寿险精算第三讲-人寿保险的趸缴纯保费

1、第二章 人寿保险的趸缴纯保费保险金是寿险公司的主要负债，将由寿险公司在未来的时间里支付，具体支付时间视被保险人死亡时间而定。通常这些保险根据给付保险金方式的不同分为两大类： （1）普通人寿保险： 如果被保险人在某一期限内死亡或活过某一期限，保险人将向被保险人给付一笔保险金，即一次性给付保险金。 （2）年金保险：在约定期间当被保险人活着时，保险人在相同间隔的时间上向被保险人多次给付一系列保险金。第一页，共七十七页。人寿保险简介什么是人寿保险 狭义的人寿保险是以被保险人在保障期是否死亡作为保险标的的一种保险。 广义的人寿保险是以被保险人的寿命作为保险标的的一种保险。它包括以保障期内被保险人死亡为标

2、的的狭义寿险，也包括以保障期内被保险人生存为标的生存保险和两全保险。第二页，共七十七页。人寿保险的分类受益金额是否恒定定额受益保险 变额受益保险保单签约日和保障期期始日是否同时进行非延期保险延期保险 保障标的的不同人寿保险（狭义）生存保险两全保险 保障期是否有限 定期寿险 终身寿险第三页，共七十七页。第四页，共七十七页。人寿保险的性质保障的长期性这使得从投保到赔付期间的投资受益（利息）成为不容忽视的因素。保险赔付金额和赔付时间的不确定性人寿保险的赔付金额和赔付时间依赖于被保险人的生命状况。被保险人的死亡时间是一个随机变量。这就意味着保险公司的赔付额也是一个随机变量，它依赖于被保险人剩余寿命分布

3、。被保障人群的大数性这就意味着，保险公司可以依靠概率统计的原理计算出平均赔付并可预测将来的风险。第五页，共七十七页。趸缴纯保费的厘定假定条件:假定一：同性别、同年龄、同时参保的被保险人的剩余寿命是独立同分布的。假定二：被保险人的剩余寿命分布可以用经验生命表进行拟合。假定三：保险公司可以预测将来的投资受益（即预定利率）。第六页，共七十七页。原则保费净均衡原则解释所谓净均衡原则，即保费收入的期望现时值正好等于将来的保险赔付金的期望现时值。它的实质是在统计意义上的收支平衡。是在大数场合下，收费期望现时值等于支出期望现时值 第七页，共七十七页。基本符号 投保年龄 的人。 人的极限年龄 保险金给付函数。

4、 贴现函数。 保险给付金在保单生效时的现时值第八页，共七十七页。趸缴纯保费的定义在保单生效日一次性支付将来保险赔付金的期望现时值 趸缴纯保费的厘定按照净均衡原则，趸缴纯保费就等于第九页，共七十七页。2. 1 离散型的人寿保险模型(死亡年末赔付) 所谓离散型的人寿保险模型，是指以离散型未来寿命K(x)为基础，保险金是在被保险人死亡所处的保单年度末支付而建立的各种人寿保险的数学模型。 对保险人 (x) ，其未来寿命整年数为K(x)，则其概率分布率为假设金额在K(x)+1处给付，给付金融为 元，记 为在K(x)+1处给付1个单位时的利息贴息贴现系数，Z为给付保险金额在签单时的现值。则 Z的期望值 E

5、(Z) 的一般表达式是E(Z) 称为趸缴纯保费第十页，共七十七页。给付保险金的现值与分布保险人(x)的 给付保险金的现值Z 是一随机变量,其分布为:未来寿命K(x)012k给付数额B贴现系数V给付现值Z给付概率p第十一页，共七十七页。2. 1.1 死亡保险死亡保险分为n 年期和终身人寿保险基本符号 岁投保的人整值剩余寿命 保险金在死亡年末给付函数 贴现函数。 保险赔付金在签单时的现时值。 趸缴纯保费。第十二页，共七十七页。定期寿险死亡年末赔付场合n 年定期保险假设（x）投保了保险期限为 n 年，保险金额为 1元的定期寿险，即：当且仅当被保险人（x）在保险期间内死亡时，即未活过x+n 岁，寿险公

6、司才给付保险金1元。如果被保险人（x）活到保险期末，寿险公司将不作任何支付。为了清楚起见，我们先假定，当被保险人在保险期间内死亡时，保险金于被保险人死亡那年年末支付（以后我们将会讨论于死亡时立即给付保险金的情况）。第十三页，共七十七页。基本函数关系：记k为被保险人整值剩余寿命，则第十四页，共七十七页。定期寿险则其有关函数为：则其趸缴纯保费为：用换算函数计算未来寿命K(x)012n-1给付数额B11 1 1 贴现系数V给付现值Z给付概率p第十五页，共七十七页。趸缴纯保费的厘定符号：厘定：第十六页，共七十七页。换算符号换算引进的目的：简化计算常用换算符号：第十七页，共七十七页。换算表第十八页，共七

7、十七页。现值随机变量的方差公式记等价方差为第十九页，共七十七页。例2.1.1 设年龄为35岁的人投保离散型的保险金额为5000元的25年定期保险。求该保单的趸缴纯保费（年利率i=6%） 。第二十页，共七十七页。在人寿保险中，纯保费 通常称为自然纯保费，用 表示，即 在一般情况下，年龄越大，自然纯保费越高。第二十一页，共七十七页。终身寿险定义保险人对被保险人在投保后任何时刻发生的保险责任范围内的死亡均给付保险金的险种。 对于有限期保险，令 ，就可得到终身寿险的趸缴纯保费计算公式： 用换算符号计算：对式(2.1.5)两边乘以 ，则得 式(2.1.7)表明，保单签发时， 个年龄为x岁的被保险人所支付

8、的趸缴纯保费组成的基金总额等于按死亡预定流出资金的现值总额。第二十二页，共七十七页。第二十三页，共七十七页。第二十四页，共七十七页。第二十五页，共七十七页。2.1.2 两全保险第二十六页，共七十七页。第二十七页，共七十七页。2.1.2 两全保险n年期两全保险是由n 年期生存保险和n 年定期保险组成，假设(x)投保离散型的保额为1单位的两全保险，则其有关函数为：则其趸缴纯保费为：用换算函数计算未来寿命K(x)012n-1n给付数额B11 1 1 1贴现系数V给付现值Z给付概率p第二十八页，共七十七页。第二十九页，共七十七页。2.1.3 延期寿险被保险人在投保后的前m年内的死亡不获赔偿，从第m+1

9、年开始为期n年的定期寿险，则其有关函数为：则其趸缴纯保费为：用换算函数计算未来寿命K(x)mm+1m+2m+n-1给付数额B01 1 11贴现系数V给付现值Z 0给付概率p第三十页，共七十七页。例子例2.1.4 试证：证明:第三十一页，共七十七页。第三十二页，共七十七页。2.1.4 变额受益保险1.递增的n年定期保险如果保险金额的给付是随着被保险人未来寿命的变化而改变的,这类人寿保险称为变额年金保险，则其有关函数为：则其趸缴纯保费为：用换算函数计算未来寿命K(x)0123n-1给付数额B12 3 4n 贴现系数V给付现值Z给付概率p第三十三页，共七十七页。第三十四页，共七十七页。2.1.4 变

10、额受益保险2.递减速的n年定期保险其有关函数为：则其趸缴纯保费为：用换算函数计算未来寿命K(x)0123n-1给付数额Bnn-1 n-2 n-31 贴现系数V给付现值Z给付概率p第三十五页，共七十七页。例子 例2.1.5 设年龄为30岁的人,购买离散型的递增的30年定期保险,保险利益是:被保险人在第一个保单内死亡,则给付1000元;在第二个保单年度内死亡,则给付1100;在第三个保单年度内死亡,则给付1200;依次下去,直到第30个保单年度内死亡,则给付3900.试求该保单的趸缴纯保费(预定年利率i=6%).解： 时间1232930给付数额B10001100120038003900900*11

11、111100*1232930第三十六页，共七十七页。例子例2.1.6 设年龄为30岁的人,购买离散型的递减的20年定期保险,保险利益是:被保险人在第一个保单内死亡,则给付5000元;在第二个保单年度内死亡,则给付4900;在第三个保单年度内死亡,则给付4800;依次下去,直到第20个保单年度内死亡,则给付3100.试求该保单的趸缴纯保费(预定年利率i=6%).解： 时间1231920给付数额B500049004800320031003000*11111100*20191821第三十七页，共七十七页。死亡年末给付趸缴纯保费公式归纳终身寿险延期m年的n年定期寿险延期m年的终身寿险n年期两全保险延期

12、m年的n年期两全保险递增终身寿险递减n年定期寿险第三十八页，共七十七页。2. 2 连续型的人寿保险模型 连续型的人寿保险模型，就是指如果被保险人在保障期内发生保险责任范围内的死亡 ，保险公司将在死亡事件发生之后，立刻给予保险赔付。 它是在实际应用场合，保险公司通常采用的理赔方式。 2.2.1 死亡保险 保险人只对被保险人在投保后的n年内发生的保险责任范围内的死亡给付保险金的险种，又称为n年死亡保险。假定：(x) 岁的人，保额1元n年定期寿险 基本函数关系 则其趸缴纯保费第三十九页，共七十七页。趸缴纯保费在 时间区间内，因为T(x) 的密度函数为 故即(x) 在 区间内死亡率概率为 ，其支付金额

13、 =1，贴现系数为 给付现值 为 。故 的期望值即趸缴纯保费为：第四十页，共七十七页。现值随机变量的方差方差公式记（相当于利息力翻倍以后求n年期寿险的趸缴保费）所以方差等价为第四十一页，共七十七页。2.2.2终身寿险定义保险人对被保险人在投保后任何时刻发生的保险责任范围内的死亡均给付保险金的险种。假定： 岁的人，保额1元终身寿险基本函数关系第四十二页，共七十七页。趸缴纯保费的厘定符号：厘定：第四十三页，共七十七页。方差公式记所以方差等价为 第四十四页，共七十七页。例2.2.1设(x)投保终身寿险，保险金额为1元保险金在死亡即刻赔付签单时，(x)的剩余寿命的密度函数为计算第四十五页，共七十七页。

14、第四十六页，共七十七页。第四十七页，共七十七页。例2.2.2 设有100 个相互独立的年龄都是x岁的被保险人投保保险金额为10元的连续型终身寿险,死力 ,保险金将从利力 计息的投资基金中支付.试计算该项基金在最初(t=0) 时,其数额至少有多大,才能保证从该项基金中足以支付每个被保险人的死亡受益金的概率近似于95%.第四十八页，共七十七页。例2.2.2解:从而可得第四十九页，共七十七页。例2.2.2续设该基金在最初时的数额至少是h,则这等价于:第五十页，共七十七页。延期终身寿险 保险人对被保险人在投保m年后发生的保险责任范围内的死亡均给付保险金的险种。假定: (x)岁的人，保额1元，延期m年的

15、终身寿险基本函数关系符号：第五十一页，共七十七页。第五十二页，共七十七页。例子例2.2.3 考察保险金额为1个单位的延期5年的终身寿险，设年龄为x岁的被保险人死力为常值勤 ，利力 ，Z表示给付死亡受益金在投保时的现值随机变量。试求： (1) 期望值 E(Z) (2) 方差 Var(Z) (3) 中位数解：第五十三页，共七十七页。n年期两全保险被保险人投保后如果在n年期内发生保险责任范围内的死亡，保险人即刻给付保险金；如果被保险人生存至n年期满，保险人在第n年末支付保险金的保险。它等价于n年生存保险加上n年定期寿险的组合。假定 (x) 岁的人，保额1元，n年定期两全保险基本函数关系符号及保费厘定

16、第五十四页，共七十七页。延期m年n年定期两全保险定义被保险人在投保后的前m年内的死亡不获赔偿，从第m+1年开始为期n年的定期两全保险假定： 岁的人，保额1元，延期m年的n年定期两全保险基本函数关系第五十五页，共七十七页。趸缴纯保费的厘定符号：厘定第五十六页，共七十七页。2.2.2 变额受益保险1.按算术数列续年递增的终身寿险定义：递增终身寿险是变额受益保险的一种特殊情况。假定受益金额为剩余寿命的线性递增函数特别：一年递增一次一年递增m次一年递增无穷次（连续递增）第五十七页，共七十七页。一年递增一次现值随机变量趸缴保费厘定第五十八页，共七十七页。一年递增m次现值随机变量趸缴保费厘定第五十九页，共

17、七十七页。一年递增无穷次（连续递增）现值随机变量趸缴保费厘定第六十页，共七十七页。1.按算术数列续年递减的n年期定期寿险定义：递减定期寿险是变额受益保险的另一种特殊情况。假定受益金额为剩余寿命的线性递减函数特别：一年递减一次一年递增减m次一年递减无穷次（连续递减）第六十一页，共七十七页。一年递减一次现值随机变量趸缴保费厘定第六十二页，共七十七页。一年递减m次现值随机变量趸缴保费厘定第六十三页，共七十七页。一年递减无穷次（连续递减）现值随机变量趸缴保费厘定第六十四页，共七十七页。2.2.4 趸缴纯保费的换算公式常用换算符号：第六十五页，共七十七页。公式推导由式(2.2.2),可得第六十六页，共七

18、十七页。连续型寿险趸缴纯保费换算公式类似可得到第六十七页，共七十七页。2.3 在死亡均匀分布下的寿险模型2.3.1 与 之间的关系以终身寿险为例，有剩余寿命等于整值剩余寿命加死亡之年分数生存寿命：则有 类似地,可得到其他公式,参见式(2.3.2)第六十八页，共七十七页。例子 例2.3.1 设年龄为40岁的人投保连续型的递减的10年定期保险,保险利益是:若被保险人在第一个保单年内死亡,则立即给付受益金10000元;若在第二个保单年内死亡,则立即给付受益金9900元;若在第三个保单年内死亡,则立即给付受益金9800元;依次递减,直至到第十个保单年内死亡,则立即给付受益金9100元.试在死亡均匀分布

19、假设条件下求其趸缴纯保费(预定年利率i=6%). 解:第六十九页，共七十七页。2.4 递推方程式2.4.1离散型终身寿险趸缴纯保费的递推方程式推导:理解(x)的单位金额终身寿险在第一年末的价值等于(x)在第一年死亡的情况下1单位的赔付额,或生存满一年的情况下净趸缴保费 。第七十页，共七十七页。其他变形在式(2.4.1)中用 替代 ,且两边乘以 ,可得:解释： 个x岁的被保险人所缴的趸缴保费之和经过一年的积累，当年年末可为所有的被保险人提供次年的净趸缴保费 ，还可以为所有在当年去世的被保险人提供额外的 。公式三：同理,在式(2.4.2)两边乘以 ,可得解释:-年龄为x的被保险人在活到x+1岁时的净趸缴保费与当初岁时的净趸缴保费之差等于保费的一年利息减去提供一年的保险成本。 第七十一页，共七十七页。2.4.2 连续型终身寿险趸缴纯保费的微分方程式对于连续型终身寿险,其趸缴纯保费的微分方程式是推导:第七十二页，共七十七页。续推导:求极限:由于:即:第七十三页，共七十七页。补充例子补充例1 30岁的人购买保额为1000元的特殊的35年期两全保险,已经条件如下 : (1) 在其购买保险时,其两个孩子的年