高等数学之空间解析几何与向量代数

1、高等数学之空间解析几何与向量代数第1页，共14页，2022年，5月20日，21点22分，星期四一、曲面方程的概念求到两定点A(1,2,3) 和B(2,-1,4)等距离的点的化简得即说明: 动点轨迹为线段 AB 的垂直平分面.引例:显然在此平面上的点的坐标都满足此方程, 不在此平面上的点的坐标不满足此方程.解:设轨迹上的动点为轨迹方程. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第2页，共14页，2022年，5月20日，21点22分，星期四定义1. 如果曲面 S 与方程 F( x, y, z ) = 0 有下述关系:(1) 曲面 S 上的任意点的坐标都满足此方程;则 F( x, y, z ) = 0

2、叫做曲面 S 的方程, 曲面 S 叫做方程 F( x, y, z ) = 0 的图形.两个基本问题 :(1) 已知一曲面作为点的几何轨迹时,(2) 不在曲面 S 上的点的坐标不满足此方程,求曲面方程.(2) 已知方程时 , 研究它所表示的几何形状( 必要时需作图 ). 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第3页，共14页，2022年，5月20日，21点22分，星期四故所求方程为例1. 求动点到定点方程. 特别,当M0在原点时,球面方程为解: 设轨迹上动点为即依题意距离为 R 的轨迹表示上(下)球面 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 第4页，共14页，2022年，5月20日，21点22分，星

3、期四例2. 研究方程解: 配方得此方程表示:说明:如下形式的三元二次方程 ( A 0 )都可通过配方研究它的图形.其图形可能是的曲面. 表示怎样半径为的球面.球心为 一个球面, 或点, 或虚轨迹.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第5页，共14页，2022年，5月20日，21点22分，星期四二、空间曲线的一般方程空间曲线可视为两曲面的交线,其一般方程为方程组例如,方程组表示圆柱面与平面的交线 C. C机动 目录 上页 下页 返回 结束 第6页，共14页，2022年，5月20日，21点22分，星期四三、柱面引例. 分析方程表示怎样的曲面 .的坐标也满足方程解:在 xoy 面上，表示圆C, 沿曲

4、线C平行于 z 轴的一切直线所形成的曲面称为圆故在空间中过此点作柱面.对任意 z ,平行 z 轴的直线 l ,表示圆柱面在圆C上任取一点 其上所有点的坐标都满足此方程,机动 目录 上页 下页 返回 结束 第7页，共14页，2022年，5月20日，21点22分，星期四定义2.平行定直线并沿定曲线 C 移动的直线 l 形成的轨迹叫做柱面. 表示抛物柱面,母线平行于 z 轴;准线为xoy 面上的抛物线. z 轴的椭圆柱面.z 轴的平面.表示母线平行于 (且 z 轴在平面上)表示母线平行于C 叫做准线, l 叫做母线.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第8页，共14页，2022年，5月20日，21点

5、22分，星期四定义3. 一条平面曲线四、旋转曲面 绕其平面上一条定直线旋转一周所形成的曲面叫做旋转曲面.该定直线称为旋转轴 .例如 :机动 目录 上页 下页 返回 结束 第9页，共14页，2022年，5月20日，21点22分，星期四建立yoz面上曲线C 绕 z 轴旋转所成曲面的方程:故旋转曲面方程为当绕 z 轴旋转时,若点给定 yoz 面上曲线 C: 则有则有该点转到机动 目录 上页 下页 返回 结束 第10页，共14页，2022年，5月20日，21点22分，星期四思考：当曲线 C 绕 y 轴旋转时，方程如何？机动 目录 上页 下页 返回 结束 第11页，共14页，2022年，5月20日，21点22分，星期四例3. 求坐标面 xoz 上的双曲线分别绕 x轴和 z 轴旋转一周所生成的旋转曲面方程. 解:绕 x 轴旋转绕 z 轴旋转这两种曲面都叫做旋转双曲面.所成曲面方程为所成曲面方程为机动 目录 上页 下页 返回 结束 第12页，共14页，2022年，5月20日，21点22分，星期四机动 目录 上页 下页 返回 结束 作业 P26： 3; 6 ; 8.第13页，共14页，2022年，5月20日，21点22分，星期四内容小结 空间曲面三元方程 球面 旋转曲面如, 曲线绕 z 轴的旋转曲面: