离散数学第十一章 半群与群课件

1、第11章 半群与群本章内容11.1 半群与独异点11.2 群的定义与性质11.3 子群11.4 陪集与拉格朗日定理11.5 正规子群与商群11.6 群的同态与同构11.7 循环群与置换群 本章总结 例题选讲 作业11.1 半群与独异点半群与独异点都是具有一个二元运算的代数系统。半群与独异点的定义，及其子代数的说明。半群与独异点的幂运算。半群与独异点的同态映射。半群与独异点 定义11.1 (1)设V是代数系统，为二元运算，如果运算是可结合的，则称V为半群（semigroup）。(2)设V是半群,若eS是关于运算的单位元,则称V是含幺半群，也叫做独异点（monoid）。有时也将独异点V记作V。 半

2、群与独异点的实例，都是半群,+是普通加法。这些半群中除外都是独异点。设n是大于1的正整数,和都是半群,也都是独异点,其中+和分别表示矩阵加法和矩阵乘法。为半群,也是独异点,其中为集合的对称差运算。为半群,也是独异点,其中Zn0,1,n-1,为模n加法。为半群,也是独异点,其中为函数的复合运算。为半群,其中R为非零实数集合,运算定义如下： x,yR, xyy半群中元素的幂由于半群V中的运算是可结合的,可以定义元素的幂,对任意xS,规定：x1xxn+1xn x, nZ+ 用数学归纳法不难证明x的幂遵从以下运算规则：xn xmxn+m(xn)mxnm m,nZ+普通乘法的幂、关系的幂、矩阵乘法的幂等

3、都遵从这个幂运算规则。独异点中的幂独异点是特殊的半群，可以把半群的幂运算推广到独异点中去。由于独异点V中含有单位元e，对于任意的xS,可以定义x的零次幂,即 x0exn+1xn x nN不难证明，独异点的幂运算也遵从半群的幂运算规则，只不过m和n不一定限于正整数，只要是自然数就成立。半群与独异点的直积定义11.2 设V1，V2是半群(或独异点),令SS1S2,定义S上的运算如下：,S, 称为V1和V2的直积，记作V1V2。可以证明V1V2是半群。若V1和V2是独异点，其单位元分别为e1和e2，则是V1V2中的单位元，因此V1V2也是独异点。 半群与独异点的同态映射定义11.3 (1)设V1,V

4、2是半群,: S1S2。 若对任意的x,yS1有(xy)(x)(y) 则称为半群V1到V2的同态映射,简称同态(homomorphism)。(2)设V1,V2是独异点, : S1S2. 若对任意的x,yS1有(xy)(x)(y) 且(e1)e2, 则称为独异点V1到V2的同态映射,简称同态。省略表达为了书写的简便，有时经常省略上述表达式中的算符和，而简记为(xy)(x)(y)应该记住，该表达式中左边的xy是在V1中的运算，而右边的 (x) (y)是在V2中的运算。定义11.2说明任取,S () = = = () = () = = 11.2 群的定义与性质群是特殊的半群和独异点。群论中常用的概念

5、或术语：有限群、无限群、平凡群、交换群、元素的幂和阶。群的运算规则。群的定义 定义11.4 设是代数系统，为二元运算。如果运算是可结合的，存在单位元eG，并且对G中的任何元素x都有x-1G,则称G为群（group）。举例（考虑例11.1），(1),都是群,而和不是群。(2)是群,而不是群。因为并非所有的n阶实矩阵都有逆阵。(3)是群，因为对任何B的子集A，A的逆元就是A自身。(4)是群。0是Zn中的单位元。xZn，若x0，x的逆元就是0，若x0，则n-x是x的逆元。(5)，当|A|2时不是群。Klein四元群设Ga,b,c,d，为G上的二元运算，见下表。eabceeabcaaecbbbceac

6、cbaeG是一个群：e为G中的单位元；运算是可结合的；运算是可交换的；G中任何元素的逆元就是它自己；在a,b,c三个元素中,任何两个元素运算的结果都等于另一个元素。称这个群为Klein四元群,简称四元群。群中元素的n次幂定义11.6 设G是群，aG，nZ，则a的n次幂与半群和独异点不同的是：群中元素可以定义负整数次幂。在中有 2-3(2-1)3131110在中有 3-5(3-1)5(-3)5(-3)+(-3)+(-3)+(-3)+(-3)-15群中元素的阶定义11.7 设G是群，aG，使得等式 ake成立的最小正整数k称为a的阶，记作|a|k，这时也称a为k阶元。若不存在这样的正整数k,则称a

7、为无限阶元。举例在中，2和4是3阶元，3是2阶元，而1和5是6阶元，0是1阶元。在中，0是1阶元，其它的整数都是无限阶元。在Klein四元群中，e为1阶元，其它元素都是2阶元。群的性质群的幂运算规则 定理11.1 设G为群,则G中的幂运算满足：(1) aG,(a-1)-1a。(2) a,bG，(ab)-1b-1a-1。(3) aG，anaman+m，n,mZ。(4) aG，(an)manm，n,mZ。(5) 若G为交换群，则(ab)nanbn。分析：(1)和(2)可以根据定义证明。(3)、(4)、(5)中的等式,先利用数学归纳法对于自然数n和m证出相应的结果，然后讨论n或m为负数的情况。定理1

8、1.1的证明(1) aG,(a-1)-1a。(a-1)-1是a-1的逆元，a也是a-1的逆元。（或者：a-1是a的逆元，a也是a-1的逆元。）根据逆元的唯一性， (a-1)-1a。(2) a,bG，(ab)-1b-1a-1。(b-1a-1)(ab)b-1(a-1a)bb-1be (ab)(b-1a-1)a(bb-1)a-1aa-1e故 b-1a-1是 ab 的逆元。根据逆元的唯一性等式得证。定理11.1的证明(3) aG，anaman+m，n,mZ。先考虑n,m都是自然数的情况。任意给定n，对m进行归纳。m0，有ana0aneanan+0成立。假设对一切mN有anaman+m成立，则有anam

9、+1an(ama)(anam)aan+maan+m+1由归纳法等式得证。下面考虑存在负整数次幂的情况。设n0，m0，令n-t，tZ+，则anama-tam(a-1)tama-(t-m)am-tan+mtmam-tan+mtm对于n0,m0以及n0,m0的情况同理可证。定理11.1的证明(5) 若G为交换群，则(ab)nanbn。当n为自然数时，对n进行归纳。(ab)n(ba)n(ba)-m(ba)-1)m(a-1b-1)m(a-1)m(b-1)ma-mb-manbnn0，有(ab)0eeea0b0。假设(ab)kakbk，则有(ab)k+1(ab)k(ab)(akbk)abak(bka)bak

10、(abk)b(aka)(bk)b(ak+1)(bk+1)由归纳法等式得证。设n0，则定理11.1说明定理11.1(2)中的结果可以推广到有限多个元素的情况,即注意上述定理中的最后一个等式只对交换群成立。如果G是非交换群,那么只有群方程存在唯一解 定理11.2 G为群，a,bG，方程axb和yab在G中有解且仅有唯一解。证明：先证a-1b是方程axb的解。将a-1b代入方程左边的x得a(a-1b)(aa-1)bebb所以a-1b是该方程的解。下面证明唯一性。假设c是方程axb的解，必有acb，从而有cec(a-1a)ca-1(ac)a-1b同理可证ba-1是方程yab的唯一解。例11.5例11.

11、5 设群G，其中为集合的对称差运算。解下列群方程：(1)aX(2)Ya,bb解答：(1) Xa-1 aa(2) Yba,b-1ba,ba例11.7例11.7 设G为群，a,bG，且 (ab)2a2b2 ，证明abba。证明： 由(ab)2a2b2 得ababaabb根据群中的消去律，得 baab，即 abba。例11.8例11.8 设Ga1,a2,an是n阶群，令 aiGaiaj|j=1,2,n证明 aiGG。证明：由群中运算的封闭性有aiG G。假设aiG G，即|aiG|n。必有aj,akG 使得aiajaiak （jk）由消去律得 aj=ak,与|G|n矛盾。群中元素的阶的性质定理11.

12、4 G为群，aG且|a|r。设k是整数,则(1) ake当且仅当 r|k(2) |a|a-1|证明：(1)充分性。由于r|k，必存在整数m使得kmr，所以有akamr(ar)meme。必要性。根据除法，存在整数m和i使得kmr+i，0ir-1从而有eakamr+i(ar)maieaiai因为|a|r,必有i0。这就证明了r|k。定理11.4(2)证明(2) |a|a-1|由(a-1)r(ar)-1e-1e，可知 a-1 的阶存在。令|a-1|t，根据上面的证明有 t|r。这说明a的逆元的阶是a的阶r的因子。而a又是a-1的逆元，根据条件有|a-1|(a-1)-1|a|，所以a的阶也是a-1的阶

13、的因子，故有r|t。从而证明了rt,即|a|a-1|。证明元素的阶相等的方法证明|x|y|的方法：令|x|r，|y|s验证 (x)se r|s验证 (y)re s|r因此 rs，即 |x|y|。例11.9例11.9 设G是群，a,bG是有限阶元。证明(1)|b-1ab|a|(2)|ab|ba|证明：(1)设|a|r,|b-1ab|t，则有(b-1ab)r(b-1ab)(b-1ab)(b-1ab) (r个b-1ab)b-1arbb-1ebe根据定理11.4，可知b-1ab的阶是a的阶的因子，即t|r。另一方面，ab(b-1ab)b-1(b-1)-1(b-1ab)b-1可知,(b-1)-1(b-1

14、ab)b-1的阶是b-1ab的阶的因子，即r|t。从而有|b-1ab|=|a|。例11.9(2)证明(2)|ab|ba|设|ab|r,|ba|t，则有(ab)t+1 (ab)(ab)(ab)t+1个ab a(ba)(ba)(ba)bt个ba a(ba)tb aeb ab由消去律得(ab)te，从而可知，r|t.同理可证 t|r。因此，|ab|ba|。例11.10例11.10 设G为有限群，则G中阶大于2的元素有偶数个。证明：根据定理11.4可知，对于任意aG，有a2e |a|1 或 |a|2若a2e，则有 a-1a2a-1e，即 aa-1。反之，若aa-1，则有 a2aaaa-1e，这就推出a

15、2e aa-1。综合上述可知，对G中阶大于2的元素a，必有aa-1。又由于|a|a-1|，所以G中阶大于2的元素一定成对出现。G中若含有阶大于2的元素，一定是偶数个。若G中不含阶大于2的元素，而0也是偶数。例11.11例11.11 设G为群，a,bG，且abba。如果|a|=n,|b|=m,且n与m互质，证明|ab|nm。证明: 设|ab|d。由abba 可知(ab)nm(an)m(bm)nemene。从而有 d|nm。又由adbd(ab)de，可知 adb-d ，即|ad|b-d|bd|。再根据(ad)n(an)dede得|ad|n。同理有|bd|m。从而知道|ad|是n和m的公因子。因为n

16、与m互质，所以|ad|1。这就证明了 ade，从而 n|d。同理可证 m|d，即d是n和m的公倍数。由于n与m互质，必有 nm|d。综合前边的结果得 dnm。即|ab|nm。 本节主要内容集合G和二元运算构成群的条件（封闭性、结合律、单位元、每个元素有逆元）。特殊群的定义（有限与无限群、Abel群、平凡群）与群的阶。元素的幂与元素的阶群的性质：幂运算规则、消去律、群方程的唯一解、有关元素的阶的性质。11.3 子群子群就是群的子代数子群的定义子群的三个判定方法重要子群的实例生成群、中心找到有限群的全部子群的方法子群的定义定义11.8 设G是群，H是G的非空子集，如果H关于G中的运算构成群，则称H

17、是G的子群(subgroup)，记作 HG。若H是G的子群，且HG，则称H是G的真子群(proper subgroup)，记作 HG。说明：对任何群G都存在子群。G和e都是G的子群，称为G的平凡子群(trivial subgroup) 。 举例：nZ（n是自然数）是整数加群Z,+的子群。当n1时,nZ是Z的真子群。子群的判定定理一定理11.5（判定定理一）设G为群，H是G的非空子集。H是G的子群当且仅当下面的条件成立：(1) a,bH，有 abH。(2) aH，有 a-1H。证明：必要性是显然的。为证明充分性，只需证明eH。（为什么？）因为H非空，必存在aH。由条件(2)可知，a-1H，再使用

18、条件(1)有 aa-1H，即eH。子群的判定定理二定理11.6（判定定理二） 设G为群，H是G的非空子集。H是G的子群当且仅当a,bH有ab-1H。证明：必要性。任取a,bH，由于H是G的子群，必有b-1H，由封闭性有 ab-1H。充分性。因为H非空，必存在aH。根据给定条件得 aa-1H，即eH。任取aH，由e,aH 得 ea-1H，即a-1H。任取a,bH，由刚才的证明知 b-1H。再利用给定条件得a(b-1)-1H，即 abH。综合所述，根据判定定理一，可知 H是G的子群。子群的判定定理三定理11.7(判定定理三) 设G为群，H是G的非空子集。如果H是有穷集，则H是G的子群当且仅当 a,

19、bH有abH。证明：必要性是显然的。充分性。只需证明 aH有a-1H。任取aH，若ae，则a-1e-1eH。若ae,令 Sa,a2,，则SH。由于H是有穷集，必有aiaj（i1，由此得aj-i-1ae 和 aaj-i-1e从而证明了 a-1aj-i-1H。 子群实例生成子群 例11.12 设G为群，aG，令Hak|kZ，即a的所有的幂构成的集合，则H是G的子群，称为由a生成的子群，记作。证明：由a知道，。任取am,al，则am(al)-1ama-lam-l根据判定定理二可知G。举例(1)整数加群，由2生成的子群是2k|kZ2Z(2)群中，由2生成的子群由 200，212，224，23=0，构成

20、， 即 0,2,4(3)Klein四元群Ge,a,b,c的所有生成子群是： e，e,a，e,b，e,c。子群实例中心例11.13 设G为群，令C是与G中所有的元素都可交换的元素构成的集合，即Ca|aGxG(axxa)则C是G的子群，称为G的中心。 证明：由e与G中所有元素的交换性可知，eC。C是G的非空子集。任取a,bC，为证明ab-1C，只需证明ab-1与G中所有的元素都可交换。xG，有(ab-1)xab-1xab-1(x-1)-1a(x-1b)-1a(bx-1)-1a(xb-1)(ax)b-1(xa)b-1x(ab-1)由判定定理二可知，CG。中心的说明对于阿贝尔群G，因为G中所有的元素互

21、相都可交换，G的中心就等于G。但是对某些非交换群G，它的中心是e。例11.14 例11.14 设G是群，H,K是G的子群。证明(1) HK也是G的子群。(2) HK是G的子群当且仅当 HK 或 KH。证明：(1) 由eHK 知 HK非空。任取a,bHK，则 aH，aK，bH，bK。由于H和K是G的子群，必有 ab-1H 和 ab-1K，从而推出 ab-1HK。根据判定定理二，命题得证。例11.14（2）(2) HK是G的子群当且仅当 HK 或 KH。充分性是显然的。必要性，用反证法。假设 HK 且 KH，那么存在h和k使得hHhK 并且 kKkH这就推出 hkH。若不然，由h-1H可得 kh-

22、1(hk)H，与假设矛盾。同理可证，hkK。从而得到 hkHK。这与HK是子群矛盾。如何找到有限群的全部子群第0层：e是G的平凡子群，也是最小的子群，放在第0层。第1层：任取aG，ae，则是a由生成的子群。如果G且不存在是的真子群，则将放在第1层。 如果G中所有的非单位元生成的子群都等于G，则构造结束，并将G放在第1层。 如果a,bG，ab，但，这时取（或）。第2层：如果在第1层，并且G中存在其它元素b满足，同时不存在元素c使得，那么放在第2层。 此外，第2层还包含有第1层的子群的并集生成的更大的子群。如何找到有限群的全部子群任取第1层的两个子群H1,H2，令BH1H2，如果H1H2，H1H2

23、 ,那么H1H2不是G的子群，而只是G的子集，将G的所有包含B的子群的交记作，即H|BHHG。易见是G的子群，称为由B生成的子群，中的元素恰为如下形式：a1a2ak,kZ+其中ai是B中元素或B中元素的逆元。不难证明，是包含了H1和H2的最小子群。按照这样的方法，构造，如果G且第2层不存在其他子群是的真子群，则将放在第2层。从而由第1层的子群生成第2层的所有子群。当然，不同的子群可能会生成相同的新子群。按照这种办法继续下去，每层构造时先检查是否还有单元素生成的新子群，然后利用前一层子群的并集生成新子群。由于G是有限群，经过有限步生成后，总可得到最高层的唯一的平凡子群G，这时构造过程结束。如何找

24、到有限群的全部子群例如：Ge,a,b,c是Klein四元群，根据上述的构造性方法得到G的全部子群如下：第2层 G第1层 e,a, e,b, e,c第0层 e例如：GZ60,1,2,3,4,5，模6加群。则G的全部子群如下：第2层 G第1层 0,2,4, 0,3 第0层 0如何找到有限群的全部子群设G为群，令SH|H是G的子群，在S上定义关系R如下：A,BS,ARB A是B的子群那么构成偏序集，称为群G的子群格。 Klein四元群G与模12加群Z12的子群格如图所示。本节主要内容及学习要求 主要内容子群的定义。子群的三个判定定理及其应用。典型子群：由元素生成的子群,群G的中心C，若干个子群的交集

25、。学习要求会证明群的子集是子群。了解几个典型子群的定义。11.4 陪集与拉格朗日定理本节主要讨论群的分解陪集的定义、实例、性质拉格朗日定理陪集定义11.9 设H是G的子群，aG。令Haha|hH称Ha是子群H在G中的右陪集(right coset)。称a为Ha的代表元素。实例：设Ge,a,b,c是Klein四元群，He,a是G的子群。H所有的右陪集是：Hee,aH Haa,eH Hbb,c Hcc,b不同的右陪集只有两个，即H和b,c。陪集的实例设A1,2,3,f1,f2,f6是A上的双射函数。其中f1,f2,f3,f4,f5,f6,令Gf1,f2,f6，则G关于函数的复合运算构成群。考虑G的

26、子群Hf1,f2。做出H的全体右陪集如右面所示：Hf1f1f1,f2f1f1,f2HHf2f1f2,f2f2f2,f1HHf3f1f3,f2f3f3,f5Hf4f1f4,f2f4f4,f6Hf5f1f5,f2f5f5,f3Hf6f1f6,f2f6f6,f4易见，不同的右陪集只有三个，每个右陪集都是G的子集。陪集的基本性质定理11.8 设H是群G的子群，则(1) HeH。(2) aG有 aHa。证明：(1) Hehe|hHh|hHH(2) 任取aG，由aea和eaHa 得aHa。定理11.9定理11.9 设H是群G的子群，则a,bG 有aHb ab-1H HaHb证明：先证 aHb ab-1H。

27、aHb h(hHahb) h(hHab-1h) ab-1H 定理11.9反之，任取h1bHb，则有再证：aHb HaHb。充分性。若HaHb，由aHa可知，必有aHb。必要性。由aHb可知，存在hH 使得ahb，即bh-1a。任取h1aHa，则有h1ah1(hb)(h1h)bHb从而得到 HaHb。h1bh1(h-1a)(h1h-1)aHa从而得到 HbHa。综上所述，HaHb得证。定理11.9的说明该定理给出了两个右陪集相等的充分必要条件，并且说明在右陪集中的任何元素都可以作为它的代表元素。在例11.15中， Hf1,f2f3,f5, Hf3f1f3,f2f3f3,f5Hf5f1f5,f2f

28、5f5,f3可以看出f3Hf5，所以 Hf3Hf5。同时有f3f5-1f3f6f2H定理11.10定理11.10 设H是群G的子群，在G上定义二元关系R：a,bG，R ab-1H则R是G上的等价关系，且aRHa。证明：先证明R为G上的等价关系。任取aG,由aa-1eH R可知R在G上是自反的。任取a,bG，则R ab-1H (ab-1)-1H ba-1H R 所以R是对称的。定理11.10baR任取a,b,cG，则RR ab-1Hbc-1H ac-1R R所以R是传递的。综上所述，R是G上的等价关系。下面证明：aG,aRHa。任取bG，则有 R ab-1H根据定理11.9有ab-1H HaHb

29、 bHa这就推出 baR bHa，从而证明了aRHa。 (ab-1)(bc-1)H定理11.10推论推论 设H是群G的子群，则(1)任取a,bG，HaHb 或 HaHb(2)Ha|aGG 证明：由定理11.10和7.14可得。重要结果：给定群G的一个子群H，H的所有右陪集的集合Ha|aG恰好构成G的一个划分。举例：考虑Klein四元群Ge,a,b,c，He,a是G的子群。H在G中的右陪集是H和Hb，其中Hbb,c。那么H,Hb构成了G的一个划分。定理11.11定理11.11 设H是群G的子群，则aG，HHa 证明：令f:HHa，f(x)xa。任取haHa，hH，使得 f(h)ha，因而f是满射

30、的。假设 f(h1)f(h2)，那么有 h1ah2a。根据消去律得 h1h2，因而f是单射的。因此， HHa。右陪集H的右陪集定义，即Haha|hH，aG右陪集的性质：1.HeH2.aG，aHa 3.a,bG，aHbab-1H HaHb4.若在G上定义二元关系R，a,bG,Rab-1H则R是G上的等价关系，且aRHa。5.aG，HHa。H的左陪集定义，即aHah|hH，aG左陪集的性质：1.eHH2.aG，aaH 3.a,bG，abH b-1aH aHbH4.若在G上定义二元关系R，a,bG,Rb-1aH则R是G上的等价关系，且aRaH。5.aG，HaH。左陪集左陪集举例群Gf1,f2,f6。

31、令Hf1,f2，则H在G中的全体左陪集如下：f1Hf1f1,f1f2f1,f2Hf2Hf1f2,f2f2f2,f1Hf3Hf3f1,f3f2f3,f6f4Hf4f1,f4f2f4,f5f5Hf5f1,f5f2f5,f4f6Hf6f1,f6f2f6,f3 和H的右陪集相比较,不难看出有 Hf1f1H，Hf2f2H，Hf3f3H，Hf4f4H，Hf5f5H，Hf6f6H结论：一般来说，对于群G的每个子群H不能保证有HaaH。但是对某些特殊的子群H，aG都有HaaH，称这些子群为G的正规子群。Hf1f1f1,f2f1f1,f2HHf2f1f2,f2f2f2,f1HHf3f1f3,f2f3f3,f5H

32、f4f1f4,f2f4f4,f6Hf5f1f5,f2f5f5,f3Hf6f1f6,f2f6f6,f4左右陪集个数相等令 SHa|aG TaH|aG分别表示H的右陪集和左陪集的集合，定义： f:ST，f(Ha)a-1H，aG 可以证明f是S到T的双射函数。对a，bG 有 HaHb ab-1H (ab-1 )-1H (b-1)-1a-1H a-1Hb-1H这说明对于任意的HaS，必有唯一的f(Ha)T与之对应，即f是函数。同时可知：若f(Ha)f(Hb)，必有HaHb，即f是单射。任取bHT，则Hb-1S，且有f(Hb-1)(b-1)-1HbH从而证明了f的满射性。因此ST。关于陪集的进一步说明对

33、于子群H和元素a，它的左陪集aH与右陪集Ha一般说来是不等的。H的左陪集个数与右陪集个数是相等的，因为可以证明f(Ha)a-1H，f在H的右陪集和左陪集之间建立了一一对应。今后不再区分H的右陪集数和左陪集数，统称为H在G中的陪集数，也叫做H在G中的指数，记作G:H。对于有限群G，H在G中的指数 G:H 和 |G|,|H|有密切的关系，这就是著名的拉格朗日定理。拉格朗日定理定理11.12 设G是有限群，H是G的子群，则|G|H|G:H证明：设G:Hr，a1,a2,ar分别是H的r个右陪集的代表元素。根据定理11.10的推论有GHa1Ha2Har由于这r个右陪集是两两不交的，所以有|G|Ha1|+

34、|Ha2|+|Har|由定理11.11可知，|Hai|H|，i1,2,r。将这些等式代入上式得|G|H|r|H|G:H拉格朗日定理的推论1 推论1 设G是n阶群，则aG，|a|是n的因子，且有ane。证明 任取aG，则是G的子群。由拉格朗日定理可知，的阶是n的因子。另一方面，是由a生成的子群，若|a|=r，则a0e,a1,a2,ar-1这说明的阶与|a|相等，所以|a|是n的因子。根据定理11.4(1)，必有ane。拉格朗日定理的推论2推论2 对阶为素数的群G，必存在aG，使得G。证明设|G|p，p是素数。由p2可知，G中必存在非单位元。任取aG，ae，则是G的子群。根据拉格朗日定理，的阶是p

35、的因子，即的阶是p或1，显然的阶不是1，这就推出G。说明拉格朗日定理对分析有限群中元素的阶很有用。这个定理的逆命题并不为真。有时候r是n的因子，但n阶群G中不一定含有r阶元。可以验证例11.15中的群G=f1,f2,f6中并没有6阶元。拉格朗日定理的应用实例命题：如果群G只含1阶和2阶元，则G是Abel群。证明：设a为G中任意元素，根据题意，有a1e或a2e，即有a-1a。任取x,yG，则 xy(xy)-1y-1x-1yx。因此G是Abel群。例11.16例11.16 证明6阶群中必含有3阶元。 证明：设G是6阶群，由拉格朗日定理的推论1可知G中的元素只能是1阶、2阶、3阶或6阶元。若G中含有

36、6阶元，设这个6阶元是a，则a2是3阶元。若G中不含6阶元，下面证明G中必含有3阶元。如若不然，G中只含1阶和2阶元，即aG，有a2e，由命题可知G是阿贝尔群。取G中两个不同的2阶元a和b，令He,a,b,ab易证H是G的子群，但|H|=4，|G|=6，与拉格朗日定理矛盾。例11.17例11.17 证明阶小于6的群都是阿贝尔群。证明：1阶群是平凡的，显然是阿贝尔群。2,3和5都是素数。由拉格朗日定理的推论2可知2阶,3阶和5阶群都是由一个元素生成的群。它们都是阿贝尔群。（因为a i,a jG，有a i a ja i+ja j+ia j a i。）设G是4阶群。若G中含有4阶元，比如说a，则G，

37、由刚才的分析可知G是阿贝尔群。若G中不含4阶元，根据拉格朗日定理，G中只含1阶和2阶元。由命题可知G也是阿贝尔群。 本节内容及学习要求主要内容陪集的定义及实例。陪集及其代表元素之间的关系。陪集的四条性质。有限群G的拉格朗日定理(|G|=|H|G:H)及两个推论。学习要求在群G中会求已知子群H的右（或左）陪集。了解陪集的性质，特别是两个陪集相等的充要条件。了解群G的陪集分解是怎样与G上的等价关系相对应的。掌握拉格朗日定理及其推论的简单应用。11.5 正规子群与商群正规子群的定义及实例正规子群的两个判别定理以及相应的四种判别方法商群的定义及其实例。正规子群的定义及实例定义11.10设H是群G的子群

38、。如果aG都有HaaH,则称H是G的正规子群(normal subgroup)或不变子群，记作H|G。注意 条件HaaH仅仅表示两个集合aH和Ha相等。错误的理解：由aHHa可推出ahha对H中所有的元素h都成立。正确的理解：对hH，存在h1H，使ahh1a。说明任何群G都有正规子群，因为G的两个平凡子群，即G和e，都是G的正规子群。如果G是阿贝尔群，G的所有子群都是正规子群。正规子群的实例例11.18 设A1,2,3,f1,f2,f6是A上的双射函数。其中f1,f2,f3, f4,f5,f6,令Gf1,f2,f6，则G关于函数的复合运算构成群。G的全体子群是：H1f1,H2f1,f2, H3

39、f1,f3H4=f1,f4,H5f1,f5,f6, H6G不难验证，H1,H5和H6是G的正规子群，而H2,H3和H4不是正规子群。正规子群的判定定理定理11.13 设N是群G的子群，N是群G的正规子群当且仅当任取gG，nN有 gng-1N。证明 必要性。任取gG，nN，由gNNg可知，存在 n1N 使得 gnn1g，从而有 gng-1n1gg-1n1N。充分性，即证明 gG 有 gNNg。任取 gngN，由 gng-1N 可知存在 n1N 使得 gng-1n1，从而得 gnn1gNg。这就推出 gNNg。反之，任取ngNg，由于g-1G必有(g-1)n(g-1)-1N，即 g-1ngN。所以

40、存在n1N 使得 g-1ngn1，从而有nggn1gN。这就推出 NggN。综合上述，gG 有 gNNg。正规子群的判定实例例11.19 设G是全体n阶实可逆矩阵的集合关于乘法构成的群，其中n2。令 HX|XGdetX1其中detX 表示矩阵 X 的行列式，则H是G的正规子群。证明 设E表示n阶单位矩阵，则EH，H非空。任取M1,M2H，则det(M1M2-1)detM1 detM2-11所以M1M2-1H。由子群判别定理可知，HG。下面证明H是正规的。任取XG,MH,则det(XMX-1) detX detM detX-1detX detX-1det(XX-1)detE1所以XMX-1H。由

41、判定定理,H是G的正规子群。定理11.14定理11.14 设N是群G的子群，N是G的正规子群当且仅当gG，有 gNg-1N。证明 任取gG有gNg-1N (gNg-1)gNg gNNg由正规子群定义，定理得证。例11.20例11.20 设N是群G的子群，若G的其他子群都不与N等势，则N是G的正规子群。证明 任取gG，则gNg-1是G的子群。容易证明 NgNg-1。令f:NgNg-1，f(n)gng-1，nN则f是N到gNg-1的映射。假若f(n1)f(n2),则有gn1g-1=gn2g-1，从而推出 n1n2，即f是单射。任取gng-1gNg-1，则有nN且f(n)gng-1，这就证明f是满射

42、。从而NgNg-1。根据已知条件，必有gNg-1N。所以N是G的正规子群。例11.21例11.21 设N是群G的子群，若G:N2，则N是G的正规子群。证明 由G:N2可知N存在两个右陪集，即GNNg，gN同理可知，GNgN，gN任取gG，若gN，则有gNNNg。若 gN，则有gNG-NNg。从而证明了N是G的正规子群。例11.20和例11.21可作为判别正规子群的充分条件来使用。考虑例11.18中的群G。H1、H5和H6都是G的唯一的1阶、3阶和6阶子群。所以它们都是正规的。对于H5,由于G:H52，根据例11.19的结论也可以判别的它的正规性。商群由群G和G的正规子群N可以构造一个新的群，就

43、是G的商群G/N。设G是群，N是G的正规子群，令G/N是N在G中的全体右陪集（或左陪集）构成的集合，即G/NNg|gG在G/N上定义二元运算如下：Na,NbG/N，NaNbNab 可以证明G/N关于运算构成一个群。首先验证运算是良定义的，即N的任意两个陪集Na、Nb的乘积是唯一的。因为运算是涉及到类的运算，必须证明该运算与类的代表元素的选择无关。换句话说，若 NaNx,NbNy, 则有 NaNbNxNy。商群任取a,b,x,yG，则有NaNxNbNyn1n2(an1xbn2y) NabNn1xn2yNn1n2xy（由于N是正规的） NabNxy NaNbNxNy易见G/N关于运算是封闭的。商群

44、再证明运算是可结合的。任取a,b,cG，(NaNb)NcNabNcN(ab)cNabcNa(NbNc)NaNbcNa(bc)Nabc所以有(NaNb)NcNa(NbNc)。 NeN是G/N中关于运算的单位元。NaG/N，Na-1是Na的逆元。综上所述,G/N关于运算构成群。称为G的商群(quotient group)。例11.22设是整数加群，令3Z3z|zZ则3Z是Z的正规子群。Z关于3Z的商群 _ _ _Z/3Z0,1,2其中 _ii3z+i|zZ i0,1,2且Z/3Z中的运算如右表所示。_0_1_2_0_0_1_2_1_1_2_0_2_2_0_1本节内容及学习要求主要内容正规子群的定义

45、及实例。正规子群的两个判别定理以及相应的四种判别方法。商群的定义及其实例。学习要求掌握正规子群的概念及判别方法。给定群G和它的正规子群H，会求商群G/H。11.6 群的同态与同构和半群的同态类似,也可以定义群的同态。群的同态映射和同构映射，以及相关的概念。群同态的性质。群的同态映射定义11.11 设G1,G2是群，：G1G2，若任意a,bG1都有(ab)(a)(b)则称是群G1到G2的同态映射，简称同态。典型同态映射的实例(1)G1是整数加群，G2是模n的整数加群。令：ZZn, (x)(x)mod n则是G1到G2的同态。因为x,yZ有(x+y)(x+y)mod n(x)mod n (y)mo

46、d n(x)(y)典型同态映射的实例(2)设G1是实数加群，G2是非零实数关于普通乘法构成的群。令：RR*, (x)ex则是G1到G2的同态,因为x,yR有(x+y)ex+yex ey(x)(y)(3)设G1,G2是群，e2是G2的单位元。令：G1G2, (a)e2，aG1则是G1到G2的同态，称为零同态。因为a,bG1有(ab)e2 e2e2 (a)(b) 同态的分类定义11.12 设：G1G2是群G1到G2的同态。(1) 若：G1G2是满射的，则称为满同态，这时也称G2是G1的同态像，记作G1G2。(2) 若：G1G2是单射的，则称为单同态。 (3) 若：G1G2是双射的，则称为同构，记作

47、G1G2。(4) 若G1G2，则称是群G的自同态。举例：(1)中的同态是满同态，这时也可以说模n整数加群是整数加群的同态像。(2)中的同态是单同态。由于ran R+，同态像是。这两个同态都不是同构。例11.24例11.24 设G是模n整数加群，证明恰含有n个G的自同态。证明：先证存在着n个G的自同态。令 ：ZnZn， (x)(px)mod n，p=0,1,n-1则是G的自同态，因为任意的x,yZn有 (xy) (p(xy)mod n (px)mod n (py)mod n (x) (y)由于p有n种取值，不同的p确定了不同的映射，所以存在n个G的自同态。例11.24下面证明任何G的自同态都是上

48、述n个自同态中的一个。设是G的自同态，且(1)i，iZn。我们将证明xZn，有(x)(ix)mod n。 (1)i(i1)mod n假设对一切x1,2,n-2，有 (x)(ix)mod n成立，则 (x+1)(x1)(x)(1) (ix)mod n i(ix+i)mod n(i(x+1)mod n最后有 (0)(n-1) 1)(n-1) (1)(i(n-1)mod n i(in)mod n 0(i0)mod n例11.25例11.25 设G为群，aG。令 ：GG, (x)axa-1， xG则是G的自同构，称为G的内自同构。证明：x,yG，有(xy)a(xy)a-1(axa-1)(aya-1)(

49、x)(y)所以是G的自同态。任取 yG，则存在 a-1yaG，且满足(a-1ya)a(a-1ya)a-1y所以是满射的。任取x,yG，假若(x)(y)，即axa-1aya-1，由G中的消去律必有xy。从而证明了是单射的。综合上述, 是G的自同构。举例如果G是阿贝尔群，对于上面的内自同构必有(x)axa-1aa-1xx这说明阿贝尔群的内自同构只有一个，就是恒等映射。考虑模3整数加群，根据例11.24，Z3有3个自同态，即p(px)mod 3，p0,1,2。p0，0 : 00, 10, 20p1，1 : 00, 11, 22p2，2 : 00, 12, 21在这三个自同态中，1和2 是 Z3的自同

50、构,其中1是内自同构。0是零同态。 同态映射的性质定理11.5 设是群G1到G2的同态映射，e1和e2分别为G1和G2的单位元，则 (1) (e1)e2(2) (a-1)(a)-1，aG1说明：同态映射保持元素的对应性。证明 (1) (e1)(e1) (e1e1)(e1)(e1)e2。由G2的消去律得 (e1)e2。(2) 任取aG1，由(a-1)(a) (a-1a) (e1) e2 (a)(a-1) (aa-1) (e1) e2可知(a-1)是(a)的逆元。根据逆元的唯一性得 (a-1) (a)-1。例11.26例11.26 设G1是有理数加群，G2是非零有理数乘法群。证明不存在G2到G1的

51、同构。证明 假设是G2到G1的同构，那么有：G2G1, (1)0于是有(-1)(-1) (-1)(-1) (1) 0从而得(-1)0，这与的单射性矛盾。例11.27例11.27 设Ge,a,b,c是Klein四元群。试给出G的所有自同构。解答设是G的自同构,则(e)e，且是双射。因此满足这些条件的映射只有以下六个：1：ee，aa，bb，cc2：ee，aa，bc，cb3：ee，ab，bc，ca4：ee，ab，ba，cc5：ee，ac，bb，ca6：ee，ac，ba，cb根据同态定义,不难验证x,yG都有i(xy)i(x)i(y)，i1,2,6成立。所以上述的1, 2, 6是G上的全体自同构。同态

52、映射的性质定理11.16 设是群G1到G2的同态，H是G1的子群，则(1)(H)是G2的子群。(2)若H是G1的正规子群，且是满同态，则(H)是G2的正规子群。说明：同态映射保持子群的对应性。 证明 (1) 由e2(e1)(H)可知(H)非空。任取x,y(H)，则存在a,bH，使得(a)x，(b)y。由于是同态，所以xy-1(a)(b)-1(a)(b-1)(ab-1)又由于H是G1的子群，ab-1H，因此xy-1(H)。从而证明了(H)是G2的子群。定理11.16(2)若H是G1的正规子群，且是满同态，则(H)是G2的正规子群。 只需证明(H)是正规的。任取x(H)，yG2，则存在aH，使得(

53、a)x。又由于的满射性，必存在gG1使得(g)y。所以yxy-1 (g)(a)(g)-1 (gag-1) (由于同态)因为H是G1的正规子群，gag-1H。这就推出 yxy-1(H)。从而证明了 (H) | G2。同态的核定义11.13 设是群G1到G2的同态，令ker x|xG1 (x)e2其中e2为G2的单位元。称ker 为同态的核。 举例：考虑例11.23的几个同态。(1)：ZZn, (x)(x) mod n，ker z|zZn整除znZ(2)：RR*, (x)ex，ker 0(3)：G1G2，(a)e2，aG1，是零同态，ker G1有关同态核的性质定理11.17 设是群G1到G2的同

54、态，则(1) ker | G1(2) 是单同态当且仅当 kere1，其中e1为G1的单位元。证明 (1) 令e1,e2分别为G1和G2的单位元。e1ker，所以ker非空。任取a,bker，则(ab-1)(a)(b-1)(a)(b)-1e2e2-1e2因此ab-1ker，从而证明了ker G1 。任取aker，xG1，则(xax-1)(x)(a)(x-1)(x)e2(x-1)(xx-1)(e1)e2所以xax-1ker。这就证明了ker | G1。有关同态核的性质(2) 是单同态当且仅当 kere1，其中e1为G1的单位元。必要性。假设存在aker 且 ae1，则(a)e2(e1)与是单射相矛

55、盾。充分性。任取a,bG1，则 (a)(b) (a)(b)-1 e2 (ab-1)e2由于kere1，那么ab-1e1，从而推出ab。这就证明了的单射性。所以是单同态。自然同态例11.28 设G是群，N是G的正规子群。令g：GG/N,g(a)Na，aG 则g是G到G/N的同态。因为a,bG，有g(ab)NabNaNbg(a)g(b)称g为自然同态。易见自然同态都是满同态。下面求ker g。任取xG，由xker g NxN xN可知 ker gN。考虑两个平凡的正规子群。设g：GG/N是自然同态。当NG时，有G/NG/GG, 且aG有g(a)G,g是零同态。当Ne时，kerge。根据定理11.1

56、7,g是单同态,也是同构。这时G/Na|aG，且aG有 g(a)a。 例11.29例11.29 设G1，G2是群，e1和e2分别为G1和G2的单位元。令：G1G2G1， ()a，G1G2则 是直积G1G2到G1的同态。因为对任意的，G1G2 有()()ac()()易见是满同态，且对任意的G1G2ker ()e1 ae1所以得ker e1G2由定理11.17知，e1G2是G1G2的正规子群。当G2是平凡群e2时，ker ，这时为同构。同态基本定理定理11.18 设G是群，N是G的正规子群，则G/N是G的同态像。反之，若G是G在下的同态像，则G/ker G。证明 由例11.28知，自然同态g是G到

57、G/N的满同态。反之，设是G到G的满同态，kerK。对任意KaG/ker，令f(Ka)(a)，则可以证明f是G/ker到G的同构。首先，由定理11.9和Kker 的定义知KaKb ab-1K (ab-1)e (a)(b)-1e (a)(b) f(Ka)f(Kb)这证明了f是G/ker 到G的单射。定理11.18任取cG,由于是满同态，存在aG使得(a)c。于是f(Ka)(a)c，即f是满射。对于任意的 Ka,KbG/ker ，都有f(KaKb)f(Kab)(ab)(a)(b)f(Ka)f(Kb)所以f是G/ker 到G的同态。综合上述有G/ker G例11.30例11.30 设G1和G2分别为

58、m,n阶群，则G1G2的充要条件是m为n的倍数。证明： 必要性。若G1G2，由同态基本定理知G2同构于G1的某个商群G1/ker，于是n|G2|G1/ker |G1:ker |G1|/|ker|m/|ker|即m是n的倍数。例11.30充分性。由G1，G2，aiG1，令 (ai)=bi，则aiaj ajie m|(j-i)由于m是n的倍数，有n|(j-i)，即 bj-i=e,于是bibj。这就证明了是G1到G2的映射。易见是满射。下面证明是同态。ai,ajG1 有(aiaj)(ai+j)bi+jbibj(ai)(aj)综合上述,G1G2。例11.31例11.31 G是群，H和K是G的正规子群且

59、HK，证明 G/K(G/H)(K/H)。证明定义:G/H G/K， (Ha)Ka，HaG/H，则HaHb ab-1H ab-1K KaKb所以是良定义的。易见是满射且Ha,HbG/H有(HaHb)(Hab)KabKaKb(Ha)(Hb)于是是满同态且 ker K/H。根据同态基本定理， G/K(G/H)(K/H)。本节主要内容及学习要求主要内容群同态映射的定义与典型同态映射的实例。特殊同态的分类（单同态、满同态、同构、自同态）。同态核与同态像同态映射的性质：同态映射保持元素及子群的对应性，同态核的性质，同态基本定理。学习要求给定群G1，G2和映射，能够判别或证明是否为G1到G2的同态映射 能够

60、判别特殊同态的类型：满同态、单同态、同构掌握一些典型的群同态了解群同态映射的性质会应用群同态的性质证明群中的有关命题11.7 循环群与置换群循环群的定义及分类循环群的生成元群环群的子群置换群（略）循环群的定义定义11.14 设G是群，若存在aG使得Gak|kZ则称G是循环群(cyclic group)，记作G，称a为G的生成元(generator)。举例：对于任何群G，由G中元素a生成的子群是循环群。任何素数阶的群都是循环群。循环群的分类根据循环群G根据生成元a的阶可以分成两类：n阶循环群和无限循环群。（1）若a是n阶元，则Ga0e,a1,a2,an-1那么|G|n，称G为n阶循环群。（2）若