20182019版高中数学第一章导数其应用14生活中的优化问题举例学案新人教A版选修22

1、1.4生活中的优化问题举例学习目标1.认识导数在解决实责问题中的作用.2.掌握利用导数解决简单的实质生活中的优化问题知识点生活中的优化问题生活中经常遇到求收益最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题平常称为优化问题利用导数解决优化问题的实质是求函数最值解决优化问题的基本思路：上述解决优化问题的过程是一个典型的数学建模过程1生活中常有到的收益最高，用料最省等问题就是数学中的最大、最小值问题()2解决应用问题的要点是建立数学模型()种类一例1几何中的最值问题请你设计一个包装盒，以下列图，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C

2、，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒点三角形斜边的两个端点设AEFBx(cm)E，F在边AB上，是被切去的一个等腰直角某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值考点利用导数求几何模型的最值问题题点利用导数求几何体体积的最值问题解()(2x)2(602x)2Vx22x2(602x)22x3602x2(0 x30)V(x)62x21202x62x(x20)令V(x)0，得x0(舍去)或x20.当0 x0；20 x30时，V(x)0.V(x)在x20时取极大值也是唯一的极值，故为最大值底面边长为2x202(cm)，高为2(30

3、 x)102(cm)，1即高与底面边长的比值为2.引申研究本例条件不变，若要求包装盒的侧面积S(cm2)最大，试问x应取何值？解AEx，HE2x.EF602x，EG2EF2(602x)2(30 x)2S侧4HEEG42x2(30 x)8x(30 x)8x2240 x8(x15)28152.当x15时，S侧最大为1800cm2.反思与感悟面积、体积(容积)最大，周长最短，距离最小等实质几何问题，求解时先设出合适的变量，将待求解最值的问题表示为变量的函数，再按函数求最值的方法求解，最后检验追踪训练1(1)已知圆柱的表面积为定值，当圆柱的容积V最大时，圆柱的高h的值为S_考点利用导数求几何模型的最值

4、问题题点利用导数求几何体体积的最值问题将一段长为100cm的铁丝截成两段，一段弯成正方形，一段弯成圆，当正方形与圆形面积之和最小时，圆的周长为_cm.考点利用导数求几何模型的最值问题题点利用导数求面积的最值问题6S100答案(1)3(2)4解析(1)设圆柱的底面半径为r，S圆柱底2r2，S圆柱侧2rh，圆柱的表面积S2r22rh.S2r2h，2r2r2rS2r3又圆柱的体积Vrh2(S2r)2，()S6r2，Vr2V(r)0，得S6r2，h2r，V(r)只有一个极值点，当h2r时圆柱的容积最大SS6S又r6，h263.即当圆柱的容积V最大时，6S圆柱的高h为3.(2)设弯成圆的一段铁丝长为x(

5、0 x100)，则另一段长为100 x.设正方形与圆形的面积之和为S，100 xx则正方形的边长a4，圆的半径r2.x2100 x2故S24(0 x100)x25xx100 x因此S22828，S0，则x100.4由于在(0,100)内，函数只有一个导数为0的点，则问题中面积之和的最小值显然存在，故当100 x4cm时，面积之和最小种类二实质生活中的最值问题命题角度1收益最大问题例2某商场销售某种商品的经验表示，该商品每日的销售量(单位：千克)与销售价格(单yx位：元/千克)满足关系式ya10(x6)2，其中3x6，a为常数已知销售价格为5x3元/千克时，每日可售出该商品11千克求a的值；(2

6、)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获取的收益最大考点利用导数求解生活中的最值问题题点利用导数求解最大收益问题a(1)由于当x5时，y11，因此21011，因此a2.由(1)可知，该商品每日的销售量为22yx310(x6)，因此商场每日销售该商品所获取的收益为22f(x)(x3)x310 x6210(x3)(x6)2,3x6.从而f(x)10(x6)22(x3)(x6)30(x4)(x6)，令f(x)0，得x4或x6.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况以下表：x(3,4)4(4,6)f(x)0f(x)极大值由上表可得，x4是函数f(x)在区间(3,6

7、)内的极大值点，也是最大值点因此当x4时，函数f(x)获取最大值，且最大值等于42.答当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获取的收益最大反思与感悟解决此类有关收益的实质应用题，应灵便运用题设条件，建立收益的函数关系，常有的基本等量关系有(1)收益收入成本(2)收益每件产品的收益销售件数追踪训练2已知一家企业生产某种品牌衣饰的年固定成本为10万元，每生产1千件需另投入2.7万元设该企业一年内生产该品牌衣饰x千件并全部销售完，每千件的销售收入为R(x)1210.830 x，010.求年收益W(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式；当年产量为多少千件时，该企业在这一品牌衣饰的生产中所获取

8、的年收益最大，并求出最大值考点利用导数求解生活中的最值问题题点利用导数求解最大收益问题(1)当010时，WxR(x)(102.7x)983x2.7x.x38.1x3010，010.983x(2)当00，当x(9,10)时，W10时，10002.7xW983x98210002.7x38，3x1000100当且仅当3x2.7x，即x9时，Wmax38，综上可得，当x9时，W获取最大值38.6.故当年产量为9千件时，该企业在这一品牌衣饰的生产中所获取的年收益最大，最大收益为38.6万元命题角度2用料、花销最少问题例3某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥

9、墩经测算，一个桥墩的工程花销为256万元；距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程花销为(2x)x万元假设桥墩等距离分布，全部桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的花销为y万元试写出y关于x的函数关系式；(2)当m640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小？考点利用导数求解生活中的最值问题题点用料、花销最少问题(1)设需新建n个桥墩，m则(n1)xm，即nx1.因此yf(x)256n(n1)(2x)x256mx1mx(2x)x256mxmx2m256.256m11(2)由(1)知，f(x)x2m22xm3512)2x2(x23f(x)0，得x2512，因此x64.0 x64时，f(x)0，f(x

10、)在区间(0,64)上为减函数；64x0，f(x)在区间(64,640)上为增函数，因此f(x)在x64处获取最小值640此时nx16419.反思与感悟(1)用料最省、成本最低问题是平常生活中常有的问题之一，解决这类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象正确书写函数表达式，正确求导，结合实质作答(2)利用导数的方法解决实责问题，当在定义区间内只有一个点使f(x)0时，若是函数在这点有极大(小)值，那么不与端点值比较，也可以知道在这个点获取最大(小)值追踪训练3为了在夏季降平易冬季供暖时减少能源耗费，房屋的屋顶和外墙需要建筑隔热层某幢建筑物要建筑可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建筑

11、成本为6万元该建筑物每年的能源耗资资用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)3k5x(0 x10)，若不建隔热层，每年能源耗资资用为8万元设f(x)为隔热层建筑花销与20年的能源耗资资用之和求k的值及f(x)的表达式；隔热层修建多厚时，总花销f(x)达到最小，并求最小值考点利用导数求解生活中的最值问题题点用料、花销最少问题解(1)设隔热层厚度为xcm，k由题设，每年能源耗资资用为C(x)3x5，再由(0)8，得k40，因此()40，CCx3x5而建筑花销为C1(x)6x.因此得隔热层建筑花销与20年的能源耗资资用之和为40(x)20C(x)C1(x)203x56x800

12、3x56x(0 x10)400f(x)63x52.令f(x)0，即240026，3x525解得x5，x3(舍去)当0 x5时，f(x)0；当5x0，800故当x5时，f(x)取到最小值，对应的最小值为f(5)6515570.答当隔热层修建5cm厚时，总花销达到最小值为70万元.1炼油厂某分厂将原油精髓为汽油，需对原油进行冷却和加热，若是第x小时，原油温度(单132位：)为f(x)3xx8(0 x5)，那么原油温度的瞬时变化率的最小值是()20A8B.3C1D8考点利用导数求解生活中的最值问题题点利用导数求解生活中的其他最值问题答案C解析原油温度的瞬时变化率为f()x22(x1)21(0 x5)

13、，因此当x1时，xx原油温度的瞬时变化率获取最小值1.2要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20cm，要使其体积最大，则高应为()A.1032033cmB.cm31633C.3cmD.3cm考点利用导数求几何模型的最值问题题点利用导数求几何体体积的最值问题答案B解析设圆锥的高为hcm,0h0，当h3，20时，V0)，3333Sx2(x4V)令S0，得x4V，可判断当x4V时，S获取最小值2若是圆柱轴截面的周长l为定值，则体积的最大值为()l3l3A.6B.3l31l3C.4D.44考点利用导数求几何模型的最值问题题点利用导数求几何体体积的最值问题答案A解析设圆柱的底面半径为r，高为h，体积为V，4r

14、则4r2hl，h.22l223lr0r0，6lr是其唯一的极值点6ll3当r6时，V获取最大值，最大值为6.3某企业生产一种产品，固定成本为20000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，x3若总收入R与年产量x的关系是R(x)900400 x，0 x390，则当总收益P(x)90090，x390，最大时，每年生产产品的单位数是()A150B200C250D300考点利用导数求解生活中的最值问题题点利用导数求解最大收益问题答案D解析由题意得，总收益x3P(x)900300 x20000，0 x390，090100 x，x390，0 x390时，令P(x)0，得x300，又当x390时，P(

15、x)70090100 x为减函数，因此当每年生产300单位的产品时，总收益最大，应选D.4若方底无盖水箱的容积为256，则最省资料时，它的高为()A4B6C4.5D8考点利用导数求解生活中的最值问题题点用料、花销最少问题答案A解析设底面边长为x，高为h，则()x2256，256Vxhhx2225624256S(x)x4xhx4xx2xx，4256S(x)2xx2.令S(x)0，解得x8，当x8时，S(x)获取最小值256h824.5某商场中秋前30天，月饼销售总量f(t)与时间t(00)已知贷款的利率为0.0486，且假设银行吸取的存款能全部放贷出去设存款利率为x，x(0,0.0486)，若使

16、银行获取最大收益，则x的取值为()A0.0162B0.0324C0.0243D0.0486考点利用导数求解生活中的最值问题题点利用导数求解最大收益问题答案B解析依题意，得存款量是kx2，银行支付的利息是kx3，获取的贷款利息是0.0486kx2，其x(0,0.0486)因此银行的收益是y0.0486kx2kx3(0 x0.0486)，y0.0972kx3kx2.令y0，得0.0324或x0(舍去)x0 x0；当0.0324x0.0486时，y0，f(x)是单调递加的，3当x23，2时，f(x)0，f(x)是单调递减的，32343当x3时，f(x)取最大值9.9统计表示：某种型号的汽车在匀速行驶

17、中每小时的耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/时)的函数解析式可以表示为y1x33x8，x(0,120，且甲、乙两地相距100千米，12800080则当汽车以_千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地的耗油量最少考点利用导数求解生活中的最值问题题点用料、花销最少问题答案80解析100小时，设耗油量为y升，依题意得，当速度为x千米/时时，汽车从甲地到乙地行驶了xy1x33x810012800080 xx215(0 x120)1280 x48001800 x3803y640 x2640 x2(0 x120)令y0，得x80，当x(0,80)时，y0，该函数递加，因此当x80时，y获取最小值10某企业

18、一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总储藏费为4x万元，要使一年的总运费与总储藏花销之和最小，则x_吨考点利用导数求解生活中的最值问题题点用料、花销最少问题答案20400解析设该企业一年内总合购买n次货物，则nx，总运费与总储藏费之和f(x)4n4x16004x，x1600令f(x)4x20，解得20，20(舍去)，xxx20是函数f(x)的最小值点，故当x20时，f(x)最小2311某厂生产某种产品x件的总成本为C(x)120075x(万元)，已知产品单价的平方与产品件数x成反比，生产100件这样的产品单价为50万元，则产量定为_件时总收益最大考点利用导数求解生活中的最值问题题点利用导数求解最大收益问题答案25解析由题意知502k，解得k25104.100产品的单价P25104500 x.x总收益L(x)x50012002x3x7523500 x120075x，122L(x)250 x