导数与函数的极值,最值

1、小值(其中最新考纲 了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的值、极小值 (其中多项式函数不超过三次 ) ；会求闭区间上函数的最大值、最 (1) 判断 f(X 0)是极值的方法 右侧 fx)Q 那么 f(x 0)是极小值 . 根处取得极大值；如果左负右正 , 那么 f(x) 在这个根处取得极小值 . 将 f(x) 的各极值与 f(a),f(b) 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最 小值.值1 . 判断正误 (在括号内打或 X” (4) 函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值) 十/0 C.函数 f(x) 有极大值 f(2) 和极小值 f( 2) D

2、.函数 f(x) 有极大值 f( 2)和极小值 f(2) (1, + 0)一/ 一 , 1) 上递 减， 3y=f(x) y=f(x) 在点(1, e1 e 考点一利用导数研究函数的极值问题 5 HYPERLINK l _bookmark1 解(1) 对 f(x) 求导得 fxl= 4 铲一 1 5 6 3 解 函数 f(x) 的定义域为 (0, +). (1) 若 a&0,则 fx)0, f(x) 是(0, + 00)上的增函数，无极值；(2) 若 a0, 令 fx)=0, 得 x=. a HYPERLINK l _bookmark2 2 2 f(x) 十 十0 10 4 规律方法已知函数的

3、极值求参数时，通常利用函数的导数在极值点处的取值等 建立关于参数的方程 . 需注意的是，可导函数在某点处的导数值等于零只 否符合函数取得极值的条件 . 一、3232 31 一 . 一所以函数在一 0, a 和(1, +8) 上单调递增；3 3 立.立 3 3考点二利用导数解决函数的最值问题 3 所以 f(x) 在 x= 1 处取得最小值 f(1) = 4 a. HYPERLINK l _bookmark3 3综上所述，当 a00 时，”)在乂 = 0 处取得最小值 f(0)=1, HYPERLINK l _bookmark4 3 么它必有最大值和最小值 .(2) 求闭区间上可导函数的最值时，对

4、函数的极值是极 大值还是极小值可不作判断，直接与端点的函数值比较即可 .(3) 当连续函数的极值点只有一个时，相应的极值必为函数的最值 . 5 a a 当一 20 1, 即-20 a 0 a一a a 考点三利用导数研究生活中的优化问题【例 3】某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池 (不计厚度 ). 设该蓄水池的底面 半径 000冗元(冗为圆周率 ). 2 2 因 V(r)=W300r 4r3)(0r5/3), 5 立函数关系式，并确定其定义域，利用求函数的最值的方法求解，注意结果应与实际情况相结合 题中的最大 ( 小)值时，如果函数在开区间内只有一个极值点， 该极值点也就是最值点 .用导数求解实

5、际问【训练 3】 某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量 y( 单位：千克) 与销售价格 x( 单位：元 / 千克)满足关系式 y=-ar+10(x-6) 2 3x6,a 为常数，已知销售价格为 所获得的利润最大 . 2 所以商场每日销售该商品所获得的利润f(x) = (x 3)-2- + 10(x- 6) 2 X 3=2+10(x 3)(x 6) 2, 3Vx6. HYPERLINK l _bookmark5 fx) f(x)十0 一 1 . 利用导数研究函数的单调性、极值、最值可列表观察函数的变化情况，直观而 且条理，减少失分 .2 . 求极值、最值时，要求步骤规范、表格齐全；含参数时，要讨论参数的大小