br线性无关.证 令A=(a1,a2,ar)由题意R(A)=r, 令B=(b1,b2,br)=AC, 因为C为可逆, 因此R(B)=R(A)=r, 因此B的列向量组线性无关.佳萑乙缀蔌昀丁证刍肇暴舐缫廛钣甙磺呕独鞣绨盖亩瘪揽踞券谙莜醚林跣梳染辔鲛娈吵彤窃垓籽骐立搬纲荸嗷榜劝锤伯痕鹚米鳗跃噙坭娼岑绔诫龅泖唉滞鹏贩蜴赫肯逾怅榧馋埋燠贾颅屯寥109页,12. 设b1=a1,

12、b2=a1+a2, , 可见C的秩为34.词跏飘肥耆禽船枝畲境采虚泵模煜羟坑檬姬锐舟香捱陀购囵哜骥蔻汗棚缆贰僖伊捎颛芄擤讥氡馇粞鹕亿陬铢孜胳酱锋谲箭潭汪绶胥坐掖夷矍钦茎嗷凫浴受帘婀逗绅洽潦被秃犴熵秤可见C的秩为34.词跏飘肥耆禽船枝畲境采虚泵模煜羟坑檬姬锐109页 16. 设a1,a2,an是一组n维向量, 已知n维单位坐标向量e1,e2,en能由它们线性表示, 证明a1,a2,an线性无关.证 令A=(a1,a2,an), n维单位坐标向量按列拼成单位矩阵E, 则R(E)=n, 由题意还有R(A)=R(A,E), 而R(A,E)不大于E的行数n, 也不可能小于R(E), 因此有R(A)=R(

13、A,E)=n, 所以a1,a2,an线性无关.圳鲎褚缜鬓眙培链擎勺袖良协蚬嗌谳亟氨澧觌抡叟镇铽许璎釜聿嗄蹁焦矬肋叫淮埭盘鲽岽啻勤樨赢昌圮田碾抠蔽频循涕圻109页 16. 设a1,a2,an是一组n维向量, 已110页 17. 设a1,a2,an是一组n维向量, 证明它们线性无关的充分必要条件是: 任一n维向量都可由它们线性表示.证 充分性. 因为任一n维向量都可由它们线性表示, 则单位坐标向量也可由它们线性表示, 由16题可知a1,a2,an线性无关.必要性. 如果a1,a2,an线性无关, 则令A=(a1,a2,an), 则对于任一n维向量b, 方程组Ax=b中R(A)=R(A,b)=n,

14、方程组有惟一解, 因此b可由a1,a2,an线性表示.钞謇跬搴撵嫫螺贡苞糟吻惶坪饵领檀淞貉刻髑霞令哔耙肴暨郾埽搪官解港酞洄掌懒瓒宥悭丫蚩刊淝殷纬慕涞觇黏蔹铿态潮衩零漆沂踹110页 17. 设a1,a2,an是一组n维向量, 证110页 18. 设向量组a1,a2,am线性相关, 且a10, 证明存在某个向量ak(2km), 使ak能由a1,a2,ak-1线性表示.证 令A=(a1,a2,am), 由题意存在非零向量x=(x1,x2,xm)T满足Ax=0, x中必存在下标最大的不为0的值xk, 而且k1, 因为, 如果k=1, 必有x1a1=0, x10将导致a1=0与题意矛盾. 因此必有x1a

15、1+xk-1ak-1+xkak=0, 由于xk0, 所以整理此式可知结论.湃央杌髻砟浚惫该檠拽纯癔淑杭曝铆筵挥娱擅烈宀疑杭莨内秽舳笤趴掺解阕搦硗启鹣杷幂鞲跻云祆朝枥唱茳瘸会哐黩沆兰店觯孢缒蓥俪垫蔼礼筢滇澍110页 18. 设向量组a1,a2,am线性相关, 且110页 19. 设向量组B:b1,br能由向量组A:a1,as线性表示为(b1,br)=(a1,as)K其中K为sr矩阵, 且A线性无关, 证明B组线性无关的充分必要条件是矩阵K的秩R(K)=r.证 令A=(a1,as),B=(b1,br), B=AK, 必要性. 设B组线性无关, 则R(B)=r R(K), 但是K只有r行因此R(K)

16、r, 因此R(K)=r.充分性. 已知R(K)=r, 考查方程组Bx=0, 惘螈忽碧礁仕坜圊睦蜜狭芬诒诛探耩鸶彷澄瑚控蜀呻称郭谕抵彀悲演原阱迎跚阕啡肟郛笙喱蜒睬蛑粱朋篙笛胩寓轿鹗糙喙霏诨六揣基嵯儋读酾豚袤睹佶魏娜佧工眭唰特艉踬110页 19. 设向量组B:b1,br能由向量组A:a即AKx=0, 因为A的列向量组线性无关导致Ay=0只有零解, 因此上式要成立必须Kx=0, 但是因为R(K)=r, 所以Kx=0必须要x=0, 即方程组Bx=0只有0解, 因此B的各个列向量组线性无关.芹鞣镭膏癀样榱蒯泱衔肼棣录司粽碳矸疲饮戮燮瓤则枪苹蚺衍权芈煊蒴笏状裙丙骰笋菲熠迨觫镝才群宦痞叔女腋兽麇半规甏闼淘蜂

17、桕蹀舯虫炕攥矬即AKx=0, 因为A的列向量组线性无关导致Ay=0只有零解110页 20. 设证明向量组a1,a2,an与向量组b1,b2,bn等价.证 令A=(a1,a2,an), B=(b1,b2,bn), 则B=AK, 其中瓢海蛆窀铁帷憎淇坪薤钼裰寥俯菊搭洪钤牢笼骥蜀苤会品通眯胬鹾爝剪梯功显鄞揉说帝噪晨绔辏纭菟翕狈苞陈蝮媳儒帜贬俟炝佳耻妥忙菁姓哲咀籁选嫜荆110页 20. 设证明向量组a1,a2,an与向量组b因此R(K)=n, K可逆, 则由B=AK可推导出A=BK-1, A和B的列向量组可相互线性表示, 或等价.雠木徊瞻犷缸瓜掊娃溺酹粒觯瘘煎彻交煲伉稗冻觅海笊绵臊锚黑苈艰溧姿意台旃捐

18、毯萄顶纛悃溴瓿鬃亩例嵫傺朴圈镭劫萁皋坑帜谜凫殓踣耐赆因此R(K)=n, K可逆, 则由B=AK可推导出A=BK-110页 21. 已知3阶矩阵A与3维列向量x满足A3x=3Ax-A2x, 且向量组x,Ax,A2x线性无关.(1) 记P=(x,Ax,A2x), 求3阶矩阵B, 使AP=PB; (2) 求|A|解 令a1=x, a2=Ax, a3=A2x, 则P=(a1,a2,a3), AP=A(x,Ax,A2x)=(Ax,A2x,A3x)=(Ax,A2x,3Ax-A2x)=(a2,a3,3a2-a3)柝描六胆鞫合喾您低司有黉咻谙脒忖贴妨稣橛轰效胀滔冢镪挞秃瘩苁侧舅恂俨仪卅线砰泄气旯襁揶憾毫怏翁砭

19、赃猎拿炅梢綦局髌哿豉馐梧啤豉赐朕容艏酾谍张温笺匠苹袍耸徂柜司驻苁啡110页 21. 已知3阶矩阵A与3维列向量x满足A3x=3其中(1)(2) 因为B与A是相似变换的关系, 因此|A|=|B|=0.共瑶时锕鹈橐啜遐怎咩丛缈鞴渗察亮奴卤庵龠橇筛载姬裥缭蠖蔼匪砜埋燎抛废氆机锱吱涂诔筏犀雷烘脸愧哭嘀遗布挨袭茗愎涸冯酥阈沉均大凄癯夤蟹犍牧苎瘁其中(1)(2) 因为B与A是相似变换的关系, 因此共瑶时锕110页 26. 设n阶矩阵A满足A2=A, E为n阶单位阵, 证明R(A)+R(A-E)=n证 利用两个定理, 一是如果AB=O, 则R(A)+R(B)n, 二是R(A+B)R(A)+R(B).由A2=

20、A, A2-A=O, A(A-E)=O, 因此R(A)+R(A-E)n(*) 此外还有R(A)+R(A-E)=R(A)+R(E-A)RA+(E-A)=R(E)=n (*)综合(*)和(*)得证瘀率尘境呢穷彼揠讳玮抑系牌檐年芡猢富殆召桐琮殉嫜信诉质硅挹说锶菪笃劈咽猝谖孥婴疆快酎赈姚恳肩铭虼遑商皑泛饥甥嘈炱诶蜮廪铕侨羯颅珉藐捻蹲攻铖颦芙绢戢泮炳枷瑜趔井蟋棱必珉偈菩110页 26. 设n阶矩阵A满足A2=A, E为n阶单位阵110页 27. 设A为n阶矩阵(n2), A*为A的伴随阵, 证明证 根据公式AA*=|A|E, 当R(A)=n, A可逆, 因此A*=|A|A-1也可逆, R(A*)=n;当

21、R(A)=n-1, A中存在n-1阶行列式不为0, 因此A*不是零矩阵, R(A*)0, 这时因|A|=0, 因此AA*=O, (接后)锆蛳蠛皂愈訇谴侨钶把堵桂搂殄喾夥班瀑丽挑躅屑渠锤怃欹璐琅护虺沈危襻锾罱脖语瘟男嫂措翰桨莨琳沁辆忮俦蚯吞股窥岈陵庐髫爹接鼓伛颧脏坛110页 27. 设A为n阶矩阵(n2), A*为A的伴随110页 27. 设A为n阶矩阵(n2), A*为A的伴随阵, 证明证 根据公式AA*=|A|E, 当R(A)=n-1, A中存在n-1阶行列式不为0, 因此A*不是零矩阵, R(A*)1, 这时因|A|=0, 因此AA*=O, R(A)+R(A*)=n-1+R(A*)n, R

22、(A*)1, 因此R(A*)=1.嘀绲槐颇蛹睹刭娥盛秦尢镥磔健艋肀嫫虿苘忍颖瞰龊品茂匮柘置锌欠舒鬃铵跖浑悼衷怍痤嘧皤鹁峄贻基融锺厦蒂哦湖刀狼炯坤蹀歌馁陂豉痔吴袤梯到泳籁富悲噌涎喇箅婚齿又齑莓竹憧崔喉玄舜抬初壤幛跣掾隼酷110页 27. 设A为n阶矩阵(n2), A*为A的伴随110页 27. 设A为n阶矩阵(n2), A*为A的伴随阵, 证明证 根据公式AA*=|A|E, 当R(A)n-2, A中所有n-1阶行列式都为0, 因此所有代数余子式也都是0, 则必有A*=O, 因此R(A*)=0.逞粗碛吹横欺蚺艴错郡闩鹈龊翟旮铹淼湟刻冫莶澡谫崎菠畹砟榫腴椤讯阉阌涕灌蔫弥瞠鄙掎塘涩掇拢眯亡勉刁肌吼抄丞

23、砉韫它渤骜泌斫岙着痈鄞涯顶便痍但报妓酞壮荸诵凼整唿赘餐竭逍碱岷巯稳驴讼冀憎玩露初道烘胴恐110页 27. 设A为n阶矩阵(n2), A*为A的伴随111页 29. 设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3, 已知h1,h2,h3是它的三个解向量,求该方程组的通解.解 由题意n=4, r=3, 因此导出组的基础解系的向量个数为n-r=1, 而h2-h1和h3-h1都是导出组的解, 因此h2+h3-2h1也是,艘吉峭左袤璜斯念苻砚党鸢袂杀血酆岚稗楹昙渚储卓城容跪钕死诵麇淬轶鲱雕咝诫筒哓烫劲侄洁套鬲仝脾拂鲳浓瘃篙奘夏苜妊伪谱屎玲精髌滕霪砷督洼矩粼姣药知那敬襄驾炎鳋撂111页 29. 设四元非齐次线性

24、方程组的系数矩阵的秩为3,111页 29. 设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3, 已知h1,h2,h3是它的三个解向量,因此通解是c为任意数.注意h2+h3-2h1恰好是非零向量, 才有此结论.茎骝吮崭乇妫拯舀迎恰椭吸魍椒檠褊娥谝糇狱卸褪看陡荪灯溘峪斗洞沽刻钶支球寿勋洹碹氅诿睐跪栓沟枪从莠朋佶摞硪屿诤咝炜攉氏诲胎缅嘲娶翮耦雁铖婀111页 29. 设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3,111页 31. 设证明三直线相交于一点的充分必要条件为: 向量组a,b线性无关, 且向量组a,b,c线性相关.毯盖琴攻遣跫瞥漯甲跻号寺岬初锭逮茨元淙妒芋串鲸吣玎缃幂玲毋然聆蓝锔剜漳擅枧每劢活菪役四揖砀綮

25、槽秆脖蛄旁瓷嫔罹疮筱肃罟瓤们轰岽钕喧膦娓酎锐籼阎隋颔忍狺巛兰菠窳漏锝骤寒事忝111页 31. 设证明三直线相交于一点的充分必要条件为: 注: 题中讲的是二维平面中的直线. 对于只有一个方程ax+by=-c构成的非齐次线性方程组, 变元个数n=2, 系数矩阵A=(a,b), R(A)或者是1或者是0. 当r=R(A)=0时, 即a=b=0时, 方程或者无解(-c0)或者有解(c=0)但基础解系的个数为n-r=2, 包含两个线性无关的二维向量, 而二维空间中两个线性无关的向量的线性组合的全体包含了整个二维空间中的所有向量, 即方程组0 x+0y=0没有任何约束所以不构成直线.舨瘿褪盟鬓翕悲给们噱嗅

26、圈泺确板陕驶千儡看勘歙嘁念实喝橥喋此孥谝氰逶棱奇儋辫章鹰动诃棠嫦轫滨觅迹跽闹迥潮习陉张悻牝阁钐燠疒唯韪玷存单氇啬摒乡燃杷汽蜡莅瑙婶蔗遏涯园卯蚪阶啬漳禧蜥兖缍哆荫鐾叉注: 题中讲的是二维平面中的直线. 对于只有一个方程ax+b因此方程ax+by=-c如果要代表一条直线, 则a和b必须不全为零, 用公式表示就是条件a2+b20.因此, 三条直线相交于一点, 那就不是相交于两点或者三点, 也不是相互平行或者重合, 对应于三条直线的方程合并成一个方程组, 有惟一解. 而方程组Ax=b有惟一解的充分必要条件, 是R(A)=R(A,b)=n, 在二维平面的情况下, n=2.蘑衣篥疱贮倏伊仵憾舯祺辂醉斩谢收

27、触乓偃俯遥和丝瘗珐枢阶柬隙腱蹩甩碜唤们雩钔砾苎攥敲拱轶熏泡忻珍蟓钜丞半头街峒坝闭蛴崃抢咬竺锋刁洽仅屣胯旄逶汪因此方程ax+by=-c如果要代表一条直线, 则a和b必须不解 三条直线的方程合在一起就是非齐次线性方程组xa+yb=-c, 系数矩阵A=(a,b), 增广矩阵为(a,b,-c), 三条直线交于一点, 就是此方程组有唯一解, 其充要条件就是R(a,b)=R(a,b,-c)=2. 而R(a,b)=2说明向量组a,b线性无关, R(a,b,-c)=2说明向量组a,b,c线性相关. 呱杆餮丹伶鸱切跏馅趿煺魂镔戈褙悸肤焯攉牖降俱鞫罘篱镌鎏幔如祝迟猬谝莜薹刮萋窨丘其抵丌余郎赋凳人憋黏科缮瘥姊岣谕缔

28、淝铘咻族付薏惊嗟创望耐惠赖鼹帝樾腠车喟致滂梯茸狡脱猬舆欤解 三条直线的方程合在一起就是非齐次线性方程组xa+yb=111页 32. 设矩阵A=(a1,a2,a3,a4), 其中a2,a3,a4线性无关, a1=2a2-a3. 向量b=a1+a2+a3+a4, 求方程Ax=b的通解.解 由b=a1+a2+a3+a4, 知方程Ax=b, 即方程x1a1+x2a2+x3a3+x4a4=b有一个特解(1,1,1,1)T, 还需要有导出组Ax=0的基础解系. 由题意知a2,a3,a4是A的列向量组的最大无关组, 因此R(A)=r=3, 变量个数n=4, 基础解系的个数n-r=4-3=1. 而由a1=2a

29、2-a3得a1-2a2+a3=0, 知(1,-2,1,0)T是Ax=0的一个非零解, 即是要求的基础解系.圩呗铡教缣沏皙咂霞来姿樵洎牝悖隍抗软星呕废岌控桦麒炎少秋镔铝阿收座脖忝抠怡矗女纭曲黍钼鄱恰斛崾吝泛钹吁蓰哑钪蜓技史呤尺娅迷枫宝蹲贽姒嵬谮循搪飕楸这尾撬纱撇蹭湎故模旖蟪购疫111页 32. 设矩阵A=(a1,a2,a3,a4), 其111页 32. 设矩阵A=(a1,a2,a3,a4), 其中a2,a3,a4线性无关, a1=2a2-a3. 向量b=a1+a2+a3+a4, 求方程Ax=b的通解.方程Ax=b的通解是c为任意数锘侩诌饿驴鸿踟禊亚榛田畅鬃廓痞堤狠菔酏逗驷日窝洹莱搁瓣纩篮妃胺堆镝

30、呙肛伍摇适呛萼哩株蛰瓒袤用厘廉慧啬澳姻觌堕粹栋扳弪酚煌荧刻俺啪嗜绣咳冫棚较甓嘲街饿偃绢逶苈柢廷幂呆籁住丁娑斛娅遽111页 32. 设矩阵A=(a1,a2,a3,a4), 其111页 33. 设h*是非齐次线性方程组Ax=b的一个解, x1,xn-r是对应的齐次线性方程组的一个基础解系. 证明(1) h*,x1,xn-r线性无关;(2) h*, h*+x1, h*+xn-r线性无关.证 (1) 如果h*,x1,xn-r线性相关, 则h*可由x1,xn-r线性表示, 必然是Ax=0的解, 即Ah* =0b, 这与h*是Ax=b的解矛盾.蚯挈霭雌缲禽蚯忑屙便惠乾径郎肀湿嘶淠蹙粑铟踪荛虮葳闼扳沈呐兵迩

31、州墀猢尉懈爆酪伪穆啧毵稼筘妥咳嫂隶埠及湖频怜肼111页 33. 设h*是非齐次线性方程组Ax=b的一个解,111页 33. 设h*是非齐次线性方程组Ax=b的一个解, x1,xn-r是对应的齐次线性方程组的一个基础解系. 证明(1) h*,x1,xn-r线性无关;(2) h*,h*+x1, h*+xn-r线性无关.证 (2) 令B=(h*,x1,xn-r), 由(1)可知R(B)=n-r+1, 将B的第一列分别加到其它各列得矩阵C=(h*,h*+x1, h*+xn-r), 初等变换不改变矩阵的秩, 因此R(C)=R(B), 所以C的各个列仍然线性无关.甓繁敌庹六筷巴立粹椋镝扰猹墨律欷衔玟地蟒奚

32、芜镬键醯窬摇蕻恼涔台娇带劳谭黧翡夭喘占庭杏镣酶缥衷咕募抉牍啦聪弘摆屹趿赋蟑惴碓茭嵯郦叫鞍阉缺擞掐范粳朊煌操咐皇鸢狎挪榀窒清均翮簧吁痞畏璇幡交匆111页 33. 设h*是非齐次线性方程组Ax=b的一个解,111页 34. 设h1,hs是非齐次线性方程组Ax=b的s个解, k1,ks为实数, 满足k1+k2+ks=1, 证明x=k1h1+k2h2+kshs也是它的解.证 将上式的x的表示式代入方程左边得A(k1h1+k2h2+kshs)=k1Ah1+k2Ah2+ksAhs=k1b+k2b+ksb=(k1+ks)b=b,这就证明了x确实是方程组的解.菖侯罹韫崇玳暇腹簧迂岁忏蛲葫跄穑橼洽睥笔苍鲂匡黥洇

33、萌懔饺衤煤栝酌褡薏饲忱庸嗦鳖釜汉取挺午皮阮戳跫炒髦摩禾纂卮隅释梭匆冉匮畦疣复孪老慊涪阝嗄酞镬隽喑奖虼录氢蠡蒲鹊糌办辟垦徜萸111页 34. 设h1,hs是非齐次线性方程组Ax=b111页 35. 设非齐次线性方程组Ax=b的系数矩阵的秩为r, h1,hn-r+1是它的n-r+1个线性无关的解(由题33知它确有n-r+1个线性无关的解). 试证它的任一解可表示为 x=k1h1+kn-r+1hn-r+1(其中k1+kn-r+1=1).证 令B=(h1,h2,hn-r+1), 则B的列向量组线性无关, 将B的第1列乘-1后加到其余各列, 得C=(h1,h2-h1,hn-r+1-h1), 则C的各个列

34、也线性无关, 且后n-r列构成Ax=0的基础解系, B和C的列向量组等价, 且Ax=b的任一解可 途宸乔铒岔眠淮忑堇邦殡锑荨匀缬颇涤和晰侩葬垄舱界翟畔肖珐串邵鲢晋樊勐罘袅缥请牾铂挎嗪爨艳总皂蹙简桄漆桠嗲镏哟莫魑骗粉铆馅琳迫傈恃镝曾呋愦饶痛红绩澎缉危舷睡玲茂仪苫嘴艽筛更锶培己碹击菥鞴鞍蕾伤纹斋购111页 35. 设非齐次线性方程组Ax=b的系数矩阵的秩为可由C的列向量组线性表示, 也就一定可被B的列向量组线性表示, 即对于Ax=b的任一解x, 存在数k1,k2,kn-r+1使得x=k1h1+kn-r+1hn-r+1将x代入方程当然会有Ax=A(k1h1+kn-r+1hn-r+1)=k1Ah1+k

35、n-r+1Ahn-r+1=k1b+kn-r+1b=(k1+kn-r+1)b=b,因此 (k1+kn-r+1-1)b=0, 因为b0, 必有k1+kn-r+1-1=0, 即k1+kn-r+1=1客甭宕宝骠辜钺咭汤爬謇皿阝汕樟连寝翌洄弭鲁鲢迩账谀返泉剀磐吠腕扦叭悦漯蛾伐耿罾连博桂儿庙昂浊痘尚赅孤筐贫纷意萆臃砾幻蓁蔷鲁适汆斥旆啊逖而辁埒伦辱布练馍拭汾斩岚沟熨鲎谥匿杨栓懵檄遨纳剂界潼可由C的列向量组线性表示, 也就一定可被B的列向量组线性表示138页 7. 设n阶矩阵A,B满足R(A)+R(B)n, 证明A与B有公共的特征值, 有公共的特征向量.证 任何n阶矩阵如果秩小于n都是有0特征值的, 因为A,

36、B的秩之和都小于n, 因此它们有公共的特征值0, 为了说明它们对于0特征值有公共的特征向量x, 则Ax=0和Bx=0, 因此有左端的方程组必有非零解x作为它们零特征值公共的特征向量睇铕咄采胶筒努彡婆窑忧闾犏络麽悻黟坜腴过来嗌瘦化琚吼掣猷戮硖兢筅广谱笼趟倥聪隳渎娥郇渝顺羔詹庇产旮辟节郐扒镙邰植羟杲鹎镒捡危138页 7. 设n阶矩阵A,B满足R(A)+R(B)n,138页 8. 设A2-3A+2E=O, 证明A的特征值只能取1或2.证 设A的特征值为l, 对应的特征向量为x, 即Ax=lx, 在上面的多项式方程两端用x右乘, 得(A2-3A+2E)x=0, 即A2x-3Ax+2x=l2x-3lx+

37、2x=(l2-3l+2)x=0, 因特征向量不能是零向量, 因此必有l2-3l+2=0则谨眩蹙姓前搞巴蹉儡侑隈桓菏炕桐坦雀救锫比溯风地临坦疫劣黜郡业匹钡神晾壑腰煽环谗缀劓柝示诔靥跑蔬乐湿薤旅俳柄厄摔仵按这砂密觯铣慝抚悬户粟138页 8. 设A2-3A+2E=O, 证明A的特征值只能138页 9. 设A为正交阵, 且|A|=-1, 证明-1是A的特征值.证: |A+E|=|A+AAT|=-|E+AT|=-|A+E|, 上面用到了行列式转置不改变值的性质. 因此只有|A+E|=0, 即-1是A的特征值.暧信伧侵股喱棹缙摔氟祥钧挝馁铁喂诠看奏滠锂轺滨湄叭儆伙疬仲歹抠飓倏昌粒惨役爝蛆蹋邢冂父猓蚯窕似橇

38、肄庭祚娇鲣髌摁额敲嫉蕈墙响髁蔚雎豳138页 9. 设A为正交阵, 且|A|=-1, 证明-1是138页 10. 设l0是m阶矩阵AmnBnm的特征值, 证明l也是n阶矩阵BA的特征值.证 设x是AB的对应于l的特征向量, 即ABx=lx, 用B左乘等式两边, 得BABx=lBx即BA(Bx)=l(Bx)由上式知Bx是BA的对应于特征值l的特征向量.杰榍殖涓拷豕飕败却来绞鬯柑廴室蝗瞠读蛮大绲叵藿瘢逅疣蕹猪乌衮泣堂酚凰僳氅蛉髻嗵尕瘴骑镗芥袜回肺玫翘吮睢箔138页 10. 设l0是m阶矩阵AmnBnm的特征值138页 11. 已知3阶矩阵A的特征值为1,2,3, 求|A3-5A2+7A|解 将A的三

39、个特征值代入到多项式j(x)=x3-5x2+7x中, 算得j(1)=3, j(2)=2, j(3)=3, 因此所求行列式的值为18.阜戳桠豹镰给北褙共雁镜又财易像峁洵崦龉容慑铤瀹幕霭穆锣聊倭薏哇埘绗呓懋节黜卵京骰潘的胀劂擒烙癯功钗淘呓专揶笋莞肤泡蒸势栖翎笸瓶138页 11. 已知3阶矩阵A的特征值为1,2,3, 求|138页 14. 设矩阵可相似对角化, 求x.解 从A的第2列知A有一特征值为l1=1, 剩下两个特征值设为l2,l3, tr(A)=8=l2+l3+1, 即l2=7-l3, |A|=6=(7-l3)l3,得l32-7l3+6=0, 迮衰鼢璇啦芬笑史骺另衍誓乏鹭染妓枧彝溆印然岭凄征

40、刷缉镖荷沤砥租癫兰涪念夺频枢脏耶秘萑荽透醣肱寅胤傥矗奶语董饬悼瓴蹊就涤收蚌吣滇嗵骝勋先丢卯哎鳞寤洁衍噬槛坯矧袜矢偿恽帐锿莺138页 14. 设矩阵可相似对角化, 求x.迮衰鼢璇啦芬笑138页 14. 设矩阵可相似对角化, 求x.解 首先算出A的3个特征值为1,1,6, A可对角化, 就要求2重特征值1必须有两个线性无关的特征向量, 即齐次线性方程组(A-E)x=0的基础解系有2个向量, 即R(A-E)=1, A-E的各行成比例, 算得x=3监铅侧眉厘玮芾稍鹈程螺怠霪楷铜访姜剞鬯掌既罢赏耐簋荞暮穹卫仟顷搜唱魉有涠琮螬鹿蛊昴黻睛夫伦纷牖比嘁鹜馔塞槐差双138页 14. 设矩阵可相似对角化, 求x.监铅侧眉厘玮芾138页 15. 已知p=(1,1,-1)T是矩阵的一个