量子力学第三节紧束缚近似

1、量子力学第三节紧束缚近似第1页，共14页，2022年，5月20日，21点39分，星期三二、紧束缚近似下晶体中电子能量Es（k）的计算 将上述波函数带入薛定谔方程：第2页，共14页，2022年，5月20日，21点39分，星期三孤立原子波函数是归一化的，因而于是，方程的左侧成为ES(k)-Esa方程的右侧分为Rn=0和Rn0两项 令 它是电子处在sa(r)态时，由微扰势VC(r)引起的静电势能，且大于零. 令第3页，共14页，2022年，5月20日，21点39分，星期三 它是Rn=0和Rn0处两个孤立原子中电子波函数相对微扰势VC(r-Rn)的重叠积分，大于零（1）相邻原子间波函数重叠很小，除了近

2、邻以外，B（Rn）可以认为是零（2）由于S态波函数具有球对称性，所以B（Rn）与Rn无关第4页，共14页，2022年，5月20日，21点39分，星期三三、能带计算的例子1、面心立方晶格图6-22 由于面心立方晶格的配位数是12，因而最近邻原子数为122、将12个原子的坐标Rn值带入上面的EK关系式中：第5页，共14页，2022年，5月20日，21点39分，星期三3、求极值当k=0（在布里渊区中心），能量有最小值：Emin=Esa-A-12B当k在布里渊区边界的小正方面的对角线上时（例如kx=2/a、ky=0、kz任意值），能量有极大值：Emax=Esa-A+4B第6页，共14页，2022年，5

3、月20日，21点39分，星期三4 、整个能带的宽度E=Emax-Emin=16B第7页，共14页，2022年，5月20日，21点39分，星期三四、关于能带的讨论1、能带的宽度与重叠积分的大小成正比。由 可知，宽度不仅与微扰势Vc有关，而且与相邻原子波函数sa的交叠程度有关。2、由孤立原子能级到晶体能带这一转化过程，实际上是量子力学测不准关系所制约的结果。当原子相互靠近形成晶体时，电子有一定的几率通过隧道效应从一个原子转移到另一个相邻的原子中去。它在给定原子附近停留时间t与能级的展宽E之间有测不准关系：t E。所以电子在给定原子附近停留时间的减少导致能级的展宽，从而形成能带。3、晶体能带与孤立原

4、子能级的关系原则上讲，孤立原子中电子的每一个状态的能量在形成晶体后都要分裂成一个能带，即一个孤立的电子态对应一个能带。图6-24第8页，共14页，2022年，5月20日，21点39分，星期三由孤立原子能级分裂形成的能带称为子能带如果两个以上的子能带 相互交叠，则形成一个混合能带如果能带之间没有发生交叠，就有能隙存在。 能隙就是能级分裂成能带之后余下的部分4、近自由电子近似与紧束缚近似的适用范围近自由电子近似适用于金属的价电子紧束缚近似适用于绝缘体、半导体、金属的内层电子及过渡金属的d电子。第9页，共14页，2022年，5月20日，21点39分，星期三第四节、实际的能带结构晶体实际的能带结构，通

5、过理论计算与实验相结合而得到能带的计算能带的简并对于某一给定的波矢k，两个或两个以上的子能带的能量相等,于是这些子能带在k处简并。一、半导体Ge、Si等的能带结构1、能带 结构第10页，共14页，2022年，5月20日，21点39分，星期三对于自由电子，在布里渊区中心点，非简并的1态对应波矢为零，能量为零。8度简并的能级( 1 2 15 25)对应的波矢为在锗和硅中，8度简并能级分裂成四个： 25和15 都是3度简并的, 1 和2是非简并的。当离开点，简并度下降，能级分裂。例如 25分裂为2和5， 25的简并度等于2和5简并度之和。在锗、硅能带结构中，下面的四个子能带与上面的能带之间有一禁带存

6、在。（1）下面四个子能 带形成的带称为 价带（2）上面的带称 为导带第11页，共14页，2022年，5月20日，21点39分，星期三2、从紧束缚近似的观点来看，价带中的四个子能带是由s、px、py、pz态经杂化后形成的。3、间接禁带半导体与直接禁带半导体锗和硅的价带顶Ev都位于布里渊区中心的点，导带底Ec分别位于L点和轴上，即导带底与价带顶的能量对应的波矢量不同。称这种半导体为间接禁带半导体 砷化镓的导带底与价带顶都位 于布里渊区中心点，是直接禁 带半导体。第12页，共14页，2022年，5月20日，21点39分，星期三4、半导体的导电电子及空穴主要占据导带底与价带顶附近的状态对于锗和硅价带顶有三支能带发生简并 价带顶处等能面不是椭球面导带底未发生简并，等能面是椭球面5、半导体的导带底与价带顶的能量差为禁带宽度Eg第13页，共14页，2022年，5月20日，21点39分，星期三二、金属的能带结构1、简单金属（如Na、Mg、Al等）的能带结构具有明