2013年普通高等学校招生全国统一考试数学(大纲全国卷)理

1、大纲全国理科一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2013大纲全国,理1)设集合A=1,2,3,B=4,5,M=x|x=a+b,aA,bB,则M中元素的个数为(). A.3B.4C.5D.6答案:B解析:由题意知x=a+b,aA,bB,则x的可能取值为5,6,7,8.因此集合M共有4个元素.故选B.2.(2013大纲全国,理2)(1+3i)3=().A.-8B.8C.-8iD.8i答案:A解析:(1+3i)3=1+33i+3(3i)2+(3i)3=-8.故选A.3.(2013大纲全国,理3)已知向量m=(+1,1),n=(+2,2)

2、,若(m+n)(m-n),则=().A.-4B.-3C.-2D.-1答案:B解析:由(m+n)(m-n)|m|2-|n|2=0(+1)2+1-(+2)2+4=0=-3.故选B.4.(2013大纲全国,理4)已知函数f(x)的定义域为(-1,0),则函数f(2x+1)的定义域为().A.(-1,1)B.-1C.(-1,0)D.1答案:B解析:由题意知-12x+10,则-1x0)的反函数f-1(x)=(A.12x-1(x0)B.12C.2x-1(xR)D.2x-1(x0)答案:A解析:由题意知1+1x=2yx=12y因此f-1(x)=12x-1(x0)6.(2013大纲全国,理6)已知数列an满足

3、3an+1+an=0,a2=-43,则an的前10项和等于()A.-6(1-3-10)B.19(1-310C.3(1-3-10)D.3(1+3-10)答案:C解析:3an+1+an=0,an+1=-13an.数列an是以-13为公比的等比数列.a2=-43,S10=41-13101+137.(2013大纲全国,理7)(1+x)8(1+y)4的展开式中x2y2的系数是().A.56B.84C.112D.168答案:D解析:因为(1+x)8的展开式中x2的系数为C82,(1+y)4的展开式中y2的系数为C42,所以x2y2的系数为C8.(2013大纲全国,理8)椭圆C:x24+y23=1的左、右顶

4、点分别为A1,A2,点P在C上且直线PA2斜率的取值范围是-2,-1,那么直线PAA.12,34C.12,1答案:B解析:设P点坐标为(x0,y0),则x02kPA2=y0 x0-2,kPkPA2-2kPA19.(2013大纲全国,理9)若函数f(x)=x2+ax+1x在12,+是增函数,A.-1,0B.-1,+)C.0,3D.3,+)答案:D解析:由条件知f(x)=2x+a-1x20在12,+上恒成立,即a1x2-2x在12,+上恒成立.函数y=1x2-2x在12,+上为减函数,y10.(2013大纲全国,理10)已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB,则CD与平面BDC1

5、所成角的正弦值等于().A.23B.33C.23答案:A解析:如下图,连结AC交BD于点O,连结C1O,过C作CHC1O于点H.BDACCHBDCHC1HDC为CD与平面BDC1所成的角.设AA1=2AB=2,则OC=AC2=22,C由等面积法,得C1OCH=OCCC1,即322CH=22CH=23sinHDC=HCDC=2311.(2013大纲全国,理11)已知抛物线C:y2=8x与点M(-2,2),过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A,B两点.若MAMB=0,则k=(A.12B.22C.2答案:D解析:由题意知抛物线C的焦点坐标为(2,0),则直线AB的方程为y=k(x-2),将其代入y2

6、=8x,得k2x2-4(k2+2)x+4k2=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=4(k2+2)k2由yyMAMB=0,(x1+2,y1-2)(x2+2,y2-2)=0.(x1+2)(x2+2)+(y1-2)(y2-2)=0,即x1x2+2(x1+x2)+4+y1y2-2(y1+y2)+4=0.由解得k=2.故选D.12.(2013大纲全国,理12)已知函数f(x)=cos xsin 2x,下列结论中错误的是().A.y=f(x)的图像关于点(,0)中心对称B.y=f(x)的图像关于直线x=2C.f(x)的最大值为3D.f(x)既是奇函数,又是周期函数答案:C解析:由题意知

7、f(x)=2cos2xsin x=2(1-sin2x)sin x.令t=sin x,t-1,1,则g(t)=2(1-t2)t=2t-2t3.令g(t)=2-6t2=0,得t=33当t=1时,函数值为0;当t=-33时,函数值为-4当t=33时,函数值为4g(t)max=43即f(x)的最大值为439.故选二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.13.(2013大纲全国,理13)已知是第三象限角,sin =-13,则cot =答案:22解析:由题意知cos =-1-sin2故cot =cossin=14.(2013大纲全国,理14)6个人排成一行,其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有种.(用数字作

8、答)答案:480解析:先排除甲、乙外的4人,方法有A44种,再将甲、乙插入这4人形成的5个间隔中,有A52种排法,因此甲、乙不相邻的不同排法有A4415.(2013大纲全国,理15)记不等式组x0,x+3y4,3x+y4所表示的平面区域为D.若直线y=a(x+1答案:1解析:作出题中不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示.直线y=a(x+1)过定点C(-1,0),由图并结合题意可知kBC=12,kAC=4要使直线y=a(x+1)与平面区域D有公共点,则12a16.(2013大纲全国,理16)已知圆O和圆K是球O的大圆和小圆,其公共弦长等于球O的半径,OK=32,且圆O与圆K所在的平面所成的一个

9、二面角为60,则球O的表面积等于答案:16解析:如右图,设MN为两圆的公共弦,E为MN的中点,则OEMN,KEMN,结合题意可知OEK=60.又MN=R,OMN为正三角形.OE=32又OKEK,32=OEsin 60=32RR=2.S=4R2=16.三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.(2013大纲全国,理17)(本小题满分10分)等差数列an的前n项和为Sn.已知S3=a22,且S1,S2,S4成等比数列,求an解:设an的公差为d.由S3=a22得3a2=a22,故a2=0由S1,S2,S4成等比数列得S22=S1S又S1=a2-d,S2=2a2-d,S4=4a2+2

10、d,故(2a2-d)2=(a2-d)(4a2+2d).若a2=0,则d2=-2d2,所以d=0,此时Sn=0,不合题意;若a2=3,则(6-d)2=(3-d)(12+2d),解得d=0或d=2.因此an的通项公式为an=3或an=2n-1.18.(2013大纲全国,理18)(本小题满分12分)设ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,(a+b+c)(a-b+c)=ac.(1)求B;(2)若sin Asin C=3-14解:(1)因为(a+b+c)(a-b+c)=ac,所以a2+c2-b2=-ac.由余弦定理得cos B=a2+c因此B=120.(2)由(1)知A+C=60,所以cos(A

11、-C)=cos Acos C+sin Asin C=cos Acos C-sin Asin C+2sin Asin C=cos(A+C)+2sin Asin C=12+23故A-C=30或A-C=-30,因此C=15或C=45.19.(2013大纲全国,理19)(本小题满分12分)如图,四棱锥P-ABCD中,ABC=BAD=90,BC=2AD,PAB和PAD都是等边三角形.(1)证明:PBCD;(2)求二面角A-PD-C的大小.(1)证明:取BC的中点E,连结DE,则ABED为正方形.过P作PO平面ABCD,垂足为O.连结OA,OB,OD,OE.由PAB和PAD都是等边三角形知PA=PB=PD

12、,所以OA=OB=OD,即点O为正方形ABED对角线的交点,故OEBD,从而PBOE.因为O是BD的中点,E是BC的中点,所以OECD.因此PBCD.(2)解法一:由(1)知CDPB,CDPO,PBPO=P,故CD平面PBD.又PD平面PBD,所以CDPD.取PD的中点F,PC的中点G,连结FG,则FGCD,FGPD.连结AF,由APD为等边三角形可得AFPD.所以AFG为二面角A-PD-C的平面角.连结AG,EG,则EGPB.又PBAE,所以EGAE.设AB=2,则AE=22,EG=12PB=1故AG=AE在AFG中,FG=12CD=2,AF=3,AG=3所以cosAFG=FG2+A因此二面

13、角A-PD-C的大小为-arccos63解法二:由(1)知,OE,OB,OP两两垂直.以O为坐标原点,OE的方向为x轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz.设|AB|=2,则A(-2,0,0),D(0,-2,0),C(22,-2,0),P(0,0,2).PC=(22,-2,-2),PD=(0,-2,-2).AP=(2,0,2),AD=(2,-2,0).设平面PCD的法向量为n1=(x,y,z),则n1PC=(x,y,z)(22,-2,-2)=0,n1PD=(x,y,z)(0,-2,-2)=0,可得2x-y-z=0,y+z=0.取y=-1,得x=0,z=1,故n1=(0,-1,1).设

14、平面PAD的法向量为n2=(m,p,q),则n2AP=(m,p,q)(2,0,2)=0,n2AD=(m,p,q)(2,-2,0)=0,可得m+q=0,m-p=0.取m=1,得p=1,q=-1,故n2=(1,1,-1).于是cos=n1n由于等于二面角A-PD-C的平面角,所以二面角A-PD-C的大小为-arccos6320.(2013大纲全国,理20)(本小题满分12分)甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛,其中两人比赛,另一人当裁判,每局比赛结束时,负的一方在下一局当裁判.设各局中双方获胜的概率均为12,各局比赛的结果相互独立,第1局甲当裁判(1)求第4局甲当裁判的概率;(2)X表示前4局中乙当裁

15、判的次数,求X的数学期望.解:(1)记A1表示事件“第2局结果为甲胜”,A2表示事件“第3局甲参加比赛时,结果为甲负”,A表示事件“第4局甲当裁判”.则A=A1A2.P(A)=P(A1A2)=P(A1)P(A2)=14(2)X的可能取值为0,1,2.记A3表示事件“第3局乙和丙比赛时,结果为乙胜丙”,B1表示事件“第1局结果为乙胜丙”,B2表示事件“第2局乙和甲比赛时,结果为乙胜甲”,B3表示事件“第3局乙参加比赛时,结果为乙负”.则P(X=0)=P(B1B2A3)=P(B1)P(B2)P(A3)=18,P(X=2)=P(B1B3)=P(B1)P(B3)=14,P(X=1)=1-P(X=0)-

16、P(X=2)=1-18-14=58,EX=0P(X=0)+1P(21.(2013大纲全国,理21)(本小题满分12分)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为3(1)求a,b;(2)设过F2的直线l与C的左、右两支分别交于A,B两点,且|AF1|=|BF1|,证明:|AF2|,|AB|,|BF2|成等比数列.(1)解:由题设知ca=3,即a2+b2a2=9所以C的方程为8x2-y2=8a2.将y=2代入上式,求得x=a2由题设知,2a2+12=所以a=1,b=22.(2)证明:由(1)知,F1(-3,0),F2(3,0),C的方程为8x2-y2=

17、8.由题意可设l的方程为y=k(x-3),|k|22,代入并化简得(k2-8)x2-6k2x+9k2+8=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1-1,x21,x1+x2=6k2k2-8,x1于是|AF1|=(=(x1+3)2+8|BF1|=(=(x2+3由|AF1|=|BF1|得-(3x1+1)=3x2+1,即x1+x2=-23故6k2k2-8=-23,解得k2=45,从而由于|AF2|=(=(x1-|BF2|=(=(x2-3故|AB|=|AF2|-|BF2|=2-3(x1+x2)=4,|AF2|BF2|=3(x1+x2)-9x1x2-1=16.因而|AF2|BF2|=|AB|2,所以|AF2|,|AB|,|BF2|成等