高等数学无穷级数

1、高等数学无穷级数课件第1页，共53页，2022年，5月20日，21点27分，星期四一、常数项级数及其敛散性 1常数项级数的概念定义1 设给定一个数列 则表达式 （111） 称为常数项无穷级数，简称数项级数，记作 即 其中第n 项 称为一般项或通项第一节 常数项级数及其敛散性第2页，共53页，2022年，5月20日，21点27分，星期四例如，级数 的一般项为又如级数的一般项为 简言之，数列的和式称为级数.定义2 设级数的前项之和为 称Sn为级数的前项部分和当依次取1，2，3，时， 第3页，共53页，2022年，5月20日，21点27分，星期四新的数列 ， ，数列 称为级数 的部分和数列若此数列的

2、极限存在，即 (常数),则S 称为 的和，记作此时称级数 收敛如果数列 没有极限，则称级数 发散，这时级数没有和 第4页，共53页，2022年，5月20日，21点27分，星期四当级数收敛时，其部分和 是级数和S的近似值，称 为级数的余项，记作 ，即 例1 判定级数 的敛散性.解 已知级数的前n项和是：第5页，共53页，2022年，5月20日，21点27分，星期四因为 ,所以这个级数收敛,其和为1.第6页，共53页，2022年，5月20日，21点27分，星期四例3 讨论等比级数（也称几何级数）的敛散性. 第7页，共53页，2022年，5月20日，21点27分，星期四解 (1) 前n项和当 时，

3、，所以级数 收敛，其和当 时， 所以级数 发散.(2) 当 时， 于是 第8页，共53页，2022年，5月20日，21点27分，星期四所以级数 发散. 当 时， ，其前n项和显然，当n时，Sn没有极限.所以，级数 发散.综上所述，等比级数 ，当 时收敛, 当时发散.结论记住 第9页，共53页，2022年，5月20日，21点27分，星期四注意 几何级数 的敛散性非常重要.无论是用比较判别法判别级数的敛散性，还是用间接法将函数展开为幂级数，都经常以几何级数敛散性为基础.第10页，共53页，2022年，5月20日，21点27分，星期四2数项级数的基本性质 性质1 如果级数 收敛，其和为s, k为常数

4、，则级数 也收敛，其和为ks；如果级数 发散，当k0时，级数 也发散.由此可知，级数的每一项同乘以不为零的常数后，其敛散性不变. . 第11页，共53页，2022年，5月20日，21点27分，星期四性质2 若级数 与 分别收敛于与 ，则级数 ，收敛于性质3 添加、去掉或改变级数的有限项，级数的敛散性不变.性质4 若级数 收敛，则对其各项间任意加括号后所得的级数仍收敛，且其和不变.应当注意，性质4的结论反过来并不成立.即如果加括号后级数收敛，原级数未必收敛. . 第12页，共53页，2022年，5月20日，21点27分，星期四例如级数 （1-1）+（1-1）+（1-1）+显然收敛于零，但级数1+

5、1-1+1-1+却是发散的. 第13页，共53页，2022年，5月20日，21点27分，星期四性质5（级数收敛的必要条件） 若级数 收敛，则 例5判别级数 的敛散性解 因为所以级数 发散. 例6判别级数 的敛散性. 第14页，共53页，2022年，5月20日，21点27分，星期四解 级数 与级数 都收敛，故由性质2知，级数 收敛.注意 性质5可以用来判定级数发散：如果级数一般项不趋于零，则该级数必定发散.应当看到，性质5只是级数收敛的必要条件，并不是级数收敛的充分条件，也就是说，即使 ，也不能由此判定级数 收敛.下面的例正说明了这一点： ，但级数 发散. 第15页，共53页，2022年，5月2

6、0日，21点27分，星期四例7 证明调和级数 是发散级数.证 调和级数部分和 如图，考察曲线 第16页，共53页，2022年，5月20日，21点27分，星期四 ，所围成的曲边梯形的面 积S与阴影表示的阶梯形面积An之间的关系. 所以，阴影部分的总面积为它显然大于曲边梯形的面积S，即有第17页，共53页，2022年，5月20日，21点27分，星期四而 ，表明A的极限不存在，所以该级数发散.第18页，共53页，2022年，5月20日，21点27分，星期四二、正项级数及其敛散性如果 0（n=1,2,3），则称级数 为正项级数 定理1 正项级数收敛的充分必要条件是它的部分和数列有界.例1 证明正项级数

7、 是收敛的证 因为于是对任意的有 第19页，共53页，2022年，5月20日，21点27分，星期四即正项级数的部分和数列有界，故级数 收敛.定理2（比较判别法） 设 和 是两个正项级数，且 (1)若级数 收敛，则级数 也收敛； (2)若级数 发散，则级数 也发散. 第20页，共53页，2022年，5月20日，21点27分，星期四例2 讨论 级数 （ ）的敛散性 （证明了解，结论）解 当 时， ，因为 发散，所以由比较判别法知，当 时，发散.当 时，顺次把 级数的第1项，第2项到第3项，4到7项，8到15项，加括号后得它的各项显然小于级数 第21页，共53页，2022年，5月20日，21点27分

8、，星期四对应的各项，而所得级数是等比级数，其公比为 ，故收敛，于是当 时，级数 收敛.综上所述， 级数 当 时发散，当 时收敛.注意 级数在判断正项级数的敛散性方面经常用到，因此有关 级数敛散性的结论必须牢记. 第22页，共53页，2022年，5月20日，21点27分，星期四 例3判定级数 的敛散性. 解 因为级数的一般项 满足而级数是p2的 级数，它是收敛的，所以原级数也是收敛的.第23页，共53页，2022年，5月20日，21点27分，星期四重要参照级数:等比级数, p-级数。定理3 比较判别法的极限形式:注:须有参照级数. 比较审敛法的不方便第24页，共53页，2022年，5月20日，2

9、1点27分，星期四解发散.故原级数收敛.第25页，共53页，2022年，5月20日，21点27分，星期四定理4（达朗贝尔比值判别法） 设 是一个正项级数，并且 ，则 (1)当 时，级数收敛； (2)当 时，级数发散； (3)当 时，级数可能收敛，也可能发散.例6 判别下列级数的敛散性 (1) ； (2) 第26页，共53页，2022年，5月20日，21点27分，星期四 解 (1) 所以级数 发散； (2)所以级数 收敛. 第27页，共53页，2022年，5月20日，21点27分，星期四解解第28页，共53页，2022年，5月20日，21点27分，星期四定理6(根值判别法，柯西判别法)设 为正项

10、级数，且（1）当 时，级数收敛；（2）当 时，级数发散；（3）当 时级数可能收敛也可能 发散第29页，共53页，2022年，5月20日，21点27分，星期四注意:第30页，共53页，2022年，5月20日，21点27分，星期四解解比值审敛法失效.根值审敛法也一定失效.改用比较审敛法第31页，共53页，2022年，5月20日，21点27分，星期四要判别一个正项级数是否收敛，通常按下列步骤进行：(1)用级数收敛的必要条件如果 ，则级数发散，否则需进一步判断. (2)用比值判别法 如果 ，即比值判别法失效，则改用比较判别法.(3)用比较判别法用比较判别法必须掌握一些敛散性已知的级数，以便与要判定的级

11、数进行比较，经常用来作为比较的级数有等比级数， 级数等. 第32页，共53页，2022年，5月20日，21点27分，星期四三、交错级数及其敛散性级数 称为交错级数.定理4（莱布尼兹判别法） 如果交错级数 满足莱布尼兹(Leibniz)条件: (1) (2) 则级数 收敛，其和 S ，其余项 第33页，共53页，2022年，5月20日，21点27分，星期四例6 判定交错级数 的敛散性.解 此交错级数 ，满足： (1) ； (2) 由莱布尼兹判别法知级数收敛.四、绝对收敛与条件收敛 定义3 对于任意项级数 ,若 收敛，则称 是绝对收敛的；若 收敛，而 发散，则称 是条件收敛的.第34页，共53页，

12、2022年，5月20日，21点27分，星期四定理5 绝对收敛的级数必是收敛的.例7 判定级数 的敛散性.解 因为 ， 而级数 收敛，故由比较判别法可知级数 收敛，从而原级数 绝对收敛.第35页，共53页，2022年，5月20日，21点27分，星期四例8 判别级数 的敛散性，说明是否绝对收敛. 解 因为 故由比值判别法可知级数 收敛，所以原级数 绝对收敛.第36页，共53页，2022年，5月20日，21点27分，星期四例9 判别级数 是否绝对收敛. 解 因为 故由比值判别法可知级数 发散，从而原级数 不是绝对收敛. 第37页，共53页，2022年，5月20日，21点27分，星期四例10 证明级数

13、 条件收敛. 证 由莱布尼兹判别法知级数 收敛，而 为调和级数，它是发散的，故所给级数条件收敛.第38页，共53页，2022年，5月20日，21点27分，星期四 第二节 幂级数 一、幂级数的概念1.函数项级数如果级数 的各项都是定义在某个区间I上的函数，则称该级数为函数项级数，un(x)称为一般项或通项.当x在I中取某个特定值 时，函数项级数就是一个常数项级数.如果这个级数收敛，则称点 为这个级数的一个收敛点。若发散，则称点 为这个级数的发散点.一个函数项级数的收敛点的全体称为它的收敛域. 对于收敛域内的任意一个数x，函数项级数成为一个收敛的常数项级 数，因此有一个确定的和 S，在收敛域内，函

14、数项级数的和是 x 的函数 第39页，共53页，2022年，5月20日，21点27分，星期四S(x)，通常称S(x)为函数项级数的和函数，即 其中 x 是收敛域内的任一点.将函数项级数的前项和记作 ，则在收敛域上有 2.幂级数的概念 形如 第40页，共53页，2022年，5月20日，21点27分，星期四的函数项级数，称为 的幂级数，其中常数 称为幂级数的系数. 当 0时，幂级数变为称为 x 的幂级数. (1)怎么求幂级数的收敛半径 x 的幂级数各项取绝对值，则得到正项级数第41页，共53页，2022年，5月20日，21点27分，星期四由比值判敛法其中 当 时，若 ，即 ，则级数收敛，若 即 ，

15、则级数发散.这个结果表明，只要 就会有一个对称开区间（-，），在这个区间内幂级数绝对收敛，在这个区间外幂 第42页，共53页，2022年，5月20日，21点27分，星期四级数发散，当 x =R 时，级数可能收敛也可能发散.称 为幂级数的收敛半径.当 时， ，则级数对一切实数 x都绝对收敛，这时收敛半径 . 如果幂级数仅在 x0一点处收敛，则收敛半径R0. 定理1 如果x的幂级数的系数满足 则 (1)当 时， 第43页，共53页，2022年，5月20日，21点27分，星期四 (2)当 时， (3)当 时， (2)幂级数的收敛区间 若幂级数的收敛半径为 R，则（-R，R）称为该级数的收敛区间，幂级

16、数在收敛区间内绝对收敛，把收敛区间的端点xR 代入级数中，判定数项级数的敛散性后，就可得到幂级数的收敛域.第44页，共53页，2022年，5月20日，21点27分，星期四例1求下列幂级数的收敛半径及收敛域 (1) (2) (3)解 (1) 因为 所以幂级数的收敛半径 .所以该级数的收敛域为（-，+）；第45页，共53页，2022年，5月20日，21点27分，星期四 (2)因为 所以所给幂级数的收敛半径R=1.因此该级数的收敛区间为（-1，1）当x1时，级数为调和级数，发散 ；当x=-1时，级数为交错级数，收敛 故该级数的收敛域为 -1,1) . 第46页，共53页，2022年，5月20日，21

17、点27分，星期四(3) 因为所以所给幂级数的收敛半径 .因此没有收敛区间，收敛域为 ，即只在 处收敛.第47页，共53页，2022年，5月20日，21点27分，星期四例2 求幂级数 的收敛半径解 所给级数缺少偶次方项，根据比值法求收敛半径 当 ，即 时，所给级数绝对收敛；当，即 时，所给级数发散. 因此，所给级数的收敛半径 .第48页，共53页，2022年，5月20日，21点27分，星期四二、幂级数的性质性质2 设 记 ，则在（-R,R）内有如下运算法则： (1)加（减）法运算 第49页，共53页，2022年，5月20日，21点27分，星期四性质3（微分运算） 设 ，收敛半径为 R ，则在 （-R