微积分课件第一章

1、微积分A第一章 函数与极限教学内容和基本要求： 理解函数概念、复合函数和反函数的概念，掌握基本函数的性质和图形，会建立简单实际问题中的函数关系式，了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。 理解极限的概念、性质，掌握极限四则运算法则，了解两个极限存在的准则会用两个重要极限求极限；了解无穷小、无穷大及无穷小的阶的概念，并会用无穷小求极限。 理解函数的连续性的概念，了解间断点的概念，并会判断间断点类型；了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质。理解极限的概念的几何意义会利用极限定义证明极限存在理解函数极限的概念学 习 重 点第三节 函数的极限 掌握左右极限的概念通过对数列极限问题的研究，我们已

2、经看到极限是一种思想方法，是从认识有限到把握无限的一个过程，对于特殊的函数，我们已经了它们当n趋于无穷时的各个不同趋向对于一个函数，在自变量的某个变化过程中，如果对应的函数值可以无限接近于某个确定的常数，那么这个确定的常数就叫做函数在该变化过程中的极限。各种函数极限的直观实例 如果当 x 无限地接近于 x0 时 函数 f (x) 的值无限地接近于常数 A 则常数 A 就叫做函数 f (x)当 xx0时的极限 记作 函数极限的的通俗定义一、自变量趋于有限值时函数的极限分析 当 xx0 时 f (x) A 当| x - x0 |0 时 | f(x) A | 0 当 | x - x0 |小于某一正数

3、 d 后 |f(x)-A|能小于给定的正数e 任给e 0 存在d 0 使当|x-x0|d 时 有| f(x)-A|e 设函数 f (x) 在点 x0的某一去心邻域内有定义 函数极限的精确定义函数极限的几何意义证：关于函数极限的例题例1 0, 0, 当0|xx0| 时, 有 | f (x) a |0极限的局部保号性定理 推论: 如果在x0的某一去心邻域内 f(x) 0 (f(x)0) 而且 则 如果 存在，那么极限必是唯一的极限存在的唯一性定理极限存在的局部有界性定理 如果 ,那么必存在一个正数M，使得函数在点x0（可以不包括x0）的某一领域内总有 |f(x)|M 唯一性和有界性证明与数列类似,

4、请同学们自己证定义定理此定理常用来讨论函数在某点的极限不存在!函数的左、右极限左极限yxo1-1 考虑符号函数求 因为 所以 不存在。 右极限解： 例3f (x) = x ,当x0时,sinx,当x0时,由于当x0时, 对应的函数值f (x) =x.由于当x0时, 对应的函数值f (x) = sinx.解：f (x)是一个分段函数，x=0是这个分段函数的分段点. 对一个分段函数来说，其分段点处的极限要分左、右极限讨论.例4-11y=x+1y=x-1 判断函数当x0时的极限是否存在练习3解答: 因为所以,极限不存在左、右极限存在, 但不相等,解：f (x) = x ,当x0时,cos x,当x0时,练习4xyx0+x0yy 类似地可定义 设 f (x)当|x|大于某一正数时有定义 如果对于任意给定的正数e 存在着正数 X 使得当|x|X 时 不等式： | f (x) -A| 0 ”.但是, 数列极限中n是离散变化的, 而这里x是连续变化的.极限 的定义的几何意义 当x时, 函数 f (x) 以A为极限的几何意义: 对于任意给定的正数e 存在着正数X 当x X 时, f (x)落在(A- e，A+ e)这条带子里A-eA+eX-Xy=f(x) A 例5证：1，自