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1、第八章积分学 定积分二重积分三重积分积分域 区间域 平面域 空间域 曲线积分曲线域曲面域曲线积分曲面积分对弧长的曲线积分对坐标的曲线积分对面积的曲面积分对坐标的曲面积分曲面积分曲线积分与曲面积分 第八章积分学 定积分二重积分三重积分积分域 区间域 8-1 第一型曲线积分1.第一型曲线积分的概念与性质 设有一条不均匀的物质曲线 以为其二个端点,并设上任一点处的线密度为 ,求L的质量m.把曲线任意分割成段，设第段的弧长为 ，在第段上任取一点第段的质量令若极限 存在，则曲线 的质量 8-1 第一型曲线积分1.8-1第一型曲线积分课件定义 设函数在分段光滑曲线段L上有定义把曲线任意分割成段，设第段的弧

2、长为 ，在第段上任取一点令若极限 对于曲线的任意分割法及中间点的任意取法都存在，则称此极限为函数沿曲线的第一型（对弧长的）曲线积分，记作称为被积函数积分曲线弧微分 即定义 设函数在分段光滑曲线段L上有定义把曲线任意分说明 1. 曲线光滑或分段光滑（光滑是指：曲线上每一点都有切线，且切线方向随着曲线上点的连续变动而连续变动；分段光滑是指：曲线可由有限条光滑曲线弧段连接而成。例如，圆周、抛物线都是光滑曲线； 四边形的周线是分段光滑曲线。2. 函数 在曲线 上连续是指 在一个包含 的区域上连续.4. 平面第一型曲线积分形式是:3. 可以证明：当函数 在光滑曲线弧 上连续时， 则 在 上可积.说明 1

3、. 曲线光滑或分段光滑（光滑是指：曲线上每一点都3. 性质（C为常数)( L 由 组成) ( l 为曲线弧 L 的长度) 第一型曲线积分与曲线的走向无关3. 性质（C为常数)( L 由 组成2. 第一型曲线积分的计算定理(转化为定积分)证:根据定义 而 因为对L的任意一个分割都相当于对区间 的一种分割，因此，上述和式可改写为2. 第一型曲线积分的计算定理(转化为定积分)证:根据定于是上述和式又近似于可以严格地证明，当上述和式的极限就是线积分I ，即弧微分.于是上述和式又近似于可以严格地证明，当上述和式的极限就是线积例1. 计算其中 L 是抛物线与点 B (1,1) 之间的一段弧 . 解:上点 O (0,0)例1. 计算其中 L 是抛物线与点 B (1,1) 之间的一定理 2 设曲线L的参数方程为 x(t) y (t) (t)说明:因此积分限必须满足(2) 注意到 因此上述计算公式相当于“换元法”. 定理 2 设曲线L的参数方程为 x(t例2解例2解例3 求曲线积分解它们的弧微分依次为例3 求曲线积分解它们的弧微分依次为定理 3

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