连续介质力学

1、连续介质力学课件第1页，共37页，2022年，5月20日，19点14分，星期三1. 梯度（gradient）若在数量场中的一点M处存在着矢量g，其方向为M点处函数变化率最大的方向，其模为这个最大变化率的数值，则称g为这个函数在M点处的梯度 第2页，共37页，2022年，5月20日，19点14分，星期三称为Hamilton算符 若某个函数对坐标xi取偏微分，则简记为(.),i 方向导数 第3页，共37页，2022年，5月20日，19点14分，星期三第4页，共37页，2022年，5月20日，19点14分，星期三2. 散度（divergence）称为矢量v在S上的通量 第5页，共37页，2022年，

2、5月20日，19点14分，星期三Gauss公式(奥高公式，或奥式公式)：通量散度第6页，共37页，2022年，5月20日，19点14分，星期三物理意义: 若div u 0 则表示在该点处有“源” 若div u = 0 则表示在该点处无“源”无“汇” 其大小表示“源”和“汇”的强度 与坐标系无关第7页，共37页，2022年，5月20日，19点14分，星期三3. 旋度（rotation）Stokes公式： 设G为分段光滑的空间有向闭曲线,S是以G为边界的分片光滑的有向曲面,G的正向与S法线符合右手规则,函数),(zyxP,),(zyxQ),(zyxR在包含曲面S在内的一个空间区域内具有一阶连续偏导

3、数, 则有公式 的第8页，共37页，2022年，5月20日，19点14分，星期三对于矢量场u，称 为沿L的环量。若L为某一曲面S的边界，曲面S的法线单位矢量为n，而且曲线L的走向与n满足右手法则，则根据Stokes公式，有：第9页，共37页，2022年，5月20日，19点14分，星期三物理意义： 旋度是用来描述一个旋涡源 (vortex source)的旋涡流强度的，而所谓的旋涡源 (vortex source)就是一个能在其周围造成一个“环”(即：环量u.tdL) 的流源。因此为了描述此旋涡源的強度，定义: 单位面积的最大环量称作旋度, 其方向为此环所为的面的法向量。令：第10页，共37页，

4、2022年，5月20日，19点14分，星期三矢量的旋度仍为矢量，是空间坐标点的函数一点的旋度的大小是该点环量面密度的最大值。旋度的方向是与该点最大环量面密度对应的法线方向。在矢量场中，若rot uJ0，称之为旋度场(或涡旋场)，J 称为旋度源(或涡旋源)，若矢量场处处rotu0，称之为无旋场。第11页，共37页，2022年，5月20日，19点14分，星期三小节：梯度：散度：旋度：并积数积矢积第12页，共37页，2022年，5月20日，19点14分，星期三矩阵：方阵：行数列数；矩阵的转置：将mn的矩阵A的行列互换，得到nm的新矩阵，称作A的转置，记为AT；列矩阵：只有一列的矩阵；行矩阵：列矩阵的

5、转置； 第13页，共37页，2022年，5月20日，19点14分，星期三对称矩阵：对于方阵A，有A=AT；反对称矩阵：若AT =A；对角阵：方阵A的主对角线上有非零元素，其余元素均为零，记为A=diag（ A11, A22, , Ann）；单位阵：对角线元素全为1的对角阵，记为I；矩阵的加法分解：任意方阵A都可以分解为一个对称矩阵和一个反对称矩阵的和。令：第14页，共37页，2022年，5月20日，19点14分，星期三逆矩阵：对于方阵A，若存在方阵B，使AB = BA = I，则称B是A的逆矩阵，记为B = A1 逆矩阵存在的充要条件是|A|0 克莱默法则： A-1=A*/|A|其中： 伴随矩

6、阵 , 余子式： 代数余子式： =(-1)i+j余子式第15页，共37页，2022年，5月20日，19点14分，星期三关于转置和逆的计算规则:转置:逆:第16页，共37页，2022年，5月20日，19点14分，星期三正交矩阵： 对于方阵A，若有A1AT，则称A是正交矩阵第17页，共37页，2022年，5月20日，19点14分，星期三例1.15 如图1.12，平面直角坐标系绕原点O旋转一角度形成新坐标系，导出其坐标变换矩阵M，并说明M是正交矩阵。 图1.12 平面直角坐标变换 解：由图1.12易得，新坐标系的单位矢量 即 上式可简记为 和 (1.59)易于证明，M满足条件 ，故M是正交矩阵。M还

7、可表示为第18页，共37页，2022年，5月20日，19点14分，星期三在三维情况下 其中可以证明：第19页，共37页，2022年，5月20日，19点14分，星期三若反过来考虑，坐标变换是则存在：比较可以看出，M*=MT而推导可以得到，M*=M-1MTM-1坐标变化矩阵M是正交矩阵第20页，共37页，2022年，5月20日，19点14分，星期三同理，一个正交矩阵必对应一个坐标变换。（a）若绕过原点的某轴的一个旋转（b）若(1)绕过原点的某轴的一个旋转;(2)对某个轴的反射,右手系的原坐标系改换为左手系 ;(a) 右手系保持为右手系 (b) 右手系改换为左手系 第21页，共37页，2022年，5

8、月20日，19点14分，星期三对于方阵A，若存在着数和非零向量b，使 矩阵的特征值成立，则称是方阵A的特征值，称b是A的特征向量。 求解方法：特征方程：第22页，共37页，2022年，5月20日，19点14分，星期三对于三阶方阵A，其特征方程为 展开得:特征方程可记为: 第23页，共37页，2022年，5月20日，19点14分，星期三在A的特征值求得后，将其代入特征方程，即得： 特征向量b就是上述齐次方程的非零解。 当A是对称矩阵时，有如下定理成立： A的特征值均为实数。对应于不同特征值的特征向量相互正交。 若是特征方程的m重根，则相应的齐次方程一定存在着m个线性无关的非零解，并可由此而导出m

9、个相互正交的特征向量。 第24页，共37页，2022年，5月20日，19点14分，星期三例1.18 求A的特征值和特征方向。 解： 特征方程为 :故特征值 将特征值依次代入线性齐次方程组，对应于 的方程为 第25页，共37页，2022年，5月20日，19点14分，星期三可取其解为:对应于 ，齐次方程组为 可求得其基础解系为 b(2) = p(2)p(3)b(3)b(1)图1.15 特征向量注意这样得到的特征方向，一定有b(1)与p(2)正交， b(1)与p(3)正交。虽然p(2)与p(3)不一定正交，但两者构成基础解系的两个基，因而线性无关。这两个向量的线性组合的全体张成了与b(1)正交的平面

10、（如图1.15），这个平面上的任意不重合的两个方向都可构成对应于2和3的主方向。如果要取三个两两正交的方向，那么，可根据b(1)和p(2)的方向将p(3)正交化。 第26页，共37页，2022年，5月20日，19点14分，星期三Kronecker符号正交化：单位化：对于正交且单位化了的特征向量： 第27页，共37页，2022年，5月20日，19点14分，星期三对于k阶对称方阵A 对于三阶方阵A 对于三阶对称矩阵A，一定存在着一个坐标变换，使得A在变换后的坐标系下成为一个对角阵，其对角线元素就是A的特征值，新坐标系的坐标方向就是对应的特征方向。 这个坐标变换矩阵的列向量就是特征向量。第28页，共

11、37页，2022年，5月20日，19点14分，星期三在A的特征值是互不相等的情况下，三个特征方向是完全确定的，并两两正交。在A的特征值有一个二重根的情况下，例如 时，对应于 的特征方向 是确定的。而在垂直于 平面内的任意方向都是对应于 或 的特征方向。当然能够在这个平面内找到两个方向 和 ，使 、 和 两两正交。当且仅当矩阵A具有的 形式时，A的特征值只有一个，它就是三重根 。在这种情况下，对于任意的坐标变换矩阵M， 其结果仍然具有 的形式。因此可以说，任何方向都是A的特征方向，当然也存在着三个两两正交的特征方向。第29页，共37页，2022年，5月20日，19点14分，星期三正定矩阵：若对于

12、任意的非零向量b，恒有bTAb0，则称A为正定矩阵。可以证明，对称矩阵A为正定矩阵的充要条件是A的所有特征值均为正数。第30页，共37页，2022年，5月20日，19点14分，星期三一种常用的计算技巧 Einstein求和约定：在式子中的一项内，若出现了重复脚标，则表示该项关于这一脚标对1、2、3求和，而勿须再写出求和记号 。 如果有时需要使用同一个脚标但不表示求和，则在该脚标下加一横线，如 ，就只表示a和b的第m个分量的乘积。 求和约定中的重复脚标称为哑标。由于哑标并未限定用哪些字母，因此，哑标可以用其它的字母代替，只要该字母在本项中没有出现过就行。哑标在同一项中只能重复一次 第31页，共3

13、7页，2022年，5月20日，19点14分，星期三例：第32页，共37页，2022年，5月20日，19点14分，星期三不重复的脚标称为自由指标。 第一，它指1，2，3中是i 的那一个。对于一个包含多项的式子而言，每项的自由指标应该相同。例如 就是允许出现的表达式，而 就是不正确的表达式。 第二，它指1，2，3中的每一个。对于方程而言，等号两端的自由指标应该相同，例如，就是 允许出现的代数方程，而 就是不正确的。 若方程包含了一个自由指标，那么这个方程就表示了三个方程，而不必在方程后再加注 i =1，2，3 的字样。例如， 就表示了如下的三个方程： 第33页，共37页，2022年，5月20日，19点14分，星期三第一，a、b和e的脚标一定是1、2、3的一个排列，也就是说，在同一项内，不会重复出现1、2、3中的任何一个数。第二，当a、b和e的脚标是123这个自然顺序的一个偶排列（即123，231，312）时，该项取正号。第三，当a、b和e的脚标是123这个自然顺序的一个奇排列（即132，213，321）时，该项取负号。置换符号: 第34页，共37页，2022年，