量子力学 第十一章

1、量子力学 第十一章第1页，共38页，2022年，5月20日，21点32分，星期三运动是没有原因的，但运动的改变是有原因的粒子的状态变化否？如何变化?一、问题的提出 粒子Hamiltonian 定态波函数设粒子处于定态 粒子受到微扰 的作用， 二、状态变化与跃迁 时，要知道系统的状态，需求解含时间的薛定谔方程：第2页，共38页，2022年，5月20日，21点32分，星期三完备一般不能通过时空变量分离来求解可见，在微扰作用下，粒子从纯态 变化到叠加态，即粒子在t 时刻处于 ，粒子在t时刻可能处于态 ，或 ，或 对应的几率 ， ， 或者说，粒子从 跃迁到 ， ， 跃迁几率 ， ， 瞬时本征值和本征态

2、第3页，共38页，2022年，5月20日，21点32分，星期三将 的展开式代入 方程 Schr dinger三、解Schr dinger方程转化为求 方程左乘 后做全空间积分其中记 第4页，共38页，2022年，5月20日，21点32分，星期三与薛定谔方程等价 采用微扰法的思想逐次逼近来求解。四、 的近似求解1.零级近似零级近似是 的本征解。为后面叙述方便，称其为方程(A)第5页，共38页，2022年，5月20日，21点32分，星期三2.一级近似将零级近似 代入(A)的右边 的一级近似：其中一级修正为：第6页，共38页，2022年，5月20日，21点32分，星期三3.二级近似得二级近似：其中二

3、级修正：将一级近似 代入(A)的右边第7页，共38页，2022年，5月20日，21点32分，星期三五、跃迁几率与跃迁速率一级近似下 在 作用下，粒子由纯态 变化为 其中处于 的几率 。跃迁几率：跃迁速率: 第8页，共38页，2022年，5月20日，21点32分，星期三11.2 常微扰 黄金规则一、常微扰作用下的跃迁几率和跃迁速率跃迁几率常微扰第9页，共38页，2022年，5月20日，21点32分，星期三随着t的增大，曲线迅速变窄增高，疑似函数第10页，共38页，2022年，5月20日，21点32分，星期三在常微扰作用下，只有当末态能量 (初态能量)的情况下，才有可观的跃迁发生。跃迁速率具有连续

4、能谱的粒子的弹性散射属于这种情况。 是常微扰作用下体系能量守恒的反映。第11页，共38页，2022年，5月20日，21点32分，星期三二、费米黄金规则隔为 内的末态的跃迁速率： 初态时受常微扰作用跃迁到能量间总的跃迁速率 态密度：单位能量间隔内的状态数费米黄金规则 跃迁几率与态密度成正比。第12页，共38页，2022年，5月20日，21点32分，星期三11.3周期微扰 共振吸收与共振发射一、周期微扰例如跃迁几率 比如单色光第13页，共38页，2022年，5月20日，21点32分，星期三1.共振吸收（受激吸收）2.共振发射（受激发射）二、共振跃迁 时， 。若 ，则末态能量大于初态能量 时， 。若

5、 ，则末态能量小于初态能量第14页，共38页，2022年，5月20日，21点32分，星期三3. 共振跃迁速率对于共振跃迁 ，共振吸收和共振发射几率相等。+：共振发射-：共振吸收微扰频率合适，可引起共振吸收或发射。第15页，共38页，2022年，5月20日，21点32分，星期三1.单色线偏振光入射三、光照引起的原子跃迁入射方向：z，偏振方向：x，光频：电场强度：于是 ，其中i.微扰哈密顿的电偶极近似第16页，共38页，2022年，5月20日，21点32分，星期三入射方向：z，偏振方向：x， 内的光引起的跃迁几率ii.共振跃迁速率能量密度:2.光谱强度为 的多色线偏光入射连续频谱的光第17页，共3

6、8页，2022年，5月20日，21点32分，星期三 若偏振方向在空间各个方向上出现的机会相等3.光谱强度为 的多色非偏光入射跃迁快慢与入射光中角频率为 的光强度 成正比。若无此频率成分，则不能发生跃迁第18页，共38页，2022年，5月20日，21点32分，星期三1.宇称选择定则四、选择定则 跃迁几率还与矩阵元 成正比。若此矩阵元为零，则 的跃迁几率为零,。是不可能发生的跃迁，称为禁戒跃迁。 由于原子的定态波函数中包含球谐函数，所以 取决于下列积分 的条件电偶极近似的选择定则.?因为 是奇宇称算符，所以跃迁前后宇称改变。 初态：末态：第19页，共38页，2022年，5月20日，21点32分，星

7、期三2.角动量选择定则利用 和得 的条件：利用 和得 ， 的条件：所以， 的条件为第20页，共38页，2022年，5月20日，21点32分，星期三1.细致平衡原理一、细致平衡原理与玻尔兹曼分布11.4 原子的自发辐射 黑体辐射系统a. 腔壁原子b.辐射场可分为两个子系统：原子通过吸收发射光子与辐射场交换能量。第21页，共38页，2022年，5月20日，21点32分，星期三吸收光子的原子数目=发射光子的原子数目2. 玻尔兹曼分布 原子系统与辐射场达到动态平衡。 ：玻尔兹曼常数第22页，共38页，2022年，5月20日，21点32分，星期三1.受激发射系数和受激吸收系数 二、自发辐射的爱因斯坦理论

8、设 为高能级， 为低能级。在光谱强度为 的光照射下受激发射速率：受激吸收速率：定义受激发射系数受激吸收系数第23页，共38页，2022年，5月20日，21点32分，星期三2. 受激发射原子数小于受激吸收原子数3.自发辐射(自发发射) 爱因斯坦认为：原子存在一种自发的从上能级到下能级的跃迁机制，称为自发辐射。按细致平衡原理，两者应相等！显然 自发辐射的跃迁速率 (又叫自发辐射系数)不依赖于外界辐射场。第24页，共38页，2022年，5月20日，21点32分，星期三利用玻尔兹曼分布与黑体辐射公式 比较第25页，共38页，2022年，5月20日，21点32分，星期三3.自发辐射与受激跃迁有同样的选择

9、定则。1.自发辐射不依赖于外场。4.非平衡时，爱因斯坦系数间的关系仍成立。 三、讨论5.在初等量子力学中无法解释自发辐射现象。 如无外界作用，处于定态的原子不会跃迁到低能级。2. 处于激发态的粒子具有一定寿命。第26页，共38页，2022年，5月20日，21点32分，星期三 不同原子的自发辐射之间无关联，辐射光之间也没有确定的位相关系，因此普通光源发出的光不相干。 自发辐射速率远大于受激发射速率！6.普通光源发出的光主要来自于自发辐射。 太阳：不妨取 ，第27页，共38页，2022年，5月20日，21点32分，星期三 若有许多原子都处于某一激发能级，则某一原子的自发辐射放出的光子，可以促使其它

10、原子发生受激辐射，而放出相同的光子。8.辐射的受激发射光放大(Laser)7.受激发射光子是入射光子的克隆。 受激发射产生的光与外界激励光具有完全相同的性质，包括频率、偏振方向和相位。Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation 这一过程以连锁反应方式在很短时间内完成。可以得到大量同一状态的光子出射，产生单色性和相干性都很好的高强度光。第28页，共38页，2022年，5月20日，21点32分，星期三11.5 能量时间不确定关系此关系的含义：若两力学量算符不对易，则该两力学量不会同时有确定值。一、一个关系式的推导及其分析1.力学量

11、的不确定度关系 此关系对任意两力学量在任何态下都成立。第29页，共38页，2022年，5月20日，21点32分，星期三这就是能量时间不确定关系。由不确定度关系得：2.取 ,可导出Schr dinger方程，对于任意状态波函数都成立于是想：为什么？第30页，共38页，2022年，5月20日，21点32分，星期三 尽管上述推导得出了量子力学中的一个重要关系，但推导的根据有错误！时间t 是力学量？3. 上述推导过程的分析 若时间t是力学量，那末任一确定时刻测量力学量t，不一定能够得到确定值，可能的测值是 任一确定时刻测量力学量A，不一定能够得到确定值，可能的测值是 逻辑上矛盾。时间t不是力学量！第3

12、1页，共38页，2022年，5月20日，21点32分，星期三薛定谔方程是描述状态演化的动力学规律。ii. ？ 任何状态波函数的演化，必须满足薛定谔方程。而对于任意的函数，薛定谔方程并不一定成立。在2的推导中，是根据薛定谔方程得出 但薛定谔方程不是恒等式，不能得出 而两算符相等是指这个算符作用在任意函数的结果相同。第32页，共38页，2022年，5月20日，21点32分，星期三1.几个特例二、能量时间不确定关系i.粒子处于状态非定态其中 ， 随时间周期变化，其它力学量也有同样的变化周期， 。记是能量不确定度第33页，共38页，2022年，5月20日，21点32分，星期三ii.设自由粒子状态用一个

13、波包来描述，波包宽度 ,群速度为v,相应于经典粒子的运动速度。波包掠过空间某点所需时间 此波包所描述粒子的 ，因此， 能量不确定度所以，iii.处于激发态的原子，通过自发辐射跃迁到基态，寿命为 ，其能量不确定度 ，称为能级宽度。第34页，共38页，2022年，5月20日，21点32分，星期三测量自发辐射光子能量可得激发态能量。因而，光子能量(E=cp)的不确定度，自发辐射光子相应的辐射波列的长度光子的动量不确定度 ，iv.光照作用下氢原子的电离从束缚基态跃迁到自由粒子态，跃迁几率第35页，共38页，2022年，5月20日，21点32分，星期三以 为中心左右宽度为 的范围内。末态能量 集中在末态能量不确定度t为微扰时间，改用 表示第36页，共38页，2022年，5月20日，21