107-微分方程在经济学中的应用课件

1、10.7 微分方程在经济学中的应用一. 市场动态均衡价格模型二. 人口增长模型三. 提高劳动生产率模型四. 具有价格预期的市场模型10.7 微分方程在经济学中的应用一. 市场动态均衡价格机动 目录 上页 下页 返回 结束 教学目标1. 了解微分方程在经济学中的简单应用.机动 目录 上页 下页 返回 结束 教学10.7 微分方程 在经济学中的应用 微分方程是研究经济问题的一个重要工具. 经济学中的许多经济变量之间的关系及其内在规律都是以微分方程的形式来表现的. 本节我们将介绍微分方程在经济学中的几个简单应用模型. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 机动 目录 上页 下页 返回 结束 10.7

2、微分方程 在经济学中的应用 微分方程是研一. 市场动态均衡价格模型 一种商品的价格主要由市场的供需关系来确定, 若商品的需求函数与供给函数分别为（其中 均为正常数）.当供给量与需求量相等时, 即得则称为该商品的均衡价格.机动 目录 上页 下页 返回 结束 一. 市场动态均衡价格模型 一种商品的价格主要由市一般地说, 当市场上该商品价格供大于求时,价格将下跌; 供不应求时,价格将上涨. 因此,该商品在市场上的价格将随着时间的变化而围绕着均衡价格上下波动.价格 P 为时间 t 的函数, 已知初始价格根据上述供应关系变化影响价格变化的分析,可以假设在任一时刻 t, 价格P(t) 变化率总与这一时刻的

3、超额需求成正比(比例常数k0).机动 目录 上页 下页 返回 结束 一般地说, 当市场上该商品价格供大于求时,价格将下跌; 其中 k 为比例系数, 它反映价格的调整速度. 根据上述假设, 可得微分方程 (10.6.1)在经济学中, 人们通常把方程(10.6.1)称为动态价格调整模型. 将代入方程(10.6.1), 得 (10.6.2)机动 目录 上页 下页 返回 结束 其中 k 为比例系数, 它反映价格的调整速度. 根据上述假设这是一个一阶非齐次线性微分方程, 其通解为 (10.6.3)由于为常数, 故当时,从而价格均衡价格.由此可见, 随着时间的推移, 价格趋向于均衡价格. 实际从经济学的意

4、义上来看. P(t) 的表达式的两项各具鲜明的经济意义:为均衡价格, 而就是价格的均衡偏差.上, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 这是一个一阶非齐次线性微分方程, 其通解为 二. 人口增长模型如何预测某个国家或地区的人口总数, 是人们普遍关注的一个问题.下面介绍几个人口预测模型.1. 指数增长模型 (Malthus 模型)该模型由英国传教士、人口学家马尔萨斯(Malthus)于1789年发表在人口学原理一书上.马尔萨斯提出人口模型的基本假设:人口增长率是常数. 即单位时间内人口的增长量与当时的人口成正比.下面用“微元法”来建立马尔萨斯描述的人口增长的微分方程模型.机动 目录 上页 下页 返

5、回 结束 二. 人口增长模型如何预测某个国家或地区的人口总数, 是人假设 t 时刻的人口为 x(t), 经过一段短的时间后,在时刻,人口数量变化为由基本假设, 在短时间内, 人口数量的增加量与当时的人口 x(t) 成正比.不妨假设比例系数为即在内人口的增量可写为于是x(t)满足的微分方程如下:(10.6.4)机动 目录 上页 下页 返回 结束 假设 t 时刻的人口为 x(t), 经过一段短的时间后,在称为Malthus模型. 人口随时间指数增长, 因此也称为指数增长模型.马尔萨斯人口论的核心内容是: 人口按几何级数增长, 而生活资料则按算术技术增长, 两者的矛盾必然要给人类社会进步造成障碍.人

6、口会不会无限增长? 因为人口的增加要受到自然条件等因素的约束, 在一定的生产条件下, 存在 一个最大的人口容量.美国人口统计数据表明, 1860年以前它是一阶线性微分方程, 容易求得解为事实上是不会的. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 称为Malthus模型. 人口随时间指数增长, 因此也称人口统计数据与指数增长模型吻合较好, 之后, 两者有较大的差异. 人口学家的解释是, 人口较少时, 土地等自然条件可以尽可利用, 这时人口增长率近似于常数; 当人口达到一定 数量以后, 受到自然条件限制, 增长率随人口的增长而减少. 这时, 人口增长率为常数的假设不再适用了, 需要构造增长 率随人口数量

7、变化的关系式. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 人口统计数据与指数增长模型吻合较好, 之后, 两者有较大的2. 阻滞增长模型(logistic模型)Malthus模型在1840年由比利时人口统计学家费尔胡斯特 (Verhulst) 所修正. 他提出的假设包括: (1) 由于自然资源的约束, 人口存在一个最大容量 (2) 增长率随人口的增加而减少, 当人口数量 x(t) 远小于时, 人口以固定增长率增加;当x(t) 接近时, 增长率为零.满足上述性质的增长率可以写成(10.6.5)机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 阻滞增长模型(logistic模型)Malthus模型这样, Malt

8、hus模型(10.6.4)变为(10.6.6)它是一个可分离变量的一阶微分方程, 分离变量得,上式两端积分, 得机动 目录 上页 下页 返回 结束 这样, Malthus模型(10.6.4)变为(10.6.即由初始条件得代入上式, 得(10.6.6)微分方程(10.6.6)称为阻滞增长模型或逻辑斯谛(Logistic)模型. 其解曲线(10.6.7)称为逻辑斯谛曲线.机动 目录 上页 下页 返回 结束 即由初始条件得代入上式, 得(10.6.6)微分方程(10.更复杂的人口模型需要考虑随时间和人口变化的人口增长率、同样随时间改变的人口容量以及与育龄妇女和人口龄分布有关的人口基数, 此外还要考虑

9、自然灾害、战争等随机因素对人口的影响.在经济学中, 凡是增长率与现实值 x(t) 及接近饱和水平的程度之积成正比的变量(为饱和值), 其变化均遵循逻辑斯谛曲线的变化规律. 由于在经济学中增长率、变化率, 通常都用“边际”来表示, 所以这类模型在经学、人口学与生物学中都有广泛的应用.机动 目录 上页 下页 返回 结束 更复杂的人口模型需要考虑随时间和人口变化的人口增长率、同样随三. 提高劳动生产率模型发展经济、增加生产有两个重要因素, 一是增加投资, 二是投入更多的劳动力. 恰当调节投资增长和劳动力增长的关 使增加的产量不致被劳动力的增长抵消, 这样劳动力生 产率才能不断提高. 下面建立描述生产

10、量、劳动力和投资之 间变化规律的模型.用Q(t), L(t) 和 K(t) 分别表示时刻 t 的产量、劳动力和资金. 假设劳动力每年的相对增长率是常数 即系, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 三. 提高劳动生产率模型发展经济、增加生产有两个重要因素,(10.6.8)投资的年增长率与产量成正比, 比例系数为即(10.6.9)产量函数取为(10.6.10)机动 目录 上页 下页 返回 结束 (10.6.8)投资的年增长率与产量成正比, 比例系数为即方程(10.6.8)的解为(10.6.11)将式(10.6.10)和式(10.6.11)代入式(10.6.9), 得到(10.6.12)方程(10.

11、6.12)的解为(10.6.13)机动 目录 上页 下页 返回 结束 方程(10.6.8)的解为(10.6.11)将式(10.6.用Z(t) 表示 t 时刻的劳动生产率, 有(10.6.14)由式(10.6.14)不难看出, 只要就有就是说, 只要初始投资的相对增长率大于于劳动力的相对增长率(常数 ),就能保证劳动生产率Z(t)的不断增长.机动 目录 上页 下页 返回 结束 用Z(t) 表示 t 时刻的劳动生产率, 有(10.6.1六. 具有价格预期的市场模型在动态市场中, 和 均取为当前的价格函数, 但是数为线性的条件下, 由于价格趋势可能使买者和卖者对未来价格作出某些预期，而这些价格预期又

12、会影响其供求决策，所以在供求函(价格是否上升)与 (价格是否以递增速率上升)得到. 时间的情况下, 价格趋势的信息, 基本上可用导数 础上，而且还要建立在价格趋势 的基础上. 在连续有时卖者和买者的市场行为, 不仅要建立在现期价格的基还应满足关系式和机动 目录 上页 下页 返回 结束 六. 具有价格预期的市场模型在动态市场中, 和 且 、 、 、 是原来市场模型带来的旧参数，而 m、n 、 、w 是未来市场模型所预期的新参数. (10.6.15)方程(10.6.15)中的参数 m、n 与 、w 分别体现了买者与卖者对价格的预期. 特别地, m 0时, 则买者预期价格将持续上升, 愿意增加购买数量.机动 目录 上页 下页 返回 结束 且 、 、 、 是原来市场模型带来的旧参数，而 m、这个方程在经济学中称之为价格预期的市场模型. 当 m 0 时, 则且于是, 由情况 (1)有机动 目录 上页 下页 返回 结束 (3) 当时,特征根为一对共轭复数于是, 方程(10.6 此时, 有 因此, 瞬时均衡是动态稳定的; 时,当瞬时均衡是动态不稳定的; 时,当当 n0 时, 则且可正、可负、可为零.于是, 情况(1)情况(3