复旦大学计算机科学与工程系吴永辉离散数学集合论经典习题市公开课获奖课件

1、集合论习题解析典型习题与考研习题典型习题一、集合基础二、二元关系三、函数四、概念综合练习考研习题 北京大学、中科院计算所、中科院软件所、中科院自动化所、北京师范大学、中科院成都计算所、上海交通大学、西安交通大学、西南交通大学、北京航空航天大学、复旦大学等第1页第1页一、集合基础1.1 与1.2 集合运算1.3 幂集第2页第2页1.1 与1 设A, B, C是任意3个集合，假如AB, B C, 则AC也许吗？ AC常真吗？举例阐明。第3页第3页AC也许A=1, B=1, C=1, 1AC不常真A=1, B=1, C=1第4页第4页2 设A, B是任意2个集合， A B与 AB同时成立，这也许吗？

2、第5页第5页也许A=1, B=1, 1.第6页第6页3 设A, B, C是集合，判断下列命题真假，假如为真，给出证实；假如为假，给出反例：1) AB, BC AC;2) AB, BC AC;3) AB, BC AC;4) AB, BC AC;5) aA, AB aB.第7页第7页1）假A=1, B=2, C=2 2）假A=1, B=2, C=13）假A=1, B= 1, C=1, 1第8页第8页4）假A=1, B=1, 1，C=1, 25）真子集定义第9页第9页4 设A, B, C是U子集，判断下列命题真假，假如为真，给出证实；假如为假，给出反例：1) ABAB=B;2) ABAB=A;3)

3、ABAB=A;4) ABAB=B;5) ABA(B-A)=B;6) BA(A-B)B=A;第10页第10页1）假， A=B时不成立/* 与不同*/分析：I) ABAB=B： 因为BAB；对于任意xAB，假如xA, 因为AB, 因此xB, 则对任意xAB， xB成立。因此AB=B。II) A=B AB=B，但AB不成立。第11页第11页2）假， A=1，B=1，2，不成立；3）假， A=B时不成立；4）假， A=1，B=1，2，不成立；5）假， A=B时不成立6）假， A=1，2，B=1，不成立；第12页第12页1.2 集合运算5 设A, B, C是任意3个集合，（1）AB=AC，则B=C吗？（

4、2）AB=AC，则B=C吗？（3） AB=AC且AB=AC，则B=C吗？第13页第13页（1）假A=1, 2, B=1, C=2（2）假A=1, B=1, 2, C=1, 3（3）真/*基本法、反证法证实*/ 设xB，假设xC。由于xB，因此xAB；由于AB=AC，因此xAC；由于xC，因此xA；又由于xB，因此x AB；由于AB=AC ，因此xAC；则xC，这与xC矛盾。因此B=C。第14页第14页6 设A, B是任意2个集合，（1）若A-B=B，则A与B有何关系？（2）若A-B=B-A，则A与B有何关系？（3）若AB=AB，则A与B有何关系？（4）若AB=A，则A与B有何关系？/*用文氏图

5、辅助*/第15页第15页证实：(1)由A-B=B，可得出A=B=。第16页第16页(2)由A-B=B-A，可导出A=B。第17页第17页(3) A=B第18页第18页(4) B=第19页第19页7 给出下列命题成立充足必要条件（1）(A-B)(A-C)=A（2）(A-B)(A-C)=（3）(A-B)(A-C)=（4）(A-B)(A-C)=/*等式推导*/第20页第20页解：(1)1) ：设(A-B)(A-C)=A，对任意x，xA，则xA-B 或 xA-C；则有第21页第21页2）：设ABC=，对任意x，xA，则xB或xC，则有第22页第22页 对任意x，x(A-B)(A-C)，则xA-B或 x

6、A-C，则有第23页第23页（2） (A-B)(A-C)=(A-B)=或(A-C)= AB并且ACABC因此，充要条件为ABC。第24页第24页（3） 1) 设(A-B)(A-C)=，对任意x，xA，x(A-B)并且x(A-C)；因此xB-A或xC-A；则有xB或xC；得xBC。 因此ABC。 2) ABC AB或AC；因此A-B=或A-C=。得(A-B)(A-C)=。 从而， (A-B)(A-C)= ABC。第25页第25页（4） (A-B)(A-C)= (A-B)-(A-C) (A-C)-(A-B) = (A-B)(A-C) 并且 (A-C)(A-B) (A-B)=(A-C)第26页第26

7、页1.3 幂集7 设A, B是任意2个集合，证实：（1） ABP(A)P(B)（2） P(A)P(B) A B（3） P(A)=P(B) A=B第27页第27页/*利用基本法证实集合包括关系*/证实：(1)对任意xP(A), 有xA, 又由于AB，因此xB, 即xP(B) ；因此P(A)P(B) 。(2)/*证实办法同(1)；*/对任意xA, 则xP(A)，又由于P(A)P(B)，因此x P(B)，即xB；因此A B。(3)由(1)和(2)证实导出。第28页第28页二、二元关系1 设R是集合A上关系（1）R是自反，则RR是自反；（2）R是对称，则RR是对称；（3）R是反自反和传递，则R是反对称

8、；第29页第29页/*证实思想：依据定义给出性质证实*/证实：（1）证实思想与（2）和（3）相同（2）设(a, b)RR, 则存在c, (a, c)R, (c, b)R; 由于R是对称，因此(b, c)R, (c, a)R; 因此(b, a)RR。则RR是对称。（3）假设(a, b)R, (b, a)R。由于R是传递，因此(a, a)R，(b, b)R；由于R是反自反，因此造成矛盾。第30页第30页2 设R是A上关系，若R是自反和传递，则RR=R。 其逆命题也成立吗？证实思想：证实RR=R，1）证实RRR； 2） 证实RRR：第31页第31页证实：1）证实RRR： 设(a, b)RR，存在cA

9、, 使得(a, c)R, (c, b)R，由于R是传递，因此(a, b)R；则RRR；2） 证实RRR： 设(a, b)R，R是自反，(b, b)R，因此(a, b)RR；则RRR。因此RR=R。第32页第32页自反不成立传递成立第33页第33页特殊关系3 设S=1, 2, 3, 4，并设A=SS，在A上定义关系R为：（a, b）R（c, d）当且仅当a+b=c+d。（1）证实R是等价关系；（2）计算出A/R。第34页第34页（1）证实：/*依据等价关系定义证实*/1） /*证实R是自反；*/ 对于任意(a, b)SS，由于a+b=a+b，因此(a, b) R (a, b)，即R是自反。2）

10、/*证实R是对称；*/ 假如(a, b) R (c, d)，则a+b=c+d，那么有c+d=a+b； 因此(c, d) R (a, b)，即R是对称。3） /*证实R是传递；*/ 假如(a, b) R (c, d)， (c, d) R (e, f)，则a+b=c+d，c+d= e+f；因此a+b= e+f，得(a, b) R (e, f)，即R是传递。第35页第35页（2）假如(a, b) R (c, d)，则a+b=c+d，因此依据和数来划分。第36页第36页4 设R, S是A上等价关系，证实：RS是A上等价关系RS=SR。第37页第37页证实思想：1）RS是A上等价关系RS=SR；证实(i

11、)RSSR； (ii)SR RS；2） RS=SR RS是A上等价关系；证实RS是(i)自反；(ii)对称；(iii)传递；第38页第38页证实：1）RS是A上等价关系RS=SR： 假如(a, b)RS, 由于RS是对称，因此(b, a)RS, 因此存在cA, 使得(b, c)R, (c, a)S；由于R和S是对称，因此(c, b)R, (a, c)S； 则(a, b)SR； 同理，SR RS；第39页第39页2） RS=SR RS是A上等价关系：/*证实RS是自反、对称比较容易*/第40页第40页传递性证实：对任意a, b, cA，假如(a, b)RS, (b, c)RS，由于RS=SR，则

12、有(b, c)SR，即存在e, fA，使(a, e)R，(e, b)S，(b, f)S，(f, c)R。由于S是传递，(e, b)S，(b, f)S，因此(e, f)S；由于(a, e)R，因此(a, f)RS；RS是对称，则(f, a)RS；由于R是对称，(f, c)R，则(c, f)R。由于(f, a)RS，则存在gA，使得(f, g)R，(g, a)S；由于R是传递，由(c, f)R，(f, g)R，则(c, g)R；由于(c, g)R，(g, a)S，因此(c, a)RS。由于已经证实，RS是对称，因此(a, c)RS。第41页第41页函数12 设f: XY是函数，A, B是X子集，证

13、实：（1）f(AB) f(A)f(B)（2）f(AB)=f(A)f(B)（3）f(A) - f(B) f(A-B)第42页第42页/*基本法证实*/证实：（1）对任意yf(AB)，存在x，x AB，使得y=f(x)。由于xA，因此yf(A)；由于x B，因此yf(B)。因此yf(A)f(B)。则f(AB) f(A)f(B)。第43页第43页13 设R是A上一个二元关系，S=(a, b) | a,bA并且对于某个cA，有(a, c)R且(c, b)R。证实：若R是A上等价关系， 则S是A上等价关系。/*证实是S自反、对称和传递*/第44页第44页四、概念综合练习一、选择题（北京理工大学考研）1

14、下列集合运算中（ ）对满足分派律。A) B) C) D) 第45页第45页2 A、B是集合，P(A)、P(B)为其幂集，且AB=，则P(A)P(B)=（ ）A) B) C) D) , 第46页第46页3 A、B是集合，下列各式除（ ）之外，均与AB等价。A) ABBB) AB=BC) AB=AD) ABB2第47页第47页4 R是集合A上自反关系，则（ ）A) R RB) RR RC) RR-1=IAD) R R-1=IA第48页第48页5 集合A中有n个元素，则A上共有（ ）个既对称又反对称关系。A) 0B) 2nC) n2D) 2n第49页第49页6 R是可传递二元关系，则在RR-1,RR

15、-1, R-R-1, R-1-R中，有（ ）个一定是可传递。A) 1B) 2C) 3D) 4第50页第50页7 函数f: RR，其中R为实数集合，下列四个命题中（ ）为真。A) f(x)=5是内射B) f(x)=5是满射C) f(x)=5是双射D) A), B), C)都不真第51页第51页8 集合A到B共有64个不同函数，则B中元素不可能是（ ）个。A) 4B) 8C) 16D) 64第52页第52页二、选择题（北京理工大学1999）1 已知AB=1, 2, 3，AC=2, 3, 4 ，若2B，则 。A) 1CB) 2CC) 3CD) 4C第53页第53页2 对任何二元关系R，在RR-1,

16、RR-1, RR-1, RR-1中有 个一定是对称关系。A) 1B) 2C) 3D) 4第54页第54页3 R=(1, 4), (2, 3), (3, 1), (4, 3), 则 t(R)。A) (1, 1)B) (1, 2)C) (1, 3)D) (1, 4)第55页第55页集合论考研习题考研习题一、集合基础二、二元关系三、函数第56页第56页一、集合基础1.1 集合运算容斥原理1.2 集合运算证实1.3 幂集1.4 相类似练习题目第57页第57页1.1 集合运算容斥原理中国科学院自动化所1997120个学生参与考试，考试有A、B和C3道题，考试结果下列：12个学生3道题都做对了，20个学生

17、做对A和B，16个学生做对A和C，28个学生做对B和C，做对A有48个学生，做对B 有56个学生，有16个学生一道也没有做对。试求做对了C学生有多少个？直接使用容斥原理第58页第58页解：设做对A题学生集合为PA，做对B题学生集合为PB，做对C题学生集合为PC。/*依据容斥原理，列出计算式*/|PAPBPC|=12, |PAPB|=20, |PAPC|=16, |PBPC|=28, |PA|=48, |PB|=56, 第59页第59页/*依据容斥原理，进行计算*/|PAPBPC|=120-16, |PAPBPC|= |PA|+ |PB|+ |PC|- |PAPB|- |PAPC|-|PBPC|

18、+ |PAPBPC|, 因此|PC|=20+16+28+104-12-48-56=52，做对C题学生为52人。第60页第60页容斥原理解题总结使用容斥原理时，首先弄清论域，划定全集；另一方面对全集进行分类，列出计算式；最后依据容斥原理公式进行计算。第61页第61页北京师范大学证实容斥原理：设A1, A2, , An都是有限集，则|A1A2An|=其中：i1, i2, in是遍历1, 2, , n所有k元子集。/*证实思想：数学归纳法*/第62页第62页证实：1）归纳基础： 当k=2时，集合A1和A2公共元素个数为|A1A2|，这些元素中每一个在|A1|+|A2|里计算了两次，但在|A1A2|中

19、是作为一个元素计算。因此有|A1A2|= |A1|+|A2|-|A1A2|。 因此，当n=2时，命题成立。第63页第63页2）归纳环节：第64页第64页 当k=n时，|A1A2An|= |(A1A2An-1)An|= |(A1A2An-1)|+|An|-|(A1A2An-1)An| 由于|(A1A2An-1)An|= |(A1An) (A2 An) (An-1An)|/*n-1个集合并，依据归纳假设展开*/第65页第65页北京师范大学设S为任一集合，证实在S与其幂集P(S)之间不存在1-1相应。第66页第66页1.2 集合运算证实基本法、公式法第67页第67页中国科学院软件所19981 对于任

20、意集合A和B，证实: (1) P(A)P(B)P(AB), (2) P(A)P(B)=P(AB)；并举例阐明P(A)P(B)P(AB)。/* 幂集定义：P(A)=x|xA */第68页第68页（1）/*基本法*/ 对任意xP(A)P(B)，有xP(A)或xP(B)。若xP(A)，则xA，因此xAB，即xP(AB)；同理，若xP(B) ，则xB，因此xAB，即xP(AB)。 总而言之， P(A)P(B)P(AB)。第69页第69页（2） /*基本法*/ 对任意xP(A)P(B)，有xP(A)且xP(B)。即xA并且xB，则xAB。因此xP(AB)。故P(A)P(B)P(AB)。 对任意xP(AB

21、)，有xAB，即xA并且xB，因此xP(A)且xP(B)。因此P(AB)P(A)P(B)。 总而言之，P(A)P(B)=P(AB)。第70页第70页举例阐明P(A)P(B)P(AB)。A=1, B=2, AB=1, 2;P(A)=, 1, P(B)=, 2, P(A)P(B)= , 1, 2, P(AB)= , 1, 2, 1, 2; 因此P(A)P(B)P(AB)。 第71页第71页中国科学院计算所19982 证实：若(A-B)(B-A)=C，则A(B-C) (C-B)充足必要条件是ABC=。证实思想：（1）充足性，即证实：若ABC=，则A(B-C) (C-B)；基本法证实；（2）必要性，即

22、证实：若A(B-C) (C-B)，则ABC=；反证法证实。第72页第72页证实：（1）对于任意aA，由于ABC=，因此aBC，则a有3种情况：I) aB，但aC，则aC-B，因此a(B-C) (C-B)；II) aB，但aC，则aB-C，因此a(B-C) (C-B)；III) aB且aC，由于aA，因此aA-B，因此a(A-B)(B-A)，即aC，造成矛盾，因此aB且aC不也许出现。总而言之，对于任意aA， a(A-B)(B-A)，因此A(B-C)(C-B)。第73页第73页证实：（2）假设ABC，则存在a，a ABC，即aA， aB，且aC。因此a B-C，aC-B。则a(B-C)(C-B)

23、。由于A(B-C) (C-B)，aA，因此造成矛盾。因此ABC=。第74页第74页北京大学19983 给出集合表示式(A-C)B=AB成立充要条件.第75页第75页 第76页第76页北京大学1994判断题，为真给出证实，为假给出反例：1）x-x2）若AB=AC，则B=C。3）R是A上关系，则R=R2充要条件是R=IA。第77页第77页1.3 幂集幂集运算：代数法第78页第78页北京大学19971 设A为集合，B=P(A)-A，且B。求偏序集(B, )极大元，极小元，最小元。第79页第79页由于B，因此|A|1。对任意xA, A-x是极大元，x是极小元，无最小元。第80页第80页北京大学1999

24、2 设A=, ，计算P(A)-, P(A)A。第81页第81页/* 代数法求P(A) */设x=, y=，A=x, y, P(A)=, x, y, x, y;P(A)=, , , , ;P(A)-=, , , ;P(A)A= , , ;第82页第82页上海大学19983 设A是集合，A元素也是集合，P(A)是A幂集。定义A= x | yA, xy （1）计算a, b, c, a, d, e, a, f；（2）证实P(A)=A；（3）请问P(A)=A？解题要素：A（广义并）和幂集定义；基本法第83页第83页（1）计算a, b, c, a, d, e, a, f解： a, b, c, a, d,

25、e, a, f=a, b, c a, d, e a, f= a, b, c, d, e, f第84页第84页（2）证实P(A)=A证实： 对任意xP(A)，则存在yP(A)，xy；由于yP(A)，因此yA；因此xy，则有P(A)A ； 对任意xA，设y=x，则yA。因此yP(A)。因此xP(A)。 因此P(A)=A。第85页第85页（3）请问P(A)=A？不成立。反例：（1） A=a, b, c, a, d, e, a, fA=a, b, c, d, e, fP(A)A第86页第86页上海交通大学19984 C是非空集合族，证实：P(C)=P(X)|XC证实办法：基本法，集合族概念第87页第8

26、7页证实： 任取xP(C)，则xC，因此对于任意ax，有aC；对于任意XC，有aX；那么xX，即xP(X)。由X任意性，也即xP(X)|XC。因此P(C) P(X)|XC。 任取xP(X)|XC，则对于任意XC，有xP(X)，即xX。由于XC，对于任意ax，有aX；因此aC。因此xC，即xP(C)。因此P(X)|XC P(C)。 因此P(C)=P(X)|XC。第88页第88页中科院成都计算所5 设A是一有限集，A基数为|A|。证实：A幂集P(A)基数|P(A)|=2|A|。第89页第89页1.4 相类似题目1 A, B是两个集合，给出AB=B充足必要条件是什么，并证实你结论。/*南京理工大学*

27、/第90页第90页2 判断下列各式是否成立，假如成立，则证实之，不然举出反例。（1）P(A)P(B)=P(AB), （2）(AB)C=(AC)(BC)上海交通大学第91页第91页3 证实P(A)P(B)P(AB)，并阐明等号成立条件。上海交通大学1999第92页第92页4 设A, B, C, D为4个非空集合，则AB CD充足必要条件是 。/*重庆大学1998*/第93页第93页二、二元关系关系及其性质与运算等价关系与划分序关系第94页第94页关系及其性质与运算第95页第95页北京大学19971 设R=(x, y) | x, yN并且x+3y=12，求R2。解题思绪：将R所有元素列出，求R与它

28、本身复合所得关系第96页第96页解：R= (0, 4), (3, 3), (6, 2), (9, 1), (12, 0) R2= (3, 3), (12, 4) 第97页第97页北京大学19902 设R是复数C上二元关系，且满足xRyx-y=a+bi，a和b为非负整数，试拟定R性质（自反、反自反、对称、反对称和传递），并证实之。第98页第98页北京大学19943 判断题，为真给出证实，为假给出反例：R是A上二元关系，则R=R2R=IA。第99页第99页武汉大学19994 设A=a, b, c，给出A上一个二元关系R，使其同时不满足自反、反自反、对称、反对称和传递性。第100页第100页武汉大学

29、19985 设A=1, 2, 3，R是P(A)上二元关系，且R= (a, b) | ab 。则R不满足下列哪些性质？为何？1) 自反2) 反自反3) 对称4) 反对称5) 传递性第101页第101页等价关系与划分第102页第102页中科院成都计算所1 设R是集合A上一个传递和自反关系，T是A上一个关系，使得(a, b)属于T当且仅当(a, b)和(b, a)都属于R。证实：T是一个等价关系。第103页第103页西南交通大学19972 设X和Y都是正整数集，xiX, yiY, i=1, 2.1下列关系是否是等价关系？证实你结论。1) R=(x1, x2), (y1, y2)|x1+y2=x2 +

30、y1 2) R=(x1, x2), (y1, y2)|x1+y1=x2 +y2 2若R是等价关系，定义集合M, M=(0, 2), (1, 2), (2, 4), (3, 4), (4, 6), (5, 6), 。试给出它等价类。第104页第104页西南交通大学19983 设S=1, 2, 3，定义SS上关系R为：对任意(a, b), (c, d)SS，有(a, b), (c, d) a+d=b+c，证实：R为SS上等价关系并给出SS/R。第105页第105页上海交通大学4 设P是X上等价关系，Q是Y上等价关系，关系R满足(x1, y1), (x2, y2)R 当且仅当(x1, x2)P，(y1, y2)Q，证实： R是XY上等价关系。第106页第106页南京理工大学5 R是集合A上等价二元关系，证实R2也是A上等价关系。第107页第107页序关系第108页第108页西南交通大学19981 集合A上二元关系R假如是传递和反自反，则称R是A上拟序关系，证实：（1）假如R是A上拟序关系，则r(R)=RI